2017-2018学年宁夏银川一中高二下学期期末考试数学（文）试题-解析版 15页

绝密★启用前 宁夏银川一中2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．角的终边过点，则等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角函数的定义知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.‎ ‎2．已知等比数列中，,则=( )‎ A. 54 B. -81 C. -729 D. 729‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据等比数列的下标和性质，建立方程即可得到结论．‎ 详解：在等比数列{an}中，‎ ‎∵a3=﹣4，a6=54，‎ ‎∴a3a9=（a6）2，‎ 即﹣4a9=54×54，‎ ‎∴a9=﹣729，‎ 故选：C．‎ 点睛：等比数列中，若，则；‎ 等差数列中，若，则.‎ ‎3．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则的值为(　　)‎ A. 9 B. －9 C. 12 D. －12‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由勾股定理，求得BC=3，再由向量垂直的条件：数量积为0，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求．‎ 详解：直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，‎ 即有BC==3，‎ 则=﹣（﹣）•‎ ‎=﹣2+•=﹣9+0=﹣9．‎ 故选：B．‎ 点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.‎ ‎4．在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=(　　)‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接利用余弦定理求解即可．‎ 详解：：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，‎ AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，‎ 可得：13=9+AC2+3AC，‎ 解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．‎ 故选：D．‎ 点睛：对于余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2）.‎ ‎5．将函数y=sin（2x +）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（ ）‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用函数y=Asin（ωx+）的图象变换可得函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．‎ 详解：令y=f（x）=sin（2x+），‎ 则f（x+）=sin[2（x+）+]=sin（2x++），‎ ‎∵f（x+）为偶函数，‎ ‎∴+ =kπ+，‎ ‎∴ =kπ+，k∈Z，‎ ‎∴当k=0时， =．‎ 故的一个可能的值为．‎ 故选：C．‎ 点睛：变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用来确定平移单位．‎ ‎6．等比数列的前项和为，已知， ，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析： ，所以，即，所以.‎ 考点：等比数列的性质.‎ ‎7．函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)‎ A. y=2sin B. y=2sin C. y=2sin D. y=2sin ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．‎ 详解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，‎ ‎=，故T=π，ω=2，‎ 故y=2sin（2x+φ），‎ 将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，‎ 则φ=﹣满足要求，‎ 故y=2sin（2x﹣），‎ 故选：A．‎ 点睛：已知函数的图象求解析式 ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求。‎ ‎8．等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若a2，a3，a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)‎ A. 3 B. -3 C. 8 D. -24‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出{an}前6项的和．‎ 详解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0，‎ 解得d=﹣2，‎ ‎∴{an}前6项的和为==﹣24．‎ 故选：A．‎ 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎9．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，则△ABC是（   ）‎ A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】D ‎【解析】分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到结果，即可做出判断 详解：∵，‎ 由正弦定理得：a=2R•sinA，b=2R•sinB，c=2R•sinC代入，‎ 得 ，‎ ‎∴进而可得tanA=tanB=tanC，‎ ‎∴A=B=C，‎ 则△ABC是等边三角形.‎ 故选：D 点睛：本题主要考查了正弦定理的应用，解题关键寻找角之间的联系，属于中档题.‎ ‎10．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,,则C=(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，‎ ‎∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0，‎ ‎∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，‎ ‎∴tanA=﹣1，‎ ‎∵＜A＜π，∴A=，‎ 由正弦定理可得=，∴sinC=，‎ ‎∵a=2，c=，∴sinC===，‎ ‎∵a＞c，∴C=，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎11．在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　).‎ A. B. C．1 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：, , ,则;因为＝m＋，所以 ‎.，即;‎ 是BN上的一点，,‎ ‎，即.‎ 考点：平面向量的线性运算.‎ ‎12．数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前64项和为（ ）‎ A. 4290 B. 4160 C. 2145 D. 2080‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：令a1=a，由递推式，算出前几项，得到相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值．‎ 详解：令a1=a，由，‎ 可得a2=1+a，a3=2﹣a，a4=7﹣a，‎ a5=a，a6=9+a，a7=2﹣a，a8=15﹣a，‎ a9=a，a10=17+a，a11=2﹣a，a12=24﹣a，…‎ 可得（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+…+（a61+a63）‎ ‎=2+2++2+…+2=2×16=32；‎ a2+a6+a10+…+a62=（1+a）+（9+a）+…+（121+a）‎ ‎=16（1+a）+×16×15×8=976+16a；‎ a4+a8+a12+…+a64=（7﹣a）+（15﹣a）+…+（127﹣a）‎ ‎=16（7﹣a）+×16×15×8=1072﹣16a；‎ 即有前64项和为32+976+16a +1072﹣16a =2080．‎ 故选：D．‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知sinα－cosα＝，则sinα·cosα等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：对条件两边平方，结合平方关系，即得结果.‎ 详解：∵sinα－cosα＝‎ ‎∴‎ ‎∴sinα·cosα=‎ 故答案为：‎ 点睛：应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sincos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sincos，可以知一求二．‎ ‎14．已知，则_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】分析：由题意得到，利用模的坐标运算得到结果.‎ 详解：∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为：5‎ 点睛：本题考查向量的坐标运算，考查求模公式，属于基础题.‎ ‎15．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为 此时气球的高是60m，则河流的宽度等于_______.‎ ‎【答案】m ‎【解析】分析：由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．‎ 详解：如图，‎ 由图可知，∠DAB=15°，‎ ‎∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．‎ 在Rt△ADB中，又AD=60，‎ ‎∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．‎ 在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，‎ ‎∴DC=AD•tan60°=60．‎ ‎∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．‎ ‎∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．‎ 故答案为：120（﹣1）．‎ 点睛：解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)明确俯角的含义；‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．‎ ‎16．设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈,则S5=________.‎ ‎【答案】121‎ ‎【解析】分析：由an+1=2Sn+1先明确数列{Sn+}成等比数列，从而求得S5‎ 详解：S2=4,an+1=2Sn+1,n∈,‎ ‎∴Sn+1−Sn=1+2Sn,变形为：Sn+1+=2(Sn+)，‎ ‎∴数列{Sn+}成等比数列，公比为2.‎ ‎∴S5+=(S2+)×33=×27，‎ 则S5=121.‎ 故答案为：121‎ 点睛：本题考查了由数列的前n项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分和两种情形，第二要掌握这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．函数．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的最小正周期及单调递增区间．‎ ‎【答案】（1）；（2）， 的单调递增区间为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）借助题设直接运用诱导公式化简求解；（2）借助题设条件和二倍角公式求解．‎ 试题解析:‎ ‎（1），‎ ‎（2）因为．‎ 所以， 由，‎ 得，所以的单调递增区间为．‎ 考点：三角函数的图象及诱导公式二倍角公式的运用．‎ 视频 ‎18．数列满足， ， .‎ ‎（1）证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）证明：在原等式两边同除以，得，即，所以是以为首项， 为公差的等差数列.（2）由（1）得，所以，从而.‎ 用错位相减法求得.‎ 试题解析：（1）证：由已知可得，即 所以是以为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎（2）解：由（1）得，‎ 所以，从而 ‎①－②得：‎ 所以12分 考点：1.等差数列的证明；2.错位相减法求和.‎ ‎19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.‎ ‎(1)求C；‎ ‎(2)若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】分析：(1)利用正弦定理以及两角和与两角差的三角函数转化求解C.‎ ‎(2)通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可.‎ 详解：（1）由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，‎ ‎2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.‎ 可得cosC＝，因为，所以C＝.‎ ‎（2）由已知S△ABC＝absinC＝，又C＝，所以ab＝6，‎ 由已知及余弦定理得a2＋b2-2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，‎ 所以a＋b＝5.所以△ABC的周长为5＋.‎ 点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理等，在解题的过程中，注意对公式的正确使用，从而求得结果.‎ ‎20．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴非负半轴重合，直线的极坐标方程为，圆C的参数方程为，‎ ‎（1）求直线被圆C所截得的弦长；‎ ‎（2）已知点，过点的直线与圆所相交于不同的两点，求．‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】分析：（1）首先将圆的方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，最后利用弦长公式求解弦长即可；‎ ‎（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合韦达定理和直线参数的几何意义即可求得最终结果．‎ 详解：（1）将圆C的参数方程化为直角坐标系方程：，‎ 化为标准方程是，直线：‎ 由，所以圆心，半径；‎ 所以圆心C到直线：的距离是；‎ 直线被圆C所截得的弦长为．‎ ‎（2）设直线的参数方程为，‎ 将其带入圆的方程得：‎ 化简得：，所以 点睛：：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎21．设函数．‎ ‎（1）求证：当时，不等式成立．‎ ‎（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】分析：（1）将函数的解析式写成分段函数的形式，然后结合对数的性质放缩即可证得题中的不等式；‎ ‎（2）利用绝对值不等式的性质得到关于实数a的不等式，求解不等式即可求得最终结果．‎ 详解：(1)证明：由 ‎ 得函数的最小值为3，从而，所以成立. ‎ ‎(2) 由绝对值的性质得，‎ 所以最小值为，从而，‎ 解得，因此的最大值为 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎22．已知正项数列的前n项和Sn满足：.‎ ‎(1)求数列的通项公式. ‎ ‎(2)令，数列的前项和为，证明：对于任意，数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由Sn2可求sn，然后利用a1=s1，n≥2时，an=sn﹣sn﹣1可求an ‎（2）由b==，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明 详解：（1）由得 由于是正项数列，所以.于是，当时，=,又因为符合上式.综上，数列的通项公式为.‎ ‎(2)因为，，所以.‎ 则 ‎.‎ 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：‎ ‎(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎