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- 2021-06-15 发布
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北京师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题
一、选择题(本大题共8小题)
1. 命题p:“∀x∈(-∞,0),3x≥4x”的否定¬p为( )
A. , B. ,
C. D.
2. 在等比数列{an}中,a3=2,a5=8,则a4=( )
A. 4 B. 5 C. D.
3. 若a>b>c且a+b+c=0,则下列不等式中正确的是( )
A. B. C. D.
4. 设0<x<1,则a=,b=1+x,c=中最大的一个是( )
A. a B. b C. c D. 不能确定
5. 在等比数列{an}中,a1=3,前n项和为Sn,若数列{an+1}也是等比数列,则Sn等于( )
A. 2n B. 3n C. D.
6. 若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=( )
A. 4 B. 2 C. D.
7. 设{an}是各项为正数的无穷数列,Ai是边长为ai,ai+1的矩形的面积(i=1,2,…),则{An}为等比数列的充要条件是( )
A. 是等比数列
B. ,,,,或,,,,是等比数列
C. ,,,,和,,,,均是等比数列
D. ,,,,和,,,,均是等比数列,且公比相同
8. 设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是( )
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
二、填空题(本大题共6小题)
9. 数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N*),则a7= ______ .
10. 若实数x,y满足xy=1,则x2+4y2的最小值为______.
11. 设a,b是两个实数,给出下列条件:
①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.
其中能推出:“a,b中至少有一个大于1”的条件是______ .(填序号,只有一个正确选项)
12. 已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn为其前n项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=________.
13. 等比数列{an}中,若前n项的和为Sn=2n-1,则a+a22+…+an2=______.
14. 珠海市板樟山森林公园(又称澳门回归公园)的山顶平台上,有一座百子回归碑.百子回归碑是一座百年澳门简史,记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地,人文资料等,如中央四数连读为1999-12-20标示澳门回归日,中央靠下有23-50标示澳门面积约为23.50 平方公里.百子回归碑实为一个十阶幻方,是由1 到100 共100 个整数填满100
个空格,其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等.请问如图2 中对角线上数字(从左上到右下)之和为______ .
三、解答题(本大题共6小题)
1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S9=-a5.
(1)若a3=4,求{an}的通项公式;
(2)若a1>0,求使得Sn≥an的n的取值范围.
2. 已知命题:“∃x∈{x|-1<x<1},使等式x2-x-m=0成立”是真命题,
(1)求实数m的取值集合M;
(2)设不等式(x-a)(x+a-2)<0的解集为N,若x∈N是x∈M的必要条件,求a的取值范围.
3. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产1200千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.
4.
已知p:(x+1)(2-x)≥0,q:关于x的不等式x2+2mx-m+6>0恒成立.
(1)当x∈R时q成立,求实数m的取值范围;
(2)若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围.
1. 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列,公差为d,Sn为其前n项和,且满足,n∈N*.数列{bn}满足,Tn为数列{bn}的前n项和.
(1)求a1、d和Tn;
(2)若对任意的n∈N*,不等式恒成立,求实数λ的取值范围.
2.
已知无穷数列{an}(an∈Z)的前n项和为Sn,记S1,S2,…,Sn中奇数的个数为bn.
(Ⅰ)若an=n,请写出数列{bn}的前5项;
(Ⅱ)求证:“a1为奇数,ai(i=2,3,4,…)为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件;
(Ⅲ)若ai=bi,i=1,2,3,…,求数列{an}的通项公式.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:命题是全称命题,则¬p:,
故选:C.
根据全称命题的否定是特称命题进行判断.
本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键.比较基础.
2.【答案】C
【解析】解:根据题意,设等比数列{an}的公比为q,
由已知得,所以q=±2,都符合题意,
所以a4=a3•q=±4,
故选:C.
根据题意,设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的通项公式可得,解可得q的值,代入通项公式计算可得答案.
本题考查等比数列的性质,注意等比数列的通项公式的应用.
3.【答案】A
【解析】解:a>b>c且a+b+c=0,∴a>0>c,b∈R.
∴ab>ac,ac<bc,a|b|与c|b|大小关系不确定,a2、b2、c2大小关系不确定.
则上述不等式中正确的是A.
故选:A.
a>b>c且a+b+c=0,可得a>0>c,b∈R.利用不等式的基本性质即可判断出结论.
本题考查了不等式的基本性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4.【答案】C
【解析】解:∵0<x<1,
∴1+x>2=>.
∴只需比较1+x与的大小.
∵1+x-==-<0,
∴1+x<.
故选:C.
先由基本不等式确定a,b的大小,再对b,c作差比较即可.
本题主要考查比较几个数的大小问题.比较大小一般通过基本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成.
5.【答案】B
【解析】解:因数列{an}为等比,则an=3qn-1,
因数列{an+1}也是等比数列,
则(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)
∴an+12+2an+1=anan+2+an+an+2
∴an+an+2=2an+1
∴an(1+q2-2q)=0
∴q=1
即an=3
,
所以sn=3n,
故选:B.
根据数列{an}为等比可设出an的通项公式,因数列{an+1}也是等比数列,进而根据等比性质求得公比q,进而根据等比数列的求和公式求出sn.
本题考查了等比数列的定义和求和公式,着重考查了运算能力.
6.【答案】D
【解析】解:由互不相等的实数a,b,c成等差数列,可设a=b-d,c=b+d,由题设得,
,
解方程组得,或,
∵d≠0,
∴b=2,d=6,
∴a=b-d=-4,
故选:D.
因为a,b,c成等差数列,且其和已知,故可设这三个数为b-d,b,b+d,再根据已知条件寻找关于b,d的两个方程,通过解方程组即可获解.
此类问题一般设成等差数列的数为未知数,然后利用等比数列的知识建立等式求解,注意三个成等差数列的数的设法:x-d,x,x+d.
7.【答案】D
【解析】解:依题意可知Ai=ai•ai+1,
∴Ai+1=ai+1•ai+2,
若{An}为等比数列则==q(q为常数),则a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比均为q;
反之要想{An}为等比数列则=需为常数,即需要a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相等;
故{An}为等比数列的充要条件是a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同.
故选D
根据题意可表示Ai,先看必要性,{An}为等比数列推断出为常数,可推断出a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同;再看充分性,要使题设成立,需要为常数,即a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相等,答案可得.
本题主要考查了等比数列的性质,充分条件,必要条件和充分必要条件的判定.考查了学生分析问题和基本的推理能力.
8.【答案】B
【解析】解:由题意,公司原有100人每年创造的产值为100t(万元),
分流后剩余(100-x)人每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,
则由,解得:0<x<.
∵x∈N,
∴x的最大值为16.
故选:B.
分流后从事产品A生产的人数为100-x,根据要保证分流后,该公司产品A的年产值不减少,可列不等式组求解.
本题考查数学建模思想方法,关键是考查学生理解题意的能力,是中档题.
9.【答案】1
【解析】解:由an+1=an+an+2,得an+2=an+1-an,
所以a3=a2-a1=1,a4=a3-a2=1-2=-1,a5=a4-a3=-1-1=-2,a6=a5-a4=-2-(-1)=-1,a7=a6=a5=-1-(-2)=1.
故答案为:1.
根据递推公式an+1=an+an+2,得an+2=an+1-an,
把a1=1,a2=2带入可依次求出前7项,从而得到答案.
本题考查数列的递推公式,数列的递推公式是给出数列的一种方法.
10.【答案】4
【解析】解:若实数x,y满足xy=1,
则x2+4y2≥2x•2y=4xy=4,
当且仅当x=2y=±时,上式取得最小值4.
故答案为:4.
运用不等式a2+b2≥2ab(当且仅当a=b取得等号),计算可得所求最小值.
本题考查基本不等式的运用:求最值,考查运算能力,属于基础题.
11.【答案】③
【解析】解:关于①,a+b>1,可取,,不能推出:“a,b中至少有一个大于1”;
关于②,a+b=2,可取a=1,b=1,不能推出:“a,b中至少有一个大于1”;
关于④,a2+b2>2,可取a=-2,b=-2,不能推出:“a,b中至少有一个大于1”;
关于⑤,ab>1,可取a=-2,b=-2,不能推出:“a,b中至少有一个大于1”.
关于③,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,可用反证法证明,它是正确的.
证明如下:假设a≤1且b≤1,
则a+b≤2.
与已知条件“a+b>2”矛盾,
故假设不成立.
即有a,b中至少有一个大于1,故③正确.
故选③.
本题可以利用反证法,“假设a,b两数均小于或等于1,可得结论a+b小于等于2.”,由些推理可得到正确结论.
本题考查的是不等式的基本性质和反证法,注意在判断其它命题错误时,可以举反例.本题计算量不大,但有一定的思维量,属于中档题.
12.【答案】64
【解析】解:∵{an}是等差数列,a1,a2,a5成等比数列,
∴=a1•(a1+4d),又a1=1,
∴d2-2d=0,公差d≠0,
∴d=2.
∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64.
故答案为:64.
依题意,a1=1,=a1•(a1+4d),可解得d,从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案.
本题考查等差数列的前n项和,考查方程思想与运算能力,属于基础题.
13.【答案】
【解析】解:∵a1=S1=1,a2=S2-S1=3-1=2,∴公比q=2.
又∵数列{}也是等比数列,首项为=1,公比为q2=4,
∴==
故答案为:
由已知可得等比数列{an}的首项和公比,进而可得数列{}也是等比数列,且首项为=1,公比为q2=4,代入等比数列的求和公式可得答案.
本题考查等比数列的前n项和公式,得出数列为等比数列是解决问题的关键,属基础题.
14.【答案】505
【解析】解:由题意得:
82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505,
故答案为:505.
将图中对角线上数字从左上到右下相加即可.
本题考查了简单的合情推理问题,考查n阶幻方,是一道基础题.
15.【答案】解:(1)根据题意,等差数列{an}中,设其公差为d,
若S9=-a5,则S9==9a5=-a5,变形可得a5=0,即a1+4d=0,
若a3=4,则d==-2,
则an=a3+(n-3)d=-2n+10;
(2)若Sn≥an,则na1+d≥a1+(n-1)d,
当n=1时,不等式成立,
当n≥2时,有≥d-a1,变形可得(n-2)d≥-2a1,
又由S9=-a5,即S9==9a5=-a5,
则有a5=0,即a1+4d=0,
则有(n-2)≥-2a1,
又由a1>0,则有n≤10,
则有2≤n≤10,
综合可得:1≤n≤10.n∈N.
【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式,涉及数列与不等式的综合应用,属于中档题.
(1)根据题意,等差数列{an}中,设其公差为d,由S9=-a5,即可得S9==9a5=-a5,变形可得a5=0,结合a3=4,计算可得d的值,结合等差数列的通项公式计算可得答案;
(2)若Sn≥an,则na1+d≥a1+(n-1)d,分n=1与n≥2两种情况讨论,求出n的取值范围,综合即可得答案.
16.【答案】解:(1)由x2-x-m=0可得m=x2-x=
∵-1<x<1
∴
M={m|}
(2)若x∈N是x∈M的必要条件,则M⊆N
①当a>2-a即a>1时,N={x|2-a<x<a},则即
②当a<2-a即a<1时,N={x|a<x<2-a},则即
③当a=2-a即a=1时,N=φ,此时不满足条件
综上可得
【解析】(1)利用参数分离法将m用x表示,结合二次函数的性质求出m的取值范围,从而可求集合M;
(2)若x∈N是x∈M的必要条件,则M⊆N分类讨论①当a>2-a即a>1时,N={x|2-a<x<a},②当a<2-a即a<1时,N={x|a<x<2-a},③当a=2-a即a=1时,N=φ
三种情况进行求解
本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解,集合之间包含关系的应用,体现了分类讨论思想的应用.
17.【答案】解:(1)由题意可得:200(5x+1-)≥3000,
即5x-≥14,解得x≥3,又1≤x≤10,
∴3≤x≤10.
(2)设生产1200千克产品的利润为y,
则y=100(5x+1-)•=120000(-++5)=120000[-3(-)2+],
∴当=即x=6时,y取得最大值610000.
故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大,最大利润为610000元.
【解析】(1)根据题意列不等式求出x的范围即可;
(2)设总利润为y,得出y关于x的函数解析式,配方得出最大值即可.
本题考查了函数解析式,函数最值的计算,属于中档题.
18.【答案】解:(1)∵4m2+4m-24<0,
∴m2+m-6<0,∴-3<m<2,
∴实数m的取值范围为:(-3,2).
(2)p:-1≤x≤2,
设A={x|-1≤x≤2},B={x|x2+2mx-m+6>0},
∵p是q的充分不必要条件,∴A⊊B
①由(1)知,-3<m<2时,B=R,满足题意;
②m=-3时,B={x|x2-6x+9>0}={x|x≠3},满足题意;
③m=2时,B={x|x2+4x+4>0}={x|x≠-2},满足题意;
④m<-3,或m>2时,设f(x)=x2+2mx-m+6,
f(x)对称轴为x=-m,由A⊊B得
或,
∴或,
∴或,
∴或
综上可知:
【解析】(1)由△<0得含m的不等式,解之得m的取值范围;
(2)把p是q的充分不必要条件转化为由A⊊B,在各种情况下找出充要条件不等式组,进而求出实数m的取值范围.
本题考查了充分必要条件,考查解不等式问题,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19.【答案】解:(1)∵,a1≠0,∴a1=1.….(1分)
∵,∴(1+d)2=3+3d,
∴d=-1,2,
当d=-1时,a2=0不满足条件,舍去.
因此d=2.….(4分)
∴an=2n-1,∴,∴Tn=.….(6分)
(2)当n为偶数时,,∴,
∵,当n=2时等号成立,∴最小值为,
因此. ….(9分)
当n为奇数时,,
∵在n≥1时单调递增,∴n=1时的最小值为,∴. ….(12分)
综上,. ….(14分)
【解析】(1)利用,n取1或2,可求数列的首项与公差,从人体可得数列的通项,进而可求数列的和;
(2)分类讨论,分离参数,求出对应函数的最值,即可求得结论.
本题考查数列的通项与求和,考查恒成立问题,解题的关键是分类讨论,分离参数,属于中档题.
20.【答案】解:(I)an=n,Sn=.
∴S1=1,S2=3,S3=6,S4=10,S5=15.
∴b1=1,b2=2,b3=2,b4=2,b5=3.
证明:(II)(充分性)
∵a1是奇数,ai(i=2,3,4…)为偶数,
∴对于任意i∈N*,Si都是奇数,
∴bn=n,
∴数列{bn}是单调递增数列.
(不必要性)
当数列{an}中只有a2是奇数,其余项都是偶数时,S1为偶数,Si(i=2,3,4…)均为奇数,
∴bn=n-1,数列{bn}是单调递增数列,
∴“a1为奇数,ai(i=2,3,4,…)为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的不必要条件.
综上,:“a1为奇数,ai(i=2,3,4,…)为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件.
(Ⅲ)(1)当ak为奇数时,若Sk为偶数,
若ak+1是奇数,则Sk+1为奇数,∴bk+1=bk+1=ak+1为偶数,与ak+1=bk+1矛盾;
若ak+1为偶数,则Sk+1为偶数,∴bk+1=bk=ak为奇数,与ak+1=bk+1矛盾.
∴当ak为奇数时,Sk不能为偶数;
(2)当ak为偶数,若Sk为奇数,
若ak+1为奇数,则Sk+1为偶数,∴bk+1=bk=ak为偶数,与ak+1=bk+1矛盾,
若ak+1为偶数,则Sk+1为奇数,∴bk+1=bk+1=ak+1为奇数,与ak+1=bk+1矛盾,
∴当ak为偶数时,Sk不能是奇数.
综上,ak与Sk同奇偶,
∵a1=b1=S1为偶数,且0≤b1≤1,∴b1=a1=0,
∵a2=b2≤b1+1=1,且b2≥0,∴b2=a2=0,
以此类推,得到an=0.
【解析】(I)推导出an=n,Sn=.由此能写出数列{bn}的前5项.
(II)先证充分性,推导出bn=n,从而数列{bn}是单调递增数列;再证不必要性,当数列{an}中只有a2是奇数,其余项都是偶数时,S1为偶数,Si(i=2,3,4…)均为奇数,bn=n-1,数列{bn}是单调递增数列,由此能证明:“a1为奇数,ai(i=2,3,4,…)为偶数”是“数列{bn}是单调递增数列”的充分不必要条件.
(Ⅲ)当ak为奇数时,推导出Sk不能为偶数;当ak为偶数,推导出Sk不能是奇数,从而ak与Sk同奇偶,由此得到an=0.
本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法,考查推理能力与计算能力,属于中档题.