【数学】江西省上饶市横峰中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）（课改班） 9页

江西省上饶市横峰中学2020-2021学年 高二上学期第一次月考（理）（课改班）‎ 一、单选题(共60分)‎ ‎1．平面平面，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．与相交但不一定垂直 ‎2．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）‎ A．4 B．2 C．6 D．8‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设，则“”是的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．已知抛物线，点为抛物线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A． B． C． D．‎ ‎6．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A． B． C． D．‎ ‎7．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）‎ A．20° B．40° C．50° D．90°‎ ‎8．若展开式中常数项为60.则常数a的值为（ ） ‎ A．4 B．2 C．8 D．6‎ ‎9．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2必须相邻的五位数的个数是（ ）‎ A．32 B．36 C．48 D．120‎ ‎10．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎11．已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线相交于两点，其中为坐标原点，若与圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．‎ ‎12．矩形中，，为边的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中，下列命题：‎ ‎①与平面垂直的直线必与直线垂直；‎ ‎②线段的长为；‎ ‎③异面直线与所成角的正切值为；‎ ‎④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球表面积是.‎ 正确的个数为（ ） ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题(共20分)‎ ‎13．命题“，”的否定是_______.‎ ‎14．已知，则_______.‎ ‎15．某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为，，则椭圆的离心率的概率是__________．‎ ‎16．在三棱锥中，底面，，，，是线段上一点，且．三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为__________．‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17．(本题10分)已知椭圆C的焦点（－，0）和（，0），长轴长6．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．‎ ‎18．(本题12分)如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.‎ ‎19．(本题12分)已知、、是的内角，、、分别是其对边长，向量，，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎20．(本题12分)已知展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．‎ ‎（1）求展开式中含有的项；‎ ‎（2）求展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎21. (本题12分)如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值.‎ ‎22．(本题12分)已知椭圆()的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）直线交于，两点，且.已知上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，若在直线的右下方，求的值.‎ 参考答案 ‎1-12、CACCB ABACB CC ‎13．，‎ ‎14．502‎ ‎15．‎ ‎16．‎ ‎17． 试题解析：（Ⅰ）由已知得,‎ ‎（Ⅱ）‎ 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 ‎18．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，‎ 又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，‎ 所以PD⊥AC，又，‎ 故AC⊥平面PBD；‎ ‎（2）因为PD⊥平面ABCD，‎ 所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，‎ 于是∠PBD=45°，‎ 因此BD=PD=2.又AB= AD=2，‎ 所以菱形ABCD的面积为，‎ 故四棱锥P- ABCD的体积.‎ ‎19． （1），，，‎ ‎，‎ 由正弦定理得，整理得，‎ ‎，‎ ‎，；‎ ‎（2）在中，，，‎ 由余弦定理知，‎ 由基本不等式得，当且仅当时等号成立，，‎ ‎，因此，面积的最大值为.‎ ‎20． （1）证明：如图，取的中点，连， ，‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎∵在直角梯形中，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴‎ ‎∵平面，平面，，‎ ‎∴平面，‎ ‎（2）∵平面，，‎ ‎∴， ，两两垂直，以为原点，‎ ‎，，向量方向分别为轴，轴，‎ 轴建立如图所示空间直角坐标系.‎ ‎ 各点坐标如下：，，，，‎ 设平面的法向量为 由，，‎ 有,取，则，，‎ 即 设平面的法向量为 由，，有，‎ 取 ，则，，即 所以 故二面角的正弦值为.‎ ‎21．解：令得展开式各项系数和为，二项式系数为，‎ 由题意得：，解得，‎ ‎（1）通项公式为 令，，． ‎ ‎（2），展开式共6项，二项式系数最大项为第三、四项，‎ ‎，‎ ‎22． （1）依题意，，‎ 因为离心率，‎ 所以，解得，‎ 所以的标准方程为.‎ ‎（2）因为直线的倾斜角为，‎ 且是以为顶角的等腰直角三角形，‎ 在直线的右下方，所以轴，‎ 过作的垂线，垂足为，则为线段的中点，‎ 所以，故，‎ 所以，即，‎ 整理得.①‎ 由得.‎ 所以，解得，‎ 所以，②‎ ‎，③‎ 由①②得，，④ ‎ 将④代入②得，⑤‎ 将④⑤代入③得，解得.‎ 综上，的值为.‎