数学理卷·2018届贵州省毕节梁才学校高三上学期第一次月考（2017 9页

贵州省毕节梁才学校高 2015 级高三上期第一学月考试 数 学 试 题（理科） 命题人 罗导江 审题人：赵晓林 考试时间:120 分钟 全卷满分：150 分 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、考号填写在答题卡上，认真核对考 号和答题卡的填涂是否正确. 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他 答案的标号；非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写， 字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案 无效. 4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题 目对应的题号涂黑. 第 I 卷 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的，请将正确选项填在答题卡的指定位置 ). 1．集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ， 为虚数单位，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知向量 ， ，若 ，则 （） A. B. C. 2 D. 4 4．. 已知函数 若 ，则实数 等于（） A． B． C．4D．2 { }1,2,4A = { }3,2,1=B =BA  { }2 { }1, 2 { }2, 4 { }1, 2, 4 Ryx ∈, i iyxi 3)2(1 −−=+ =+ yix 2 5 3 10 ( ), 1a x= − ( )1, 3b = a b⊥  a = 2 3    ≥+ <+= )1(, )1(12017)( 2 xaxx xxf x ， aff 3))0(( = a 4 1 5 4 5.若锐角 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 6．若实数 满足 ，则 的最大值是（） A．0 B．2 C. 5 D．6 7. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著 的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算 法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例. 若输入n，x的值分别为3，2. 则输出v 的值为（ ） A．9 B．18 C．20 D．35 8．在集合 内任取一个元素，能使不等式 成立的 概率是（ ） A. B. C. D. 9. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（） A. B. C. D. 10．设 为双曲线 ： 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线 的左、 右支交于点 ，若 ， ，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，正弦曲线 ，余弦曲线 与两直线 ， 所围成的阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 12. 函 数 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 且 满 足 ， 当 α 5 3)4cos( =+ πα =α2sin 25 7 25 16 25 18 25 24 ,x y    ≥+ ≤++ ≤+− 03 053 03 x yx yx yxz 2+= { }40,50|),( ≤≤≤≤ yxyx 0225 ≤−+ yx 4 1 4 3 3 1 3 2 8 3 4 3 248 + 246+ F C 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > C ,P Q 2PQ QF= 60PQF∠ =  3 1 3+ 2 3+ 4 2 3+ xy sin= xcos= 0=x π=x 2 22 ( )f x R ( ) ( )2f x f x+ = 2 2 2 俯视图 侧视图正视图 时， ，若方程 （ ）恰有三个不相等的实数根， 则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题 5 分,共 20 分.请将正确答案填在答卡上） 13. 与直线 平行的抛物线 的切线方程是_____________． 14. 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ，则 . 15．在 的展开式中 的系数为 320，则实数 __________． 16．已知函数 的图象如图所示， 若将函数 的图象向左平移 个单位，则所得图象对应的函数可以 为__________ . 三、解答题（本在题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出必要的文字过程） （一）必考题：5 个小题，共 60 分） 17.（满分 12 分）已知数列 是公差不为 0 的等差数列，首项 ，且 成等 比数列. （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 ，求数列 的前 项和为 . 18. 甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人 6 次测试的成绩（单位： 分） 记录如下： 甲 86 77 92 72 78 84 乙 78 82 88 82 95 90 [ ]0,1x ∈ ( ) 2f x x= ( ) 0ax a f x+ − = 0a > a 1 ,12      [ ]0, 2 ( )1, 2 [ )1, +∞ 042 =+− yx 2xy = ABC∆ A B C a b c Aba sin23 = =B 5 22 ax x  +   4x− a =      <>>+= 2||,0,0)()( πϕωϕω AxAcoosxf )(xf 2 π }{ na 11 =a 421 aaa 、、 }{ na }{ nb na nn ab 2+= }{ nb n nT （1）用茎叶图表示这两组数据，现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参 赛更好？说 明理由（不用计算）； （2）若将频率视为概率，对运动员甲在今后三次测试成绩进行预测，记这三次成绩高 于 85 分的次 数为 ，求 的分布列和数学期望 及方差 . 19．（本题满分 12 分）已知直三棱柱 的三视图如图所示， 是 的中点． （1）求证： ∥平面 ； （2）求二面角 的余弦值； 【来源：全,品…中&高*考+网】 20.（本题满分 12 分）已知椭圆 经过点 ，离心率 ． （1）求椭圆 的方程； （2）直线 与圆 相切于点 M，且与椭圆 相交于不同的两点 ， 求 的最大值． 21．已知函数 . （1）求 时，求 的单调区间； （2）讨论 在定义域上的零点个数. （二）选考题：共 10 分，（请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，按所做的第一 题计分） X X ( )E X ( )D X 111 CBAABC − D BC 1A B 1ADC 1C AD C− − 2 2 2 2: 1( 0)x y a ba b Γ + = > > 1( 3, )2E 3 2 Γ l 2 2 2:O x y b+ = Γ ,A B AB ( ) ( )21ln 2f x a x x a R= − ∈ 1a = ( )f x ( )f x 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，且长 度单位相同， 曲线 C 的极坐标方程为 （1）求曲线 C 的直角坐标方程； （2）直线 （t 为参数）与曲线 C 交于 A，B 两点，于 y 轴交于点 E， 求 的值. 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲. 已知函数 （1）当 时，解不等式 ； （2）当 时，若对一切 ，恒有 成立，求实数 的取值 范. 贵州省毕节梁才学校高 2015 级高三上期第一学月考试 数 学 试 题（理科）参 考 解 答 一、选择题答案：1-5 BDCCA6—10 CBBCB 11-12 DA 二、填空题答案: 13. 14. 或 15. 16. 三、解答题　 17.解：（Ⅰ）由题设，得 ，即 化简，的 又 ， . ………6 分 )sin(cos2 θθρ +=       += = ty tx l 2 31 2 1 : || 1 || 1 EBEA + ||)(|,12|)( axxgxxf =+= 1=a 1)()( +≥ xgxf 2=a Rx ∈ bxgxf ≥+ )()( b 012 =−− yx °60 °120 2=a )4 52cos(2 π+x 41 2 2 aaa = dd 31)1( 2 +=+ 02 =− dd 0≠d 1=∴d nan =∴ （Ⅱ）由（Ⅰ）得， ……12 分 18.（1）其茎叶图如下： 由图可知乙的平均水平比甲高，故选乙………6 分 （2）甲运动员每次测试高于 85 分的概率大约是 ，成绩高于 85 分的次数为 服从二项 分布， 分布列为： 0 1 2 3 19.解：（1）证明：根据三视图知：三棱柱 是直三棱柱， ， 连结 ，交 于点 ，连结 .由 是直三棱柱， 得四边形 为矩形， 为 的中点. 又 为 中点，所以 为 中位线，所以 ∥ ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ∥平面 . （2）解：由 是直三棱柱，且 ，故 两两垂直. 如图建立空间直角坐标系 . ，则 . 所以 ， n n nb 2+= )222321( 2 n n nT ++++++++=  （） 222 )1( 1 −++= +nnn 1 3 X X P 8 27 4 9 2 9 1 27 13 13)( =⋅== npXE 3 2 3 2 3 13)( =⋅⋅== npqXD 111 CBAABC − 12AB BC AA= = 90ABC °∠ = 1AC 1AC O OD 111 CBAABC − 1 1ACC A O 1AC D BC OD 1A BC△ 1A B OD OD ⊂ 1ADC 1A B ⊄ 1ADC 1A B 1ADC 111 CBAABC − 90ABC °∠ = 1,, BBBCBA xyzB −  2=BA )0,0,1(),1,0,2(),0,2,0(),0,0,2(),0,0,0( 1 DCACB )0,2,1( −=AD AG )1,2,2( −=AC 设平面 的法向量为 ，则有 所以 取 ，得 . 易知平面 的法向量为 . 由二面角 是锐二面角，得 . 所以二面角 的余弦值为 . 20 解：（Ⅰ）由已知可得 3 a2＋ 1 4b2＝1， a2－b2 a ＝ 3 2 ，解得 a＝2，b＝1， 所以椭圆 Γ 的方程为x2 4＋y2＝1． …5 分 （Ⅱ）当直线 l 垂直于 x 轴时，由直线 l 与圆 O：x2＋y2＝1 相切， 可知直线 l 的方程为 x＝±1，易求|AB|＝ 3． …6 分 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m， 由直线 l 与圆 O：x2＋y2＝1 相切，得 |m| k2＋1 ＝1，即 m2＝k2＋1，…7 分 将 y＝kx＋m 代入x2 4＋y2＝1，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ －8km 1＋4k2，x1x2＝4m2－4 1＋4k2 ， …8 分 |AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k2 (x1＋x2)2－4x1x2 ＝ 1＋k2 ()2－＝4 1＋k2 1＋4k2－m2 1＋4k2 ， 又因为 m2＝k2＋1， 所以|AB|＝4 3|k| k2＋1 1＋4k2 ≤2(3k2＋k2＋1) 1＋4k2 ＝2， 当且仅当 3|k|＝ k2＋1，即 k＝± 2 2 时等号成立． 综上所述，|AB|的最大值为 2． …12 分 21．(1) 在定义域是 ， . 当 时， .当 时， ，当 时，由 ， 1ADC = ( )x,y,zn 1 0, 0. n AD n AC  ⋅ = ⋅ =   2 0, 2 2 0. x y x y z − =  − + = 1=y )2,1,2( −=n ADC (0,0,1)=v 1C AD C− − | | 2cos , 3 ⋅〈 〉 = =n vn v n v 1C AD C− − 2 3 ( )f x ( )0,+∞ ( )' af x xx = − 1a = ( ) 21 1' xf x xx x −= − = ( )0,1x∈ ( )' 0f x > ( )1,x∈ +∞ ( )' 0f x < 所以 单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 分 (2) ∵ . 分 ① 当 时， ， 在区间 上单调递减， 当 时， ， 当 时， ，所以在 区间 上只有一个零点. ② 当 时， 恒成立，所以 在区间 上没有零点. ……8 分 ③ 当 时，当 时， ， 在区间 上单调递增； 当 时， ， 在区间 上单调递减， 所以当 时， 取极大值 .……9 分 (i) 当 时，极大值 ， 在区间 上有 1 个零点. (ii ) 当 时，极大值 ， 在区间 上没有零点. (iii) 当 时，极大值 ， 在区间 上有两个零点. ……12 分 22.解答：（1）由 得 . 可得直角坐标方程为 ……5 分 （2）将直线方程代入圆的标准方程可得： ， 于是有 从而 ……10 分 23.（1） ①当 时，不等式等价于 ，解得 ②当 时，不等式等价于 , 此时无解. ③当 时，不等式等价于 ，解得 . ( )f x ( )0,1 ( )1,+∞ 5 ( ) 2 ' a a xf x xx x −= − = 6 0a < ( )' 0f x < ( )f x ( )0,+∞ 0x → ( )f x → +∞ x → +∞ ( )f x →−∞ ( )f x ( )0,+∞ 0a = ( ) 21 02f x x= − < ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )0,x a∈ ( )' 0f x > ( )f x ( )0, a ( ),x a∈ +∞ ( )' 0f x < ( )f x ( ),a +∞ x a= ( )f x ( ) ( )ln 12 af a a= − a e= ( ) 0f a = ( )f x ( )0,+∞ 0 a e< < ( ) 0f a < ( )f x ( )0,+∞ ea > 0)( >af ( )f x ( )0,+∞ )sin(cos2 θθρ += )sin2cos22 θρθρρ += 2)1()1( 22 =−+− yx 012 =−− tt 11 2121 =⋅=+ tttt 5|||| 1 || 1 21 21 =⋅ −=+ tt tt EBEA 1|||12|1)()( +≥+⇔+≥ xxxgxf 2 1−≤x 1)12( +−≥+− xx 2−≤x 02 1 <<− x 112 +−≥+ xx 0≥x 112 +≥+ xx 0≥x 综上可得，不等式的解集是 ……5 分 （2） 由 于是： ……10 分 ),0[]2,( +∞−−∞  bxgxfbxgxf ≥+⇔≥+ min))()(()()( 1|212||2||12|)()( =−+≥++=+ xxxxxgxf 1≤b