数学理卷·2018届广东省惠州市高三第二次调研考试（2017 13页

惠州市2018届高三第二次调研考试 理科数学 全卷满分150分，时间120分钟．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎（1）若(为虚数单位)，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ ‎(A)第一象限　　　(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 ‎（2）已知集合，，若，‎ 则实数的取值范围是（   ） ‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（3）设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是（ ）‎ ‎ ①若，则与相交； ②若则；‎ ‎ ③若||，||，，则； ④若||，，，则||.‎ ‎ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4‎ ‎（4）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（5）设随机变量服从正态分布，若，‎ 则实数等于（   ） ‎ ‎(A)7 (B)6 (C)5 (D)4‎ ‎（6）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：‎ 卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数 坤 ‎000‎ ‎0‎ 震 ‎001‎ ‎1‎ 坎 ‎010‎ ‎2‎ 兑 ‎011‎ ‎3‎ 依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（7）已知等差数列的前项和为，且，，‎ 则数列的前10项和为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（8）旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（ ）‎ ‎(A)24 (B)18 (C)16 (D)10‎ ‎（9）已知，为双曲线的左右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（10）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，‎ 则最大值为(　　)‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎（11）函数部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则（ ）‎ ‎ (A)在上是减函数 (B)在上是增函数 ‎ (C)在上是减函数 (D)在上是增函数 ‎（12）函数是定义在上的奇函数, 当时, ，则函数在上的所有零点之和为（ ）‎ ‎ (A)8 (B) (C) (D)0‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎（13）已知，且，则 ____________．‎ ‎（14）某班共有56人，学号依次为1,2,3,…,56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为_____．‎ ‎（15）已知数列满足，则数列的通项公式为 ．‎ ‎（16）在四边形中，，已知，与的夹角为，且，，则___________．‎ 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知中，角的对边分别为，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，背诵结果只有“正确”和“错误”两种。其中某班级背诵正确的概率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成首背诵后总得分为”.‎ ‎（1）求且的概率；‎ ‎（2）记，求的分布列及数学期望.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径 上，且有点和上的点，满足，.‎ ‎（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点,是坐标原点，且时，求的取值范围.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；‎ ‎（2）若，恒成立，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。‎ ‎（22）（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求直线的极坐标方程；‎ ‎（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，‎ 求的值．‎ ‎（23）（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲] ‎ 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，‎ 求实数的取值范围. ‎ ‎ 惠州市2018届高三第二次调研考试 理科数学参考答案 一、选择题：（每小题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C C B B B D D C B A ‎1．【解析】由题意知，其对应点的坐标为，在第一象限．‎ ‎2．【解析】集合，由可得，.‎ ‎3．【解析】②错，①③④正确.‎ ‎4．【解析】“不等式在上恒成立”即，，‎ 同时要满足“必要不充分”，在选项中只有“”符合.‎ ‎5．【解析】由随机变量服从正态分布可得对称轴为，又 ‎，与关于对称，，‎ 即.‎ ‎6．【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的，‎ 转化为十进制数的计算为 ‎7．【解析】由及等差数列通项公式得，又，，，，，‎ ‎8．【解析】第1种：甲在最后一个体验，则有种方法；第2种：甲不在最后体验，则有 种方法，所以小明共有.‎ ‎9．【解析】设双曲线方程为，不妨设点M在第一象限，所以，，作轴于点，则，故，，所以，将点代入双曲线方程，得，所以.‎ ‎10．【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥PABC(如图所示)，‎ 其中底面ABC是直角三角形，，面ABC，‎ ‎，，，因此 ‎，‎ 当且仅当，即时取等号，因此xy的最大值是64.‎ ‎11．【解析】由题意，，，又，有，，即，且，即，解得，‎ ‎，，单调递增.解得.所以选项B符合.‎ ‎12．【解析】令，所以求的零点之和和的交点横坐标之和，分别作出时，和图象，如图 ‎ 由于和都关于原点对称，因此的零点之和为0，而当时，，即两函数刚好有1个交点，而当时的图象都在的上方，因此零点之和为8.‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎13． 14. 16 15. 16. 2‎ ‎13．【解析】；，由且可得.‎ ‎14．【解析】由题意得，需要从56人中分成4组，每组的第2位学号为抽出的同学，所以有.‎ ‎15．【解析】由两边同除可得，又，成以为首，公差为的等差数列，，.‎ ‎16．【解析】，，，又，，代入式子可得 三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.解：（1）， ‎ 由正弦定理可得 …………2分 ‎，即 又，，，即. …………6分 ‎（2）由余弦定理可得， …………9分 ‎ 又，，，的面积为.………12分 ‎18.解：（1）取中点，连接、、，‎ ‎∵四边形是边长为的菱形，∴．‎ ‎∵，∴是等边三角形．‎ ‎∴，． ……2分 ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴．∴． ……4分 ‎∵，∴平面．‎ ‎∵平面，∴平面平面． ……5分 ‎（2）∵，∴．‎ 由（1）知，平面平面，∴平面，‎ ‎∴直线两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系，如图，‎ 则．‎ ‎∴． ……6分 设平面的法向量为，‎ 由，得，取，得， ……8分 设平面的法向量为，由，得，‎ 取，得， ……10分 ‎∴，由图可知二面角为锐二面角，∴二面角的的余弦值为． ……12分 ‎ ‎19.解：（Ⅰ）当时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首；‎ 由可得：若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；‎ 若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，‎ 此时的概率为：；……4分 ‎（Ⅱ）∵的取值为10，30，50，又，， ‎ ‎∴， ……6分 ‎ ‎， ……8分 ‎ ……10分 ξ ‎30‎ ‎50‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎∴． ……12分 ‎ ‎20.解：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以 ‎ ‎ ‎ 所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，……2分 ‎，， ……3分 故点的轨迹方程是 ……4分 ‎ （2）设直线，‎ 直线与圆相切 联立 ……6分 ‎ ……7分 ‎ ……8分 ‎ ……9分 ‎ ‎ ‎ ……10分 所以 为所求. ……12分 ‎21.解：（1），的图象在处的切线与轴平行，‎ 即在处的切线的斜率为0，即， ……4分 ‎（2）f′(x)＝2(ex－x＋a)，又令h(x)＝2(ex－x＋a)，则h′(x)＝2(ex－1)≥0，‎ ‎∴h(x)在[0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝2(a＋1)． ……5分 ‎①当a≥－1时，f′(x)≥0恒成立，即函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，‎ 从而必须满足f(0)＝5－a2≥0，解得－≤a≤，又a≥－1，∴－1≤a≤. ……8分 ‎②当a<－1时，则存在x0>0，使h(x0)＝0且x∈(0，x0)时，h(x)<0，即f′(x)<0，‎ 即f(x)单调递减，x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，即f′(x)>0，即f(x)单调递增．‎ ‎∴f(x)min＝f(x0)＝2ex0－(x0－a)2＋3≥0，‎ 又h(x0)＝2(ex0－x0＋a)＝0，从而2 ex0－(ex0)2＋3≥0, 解得0