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  • 2021-06-15 发布

2017-2018学年宁夏银川一中高二下学期期末考试数学(文)试题-解析版

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绝密★启用前 宁夏银川一中2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1.角的终边过点,则等于 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三角函数的定义知,x=-1,y=2,r==,∴sinα==.‎ ‎2.已知等比数列中,,则=( )‎ A. 54 B. -81 C. -729 D. 729‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:根据等比数列的下标和性质,建立方程即可得到结论.‎ 详解:在等比数列{an}中,‎ ‎∵a3=﹣4,a6=54,‎ ‎∴a3a9=(a6)2,‎ 即﹣4a9=54×54,‎ ‎∴a9=﹣729,‎ 故选:C.‎ 点睛:等比数列中,若,则;‎ 等差数列中,若,则.‎ ‎3.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,则的值为(  )‎ A. 9 B. -9 C. 12 D. -12‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:由勾股定理,求得BC=3,再由向量垂直的条件:数量积为0,向量的平方即为模的平方,计算即可得到所求.‎ 详解:直角三角形ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=4,‎ 即有BC==3,‎ 则=﹣(﹣)•‎ ‎=﹣2+•=﹣9+0=﹣9.‎ 故选:B.‎ 点睛:平面向量的数量积计算问题,往往有两种形式,一是利用数量积的定义式,二是利用数量积的坐标运算公式,涉及几何图形的问题,先建立适当的平面直角坐标系,可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件,可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决.列出方程组求解未知数.‎ ‎4.在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=(  )‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:直接利用余弦定理求解即可.‎ 详解::在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,‎ AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC,‎ 可得:13=9+AC2+3AC,‎ 解得AC=1或AC=﹣4(舍去).‎ 故选:D.‎ 点睛:对于余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2).‎ ‎5.将函数y=sin(2x +)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为( )‎ A. B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析:利用函数y=Asin(ωx+)的图象变换可得函数y=sin(2x+)的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式,利用其为偶函数即可求得答案.‎ 详解:令y=f(x)=sin(2x+),‎ 则f(x+)=sin[2(x+)+]=sin(2x++),‎ ‎∵f(x+)为偶函数,‎ ‎∴+ =kπ+,‎ ‎∴ =kπ+,k∈Z,‎ ‎∴当k=0时, =.‎ 故的一个可能的值为.‎ 故选:C.‎ 点睛:变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用来确定平移单位.‎ ‎6.等比数列的前项和为,已知, ,则( )‎ A. B. C. 2 D. -2‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析: ,所以,即,所以.‎ 考点:等比数列的性质.‎ ‎7.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(  )‎ A. y=2sin B. y=2sin C. y=2sin D. y=2sin ‎【答案】A ‎【解析】分析:根据已知中的函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象,求出满足条件的A,ω,φ值,可得答案.‎ 详解:由图可得:函数的最大值为2,最小值为﹣2,故A=2,‎ ‎=,故T=π,ω=2,‎ 故y=2sin(2x+φ),‎ 将(,2)代入可得:2sin(+φ)=2,‎ 则φ=﹣满足要求,‎ 故y=2sin(2x﹣),‎ 故选:A.‎ 点睛:已知函数的图象求解析式 ‎(1).‎ ‎(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求,一般用最高点或最低点求。‎ ‎8.等差数列{an}的首项为1,公差不为0,若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(  )‎ A. 3 B. -3 C. 8 D. -24‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程,求出公差,由此能求出{an}前6项的和.‎ 详解:∵等差数列{an}的首项为1,公差不为0.a2,a3,a6成等比数列,‎ ‎∴,‎ ‎∴(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),且a1=1,d≠0,‎ 解得d=﹣2,‎ ‎∴{an}前6项的和为==﹣24.‎ 故选:A.‎ 点睛:在解决等差、等比数列的运算问题时,有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现,应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件,有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则△ABC是(   )‎ A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 ‎【答案】D ‎【解析】分析:已知等式利用正弦定理化简,整理得到结果,即可做出判断 详解:∵,‎ 由正弦定理得:a=2R•sinA,b=2R•sinB,c=2R•sinC代入,‎ 得 ,‎ ‎∴进而可得tanA=tanB=tanC,‎ ‎∴A=B=C,‎ 则△ABC是等边三角形.‎ 故选:D 点睛:本题主要考查了正弦定理的应用,解题关键寻找角之间的联系,属于中档题.‎ ‎10.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,,则C=(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析:根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,‎ ‎∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,‎ ‎∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,‎ ‎∴cosAsinC+sinAsinC=0,‎ ‎∵sinC≠0,∴cosA=﹣sinA,‎ ‎∴tanA=﹣1,‎ ‎∵<A<π,∴A=,‎ 由正弦定理可得=,∴sinC=,‎ ‎∵a=2,c=,∴sinC===,‎ ‎∵a>c,∴C=,‎ 故选:B.‎ 点睛:本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下三种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.‎ ‎11.在△ABC中,N是AC边上一点,且=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为(  ).‎ A. B. C.1 D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:, , ,则;因为=m+,所以 ‎.,即;‎ 是BN上的一点,,‎ ‎,即.‎ 考点:平面向量的线性运算.‎ ‎12.数列{an}满足an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前64项和为( )‎ A. 4290 B. 4160 C. 2145 D. 2080‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析:令a1=a,由递推式,算出前几项,得到相邻奇数项的和为2,偶数项中,每隔一项构成公差为8的等差数列,由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.‎ 详解:令a1=a,由,‎ 可得a2=1+a,a3=2﹣a,a4=7﹣a,‎ a5=a,a6=9+a,a7=2﹣a,a8=15﹣a,‎ a9=a,a10=17+a,a11=2﹣a,a12=24﹣a,…‎ 可得(a1+a3)+(a5+a7)+(a9+a11)+…+(a61+a63)‎ ‎=2+2++2+…+2=2×16=32;‎ a2+a6+a10+…+a62=(1+a)+(9+a)+…+(121+a)‎ ‎=16(1+a)+×16×15×8=976+16a;‎ a4+a8+a12+…+a64=(7﹣a)+(15﹣a)+…+(127﹣a)‎ ‎=16(7﹣a)+×16×15×8=1072﹣16a;‎ 即有前64项和为32+976+16a +1072﹣16a =2080.‎ 故选:D.‎ 点睛:数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13.已知sinα-cosα=,则sinα·cosα等于_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:对条件两边平方,结合平方关系,即得结果.‎ 详解:∵sinα-cosα=‎ ‎∴‎ ‎∴sinα·cosα=‎ 故答案为:‎ 点睛:应用公式时注意方程思想的应用:对于sin+cos,sincos,sin-cos这三个式子,利用(sin±cos)2=1±2sincos,可以知一求二.‎ ‎14.已知,则_______.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】分析:由题意得到,利用模的坐标运算得到结果.‎ 详解:∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 故答案为:5‎ 点睛:本题考查向量的坐标运算,考查求模公式,属于基础题.‎ ‎15.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为 此时气球的高是60m,则河流的宽度等于_______.‎ ‎【答案】m ‎【解析】分析:由题意画出图形,由两角差的正切求出15°的正切值,然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度,作差后可得答案.‎ 详解:如图,‎ 由图可知,∠DAB=15°,‎ ‎∵tan15°=tan(45°﹣30°)==2﹣.‎ 在Rt△ADB中,又AD=60,‎ ‎∴DB=AD•tan15°=60×(2﹣)=120﹣60.‎ 在Rt△ADC中,∠DAC=60°,AD=60,‎ ‎∴DC=AD•tan60°=60.‎ ‎∴BC=DC﹣DB=60﹣(120﹣60)=120(﹣1)(m).‎ ‎∴河流的宽度BC等于120(﹣1)m.‎ 故答案为:120(﹣1).‎ 点睛:解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)明确俯角的含义;‎ ‎(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这是最关键、最重要的一步;‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦定理的“联袂”使用.‎ ‎16.设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈,则S5=________.‎ ‎【答案】121‎ ‎【解析】分析:由an+1=2Sn+1先明确数列{Sn+}成等比数列,从而求得S5‎ 详解:S2=4,an+1=2Sn+1,n∈,‎ ‎∴Sn+1−Sn=1+2Sn,变形为:Sn+1+=2(Sn+),‎ ‎∴数列{Sn+}成等比数列,公比为2.‎ ‎∴S5+=(S2+)×33=×27,‎ 则S5=121.‎ 故答案为:121‎ 点睛:本题考查了由数列的前n项和公式求数列的通项公式,属于中档题,解题时特别注意两点,第一,要分类讨论,分和两种情形,第二要掌握这一数列中的重要关系,否则无法解决此类问题,最后还要注意对结果的处理,分段形式还是一个结果的形式.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17.函数.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求函数的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎【答案】(1);(2), 的单调递增区间为.‎ ‎【解析】试题分析:(1)借助题设直接运用诱导公式化简求解;(2)借助题设条件和二倍角公式求解.‎ 试题解析:‎ ‎(1),‎ ‎(2)因为.‎ 所以, 由,‎ 得,所以的单调递增区间为.‎ 考点:三角函数的图象及诱导公式二倍角公式的运用.‎ 视频 ‎18.数列满足, , .‎ ‎(1)证明:数列是等差数列;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2) .‎ ‎【解析】试题分析:(1)证明:在原等式两边同除以,得,即,所以是以为首项, 为公差的等差数列.(2)由(1)得,所以,从而.‎ 用错位相减法求得.‎ 试题解析:(1)证:由已知可得,即 所以是以为首项,1为公差的等差数列.‎ ‎(2)解:由(1)得,‎ 所以,从而 ‎①-②得:‎ 所以12分 考点:1.等差数列的证明;2.错位相减法求和.‎ ‎19.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.‎ ‎(1)求C;‎ ‎(2)若,△ABC的面积为,求△ABC的周长.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【解析】分析:(1)利用正弦定理以及两角和与两角差的三角函数转化求解C.‎ ‎(2)通过三角形的面积以及余弦定理转化求解即可.‎ 详解:(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,‎ ‎2cosCsin(A+B)=sinC,故2sinCcosC=sinC.‎ 可得cosC=,因为,所以C=.‎ ‎(2)由已知S△ABC=absinC=,又C=,所以ab=6,‎ 由已知及余弦定理得a2+b2-2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,‎ 所以a+b=5.所以△ABC的周长为5+.‎ 点睛:该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理等,在解题的过程中,注意对公式的正确使用,从而求得结果.‎ ‎20.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴非负半轴重合,直线的极坐标方程为,圆C的参数方程为,‎ ‎(1)求直线被圆C所截得的弦长;‎ ‎(2)已知点,过点的直线与圆所相交于不同的两点,求.‎ ‎【答案】(1)(2)4‎ ‎【解析】分析:(1)首先将圆的方程化为直角坐标方程,利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离,最后利用弦长公式求解弦长即可;‎ ‎(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程,结合韦达定理和直线参数的几何意义即可求得最终结果.‎ 详解:(1)将圆C的参数方程化为直角坐标系方程:,‎ 化为标准方程是,直线:‎ 由,所以圆心,半径;‎ 所以圆心C到直线:的距离是;‎ 直线被圆C所截得的弦长为.‎ ‎(2)设直线的参数方程为,‎ 将其带入圆的方程得:‎ 化简得:,所以 点睛::直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数,t可正、可负、可为0)‎ 若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,则 ‎(1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|=|t1-t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.‎ ‎21.设函数.‎ ‎(1)求证:当时,不等式成立.‎ ‎(2)关于的不等式在上恒成立,求实数的最大值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】分析:(1)将函数的解析式写成分段函数的形式,然后结合对数的性质放缩即可证得题中的不等式;‎ ‎(2)利用绝对值不等式的性质得到关于实数a的不等式,求解不等式即可求得最终结果.‎ 详解:(1)证明:由 ‎ 得函数的最小值为3,从而,所以成立. ‎ ‎(2) 由绝对值的性质得,‎ 所以最小值为,从而,‎ 解得,因此的最大值为 点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向.‎ ‎22.已知正项数列的前n项和Sn满足:.‎ ‎(1)求数列的通项公式. ‎ ‎(2)令,数列的前项和为,证明:对于任意,数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1)(2)见解析 ‎【解析】分析:(1)由Sn2可求sn,然后利用a1=s1,n≥2时,an=sn﹣sn﹣1可求an ‎(2)由b==,利用裂项求和可求Tn,利用放缩法即可证明 详解:(1)由得 由于是正项数列,所以.于是,当时,=,又因为符合上式.综上,数列的通项公式为.‎ ‎(2)因为,,所以.‎ 则 ‎.‎ 点睛:裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:‎ ‎(1);(2) ; (3);(4) ;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.‎

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