2017-2018学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等六校高二10月联考数学试题 7页

‎2017-2018学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等六校高二10月联考数学试卷 ‎ ‎‎2017-10-11‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共22小题，共150分.共4开，考试时间120分钟，考生作答时将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．直线的倾斜角的大小为(　　)‎ A．30°　　 B．60° C．120° D．150°‎ ‎2．已知直线l1：x＋y＋1＝0,l2：2x＋2y－3＝0,则l1,l2之间的距离为(　　)‎ A． B. C. D．‎ ‎3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)‎ ‎4．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 ‎5．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎6．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎7．若{(x，y)|ax＋2y－1＝0}∩{(x，y)|x＋(a－1)y＋1＝0}＝，则a等于(　　) ‎ A. B‎.2 C.－1 D.2或－1‎ ‎8．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝(　　)‎ A．－ B．± C．－ D．± ‎9．若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D．[0,1]‎ ‎10．如图所示,定圆半径为,圆心为,则直线与直线的交点在(　　)‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎11．在约束条件，当时，目标函数的最大值的变化范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a、b应满足的关系式是(　　)‎ A．a2－‎2a－2b－3＝0 B．a2＋‎2a＋2b＋5＝0‎ C．a2＋2b2＋‎2a＋2b＋1＝0 D．‎3a2＋2b2＋‎2a＋2b＋1＝0‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 一、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知点A(3,2)和B(－1,4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________；‎ ‎14．若直线l1：y＝k(x－6)与直线l2关于点(3,1)对称，则直线l2恒过定点________；[来源:学*科*网]‎ ‎15．若点在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围是_________；‎ ‎16．已知圆C：，直线经过点，若对任意的实数m，直线被圆C截得的弦长都是定值，则直线的方程为________。‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17． (本小题满分10分)菱形ABCD中，A(－4,7)，C(6，－5)，BC边所在直线过点P(8，－1).求：‎ ‎(1)AD边所在直线的方程；‎ ‎(2)对角线BD所在直线的方程.‎ ‎18． (本小题满分12分)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．‎ ‎19．(本小题满分12分)过原点O的圆C，与x轴相交于点A(4,0)，与y轴相交于点B(0,2)．‎ ‎(1)求圆C的标准方程；‎ ‎(2)直线l过B点与圆C相切，求直线l的方程，并化为一般式．‎ ‎20．(本小题满分12分)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；‎ ‎(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．‎ ‎21．(本小题满分12分)已知：以点C为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．‎ ‎(1)求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．‎ ‎22．(本小题满分12分)如图，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝‎3 km，点N到l1，l2的距离分别为‎4 km和‎5 km.‎ ‎ (1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；‎ ‎(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于‎4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于 km，求该校址距点O的最近距离．(注：校址视为一个点)‎ ‎2017-2018学年度高二数学第一学期十月份联考试卷 参考答案 ‎1-5 CBCBD 6-10 CBDDB 11-12 DB ‎13． _____－4或___;‎ ‎14． _____(0,2)___;‎ ‎15． ________;‎ ‎16． ______. ‎ ‎17． (本小题满分10分) ‎ ‎【解】　(1)kBC＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2，‎ ‎∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，即2x－y＋15＝0……………………..5‎ ‎ (2)kAC＝－，∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD＝，而AC中点(1,1)，也是BD的中点，‎ ‎∴直线BD的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.…………………….10‎ ‎18． (本小题满分12分) ‎ ‎【解】　如图所示，已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．设l的方程为y－3＝k(x＋3)，‎ 即kx－y＋3＋3k＝0…………………………………………………………..……………..4‎ 则＝1，‎ 即12k2＋25k＋12＝0，∴k1＝－，k2＝－………………………………………..10‎ 则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0……………………………………....12‎ ‎19．(本小题满分12分) ‎ 解析：(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 则分别代入原点和A(4,0)，B(0,2)得到，‎ 解得 则圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5……………………………………………6‎ ‎(2)由(1)得到圆心C为(2,1)，半径r＝， ‎ 由于直线l过B点与圆C相切，‎ 则设直线l：x＝0或y＝kx＋2，‎ 当l：x＝0时，C到l的距离为2，不合题意，舍去；‎ 当l：y＝kx＋2，由直线与圆相切，得到d＝r，‎ 即有＝，解得k＝2，…………………………………………………….10‎ 故直线l：y＝2x＋2，即为2x－y＋2＝0………………………………………………12‎ ‎20．(本小题满分12分) ‎ ‎【解】　(1)设点P的坐标为(x，y)，‎ 则＝2，‎ 化简可得(x－5)2＋y2＝16，‎ 此即为所求．………………………………………………………………………………….5‎ ‎(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝.‎ 当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，‎ ‎|CQ|＝＝4，‎ ‎∴|QM|最小＝4………………………………………………………………………………….12‎ ‎21．(本小题满分12分) ‎ 解析：(1)证明：由题意知圆C过原点O.‎ ‎|OC|2＝t2＋，‎ 则圆C的方程为(x－t)2＋2＝t2＋，‎ 令x＝0，得y1＝0，y2＝；‎ 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.‎ ‎∴S△OAB＝|OA|×|OB|＝×|2t|×＝4，即△OAB的面积为定值．…………………….6‎ ‎(2)∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，‎ ‎∴OC垂直平分线段MN.‎ ‎∵kMN＝－2，∴kOC＝，‎ ‎∴直线OC的方程为y＝x，‎ ‎∵C在直线OC上，‎ ‎∴＝t，解得t＝2或t＝－2…………………………………………………………………..8‎ 当t＝2时，圆心C的坐标为(2,1)，|OC|＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，∴圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点；‎ 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，‎ ‎|OC|＝，此时圆心C到直线y＝－2x＋4的距离d＝>，圆C与直线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，应舍去．‎ ‎∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5…………………………………………………………..12‎ ‎22．(本小题满分12分) ‎ ‎【解】　(1)分别以l2、l1为x轴、y轴建立直角坐标系，依题意得M(0,3)，N(4,5)，故kMN＝＝，M、N中点为(2,4)．故线段MN的垂直平分线方程为：y－4＝－2(x－2)．令y＝0得x＝4，故圆心A的坐标为(4,0)，半径r＝＝5.‎ ‎∴⊙A的方程为(x－4)2＋y2＝25，‎ ‎∴的方程为(x－4)2＋y2＝25(0≤x≤4,3≤y≤5)．…………………………………………..6‎ ‎(2)设校址选在B(a,0)(a>4)，则≥对0≤x≤4恒成立，即≥对0≤x≤4恒成立，整理得(8－‎2a)x＋a2－17≥0①‎ 对0≤x≤4恒成立．∵a>4，∴8－‎2a<0.令f(x)＝(8－‎2a)x＋a2－17，则f(x)在[0,4]上为减函数，故要使①式对0≤x≤4恒成立，必须有即 解得a≥5，即校址距点O的最近距离为‎5 km……………………………………………………12‎