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- 2021-06-15 发布
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玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级第一次月考
理科数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.
1.已知全集,集合, 集合,那么 ( ) A.B. C. D.
2.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列结论正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
3.已知直线平行,则实数的值为( )
A. B. C.或 D.
4.一个棱长为1的正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三
视图如图所示,则该几何体的体积为( )
第4题图
A. B. C. D.
5. 已知数列是公差不为0的等差数列,且,, 为等
比数列的连续三项,则 的值为( )
A. B.4 C.2 D.
6.当时,执行如图所示的程序框图,输出的值为( ).
A.2 B. C. D.
7.已知且, ,
第6题图
则( ) A. B. C. D.
8.某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示,已知甲得分的极差为
32,乙得分的平均值为24,则下列结论错误的是
A.
B.甲得分的方差是736
第8题图
C.乙得分的中位数和众数都为26
D.乙得分的方差小于甲得分的方差
9.某学校老师中,型血有36人、型血有24人、型血有12人,现需要从这些老师中抽取一个容量为的样本.如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,都不用剔除个体;如果样本容量减少一个,则在采用系统抽样时,需要在总体中剔除2个个体,则样本容量可能为( )
A. B. C. D.
10.已知实数满足不等式组,则的最大值为( )
A. 5 B. 3 C. 1 D. -4
11.已知满足 (其中是常数),则的形状一定是( )
A. 正三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
12.已知函数f(x)=2x+1,x∈N*.若∃x0,n∈N*,使f(x0)+f(x0+1)+…+f(x0+n)=63成立,则称(x0,n)为函数f(x)的一个“生成点”.则函数f(x)的“生成点”共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第Ⅱ卷
二、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.
13.若,,,则与的夹角为__________.
14.数列 的前49项和为__________.
15.若定义在上的函数满足,且是奇函数,现给出下列4个结论:①是周期为4的周期函数;②的图象关于点对称;③是偶函数;④的图象经过点.
其中正确结论的序号是__________(请填上所有正确的序号).
16.已知正实数,满足,若不等式有解则实数的取值范围是__________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设的内角的对边分别为已知
(1)求;
(2)若求的面积.
18. (12分)已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)若,求函数的值域.
19.(12分)设, ,数列满足:且.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式.
20.(12分)如图,已知, , 是正三角形,
.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的正切值.
21.(12分)设圆的圆心在轴上,并且过两点.
(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆交于两点,那么以为直径的圆能否经过原点,若能,请求出直线的方程;若不能,请说明理由.
22.(12分)已知函数,.
(1)若函数是奇函数,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,判断函数 与函数 的图象公共点个数并说明理由;
(3)当时,函数的图象始终在函数 的图象上方,求实数的取值范围.
玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级第一次月考
理科数学参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
D
A
C
D
B
C
A
C
B
12.+n+1=63,即2(n+1)x0+n(n+1)+(n+1)=63,即x0=,如果x0为正整数,则(n+1)2<63,即n=1,2,3,4,5,6.当n=1时,x0=,不是整数;当n=2时,x0==9,点(9,2)为函数f(x)的一个“生成点”;当n=3时,x0=,不是整数;当n=4时,x0=,不是整数;当n=5时,x0=,不是整数;当n=6时,x0==1,故(1,6)为函数f(x)的一个“生成点”,共2个,
二、填空题:本题共4小题,每题5分,共20分.
13. 14. 15.①②③ 16.
三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设的内角的对边分别为已知
(1)求;
(2)若求的面积.
解:(1)由已知以及正弦定理可得
.............. 3分 ............. 5分
(2)由(1)以及余弦定理可得 ......... 6分 .
......... 8分 .............. 10分
18. (12分)已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)若,求函数的值域.
解:(1).
由,
所以函数的单调增区间是
(2)由得,从而,
所以函数的值域为.
19.(12分)设, ,数列满足:且.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)求数列的通项公式.
(1)解:由题知: ,又,∴,
∴是以4为首项,以2为公比的等比数列.
由可得,故.
, ∴,,,…… .
累加得: ,
,
即. 而,
∴.
20.(12分)如图,已知, , 是正三角形,
.
(1)求证:平面平面;
(2)求二面角的正切值.
(1)证明:取BE的中点F, AE的中点G,
连接GD,GD,CF
∴GF=AB,GF∥AB,又∵DC=AB,CD∥AB
∴CD∥GF,CD=GF,∴CFGD是平行四边形…(3分)
∴CF∥GD,∵CF⊥BF,CF⊥AB,∴CF⊥平面ABE
∵CF∥DG,∴DG⊥平面ABE
∵DG⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面ADE…(6分)
(2)∵AB=BE,∴AE⊥BG,∴BG⊥平面ADE
过G作GM⊥DE,连接BM,则BM⊥DE,
则∠BMG为二面角A−DE−B的平面角…(9分)
设AB=BC=2CD=2,则BG=,GE=,
在Rt△DCE中,CD=1,CE=2,∴DE=
又DG=CF=,由DE⋅GM=DG⋅EG得GM=…(11分)
∴tan∠BMG= ∴面角的正切值 (12分)
21.(12分)设圆的圆心在轴上,并且过两点.
(1)求圆的方程;
(2)设直线与圆交于两点,那么以为直径的圆能否经过原点,若能,请求出直线的方程;若不能,请说明理由.
解:(1)∵圆的圆心在的垂直平分线上,
又的中点为, ,∴的中垂线为.
∵圆的圆心在轴上,∴圆的圆心为,
因此,圆的半径,∴圆的方程为.
(2)设是直线与圆的交点,
将代入圆的方程得: .
∴. ∴的中点为.
假如以为直径的圆能过原点,则.
∵圆心到直线的距离为,
∴. ∴,解得.
经检验时,直线与圆均相交,
∴的方程为或.
22.(12分)已知函数,.
(1)若函数是奇函数,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,判断函数 与函数 的图象公共点个数并说明理由;
(3)当时,函数的图象始终在函数 的图象上方,求实数的取值范围.
解:(1)因为为奇函数,所以,
即,,显然,且.
等式左右两边同时乘以得,
化简得,.
上式对定义域内任意恒成立,所以必有,解得.
(2)由(1)知,所以,即,
由得或, 所以函数定义域.
要求方程解的个数,即求方程在定义域上的解的个数.
令,显然在区间和均单调递增,
又,
且,
.
所以函数在区间和上各有一个零点,
即方程在定义域上有2个解,
所以函数与函数的图象有2个公共点.
(附:函数与在定义域上的大致图象如图所示)
(3)要使时,函数的图象始终在函数的图象的上方,
必须使在上恒成立,
令,则,上式整理得在恒成立.
方法一:令,.
① 当,即时,在上单调递增,
所以,恒成立;
② 当,即时,在上单调递减,
只需,解得与矛盾.
③ 当,即时,
在上单调递减,在上单调递增,
所以由,解得,
又,所以
综合①②③得的取值范围是.
方法二:因为在恒成立. 即,
又,所以得在恒成立
令,则,且,
所以,
由基本不等式可知(当且仅当时,等号成立.)
即,
所以,
所以的取值范围是.