数学理卷·2017届湖南省醴陵市第二中学高三10月月考（2016 13页

醴陵二中2017届高三月考 数学理科试题 姓名： 班级： ‎ 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1．已知，为虚数单位，且，则的值为（ ）【来源：全,品…中&高*考+网】A ．4 B．一‎4 ‎ C ．4+4 D．2‎ ‎2．在等差数列中，若，则该数列的前2009项的和为（ ）‎ ‎ A．3000 B．‎2009 ‎C．2008 D． 2007‎ ‎3.已知向量的夹角为，且，则（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若,且，当△ABC的面积为时，则b=（　　）‎ A B．‎2 ‎ C． D．2+‎ ‎5．设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象 如图所 (　　)‎ A．ω＝1，φ＝　　　　 B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ ‎ ‎7.已知函数，则下列说法正确的为（ ）‎ A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．函数的图象关于直线对称 D．将图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到一个奇函数图像 ‎8.在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是( )‎ A. B. C. D. ‎9．设 x 、y均为正实数，且，则xy的最小值为（ ）‎ A．4 B． C．9 D．16‎ ‎10．在ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，刚ABC是( )‎ A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 ‎11.已知复数，满足，则的取值范围是（ ）‎ A B C D ‎ ‎12．定义域为[]的函数图像的两个端点为A、B，M(x，y)是图象上任意一点，其中．已知向量，若不等式恒成立， 则称函数在[]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( ) A． B． C． D．‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. .‎ ‎14.设函数，则 ‎ = ‎ ‎15．设两个向量＝(λ，λ－2cosα)和＝(m，＋sinα)，其中λ、m、α为实数．若＝2，则的取值范围是 .‎ ‎16.给出下面的数表序列：‎ 其中表n（n=1,2,3）有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为，例如，，.则= ‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）(1)已知函数在点处的切线的斜率为2，‎ 求的值 ‎（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，求△ABC的周长l的取值范围． ‎ ‎18．（12分）为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛。足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）.共赛三场，每场比赛胜者积3分，负者积0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；‎ ‎（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队积分为，求的分布列和数学期望.‎ ‎19.如图，多面体中，两两垂直，且，.‎ ‎（I）若点在线段上，且，求证：；‎ ‎（II）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎20. （12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当，求的零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）设，且是的极小值点，试比较与的大小．‎ ‎21.（12分）数列的首项，前项和为，满足关系（）‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设函数，作数列，使，.（）求的通项公式 ‎（3）求…的值 ‎22. 如图，的直径AB的延长线与弦CD的延长线相 交于点P .‎ ‎（Ⅰ）若，求的半径；‎ ‎（Ⅱ）若E为上的一点，弧AE的长等于弧AC的长,DE交AB于点F，求证：‎ ‎23.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 ‎（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与轴的交点为P，直线与曲线C的交点为A,B,求的值.‎ ‎24.设，（Ⅰ）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，若存在，使得不等式成立，‎ 求实数m的取值范围.‎ 醴陵二中2017届高三月考数学理科试题 姓名： 班级： ‎ 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1．已知，为虚数单位，且，则的值为（ B ）【来源：全,品…中&高*考+网】A ．4 B．一‎4 ‎ C ．4+4 D．2‎ ‎2．在等差数列中，若，则该数列的前2009项的和为（ B ）‎ ‎ A．3000 B．‎2009 ‎C．2008 D． 2007‎ ‎3.已知向量的夹角为，且，则（ D ）‎ A. B． C． D．‎ ‎4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A、∠B、∠C、的对边，若,且，当△ABC的面积为时，则b=（　B　）‎ A B．‎2 ‎ C． D．2+‎ ‎5．设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝( A )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象 如图所 (　D　)‎ A．ω＝1，φ＝　　　　 B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ ‎ ‎7.已知函数，则下列说法正确的为（ D ）‎ A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．函数的图象关于直线对称 D．将图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到一个奇函数图像 ‎8.在△ABC所在的平面内有一点P，满足，则△PBC与△ABC的面积之比是( C )‎ A. B. C. D. ‎9．设 x 、y均为正实数，且，则xy的最小值为（ D ）‎ A．4 B． C．9 D．16‎ ‎10．在ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，刚ABC是( A )‎ A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 ‎11.已知复数，满足，则的取值范围是（D ）‎ A B C D ‎ ‎12．定义域为[]的函数图像的两个端点为A、B，M(x，y)是图象上任意一点，其中．已知向量，若不等式恒成立， 则称函数在[]上“k阶线性近似”．若函数在[1，2]上 “k阶线性近似”，则实数k的取值范围为( D ) A． B． C． D．‎ 二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. .‎ ‎14.设函数，则 ‎ = 2005 ‎ ‎15．设两个向量＝(λ，λ－2cosα)和＝(m，＋sinα)，其中λ、m、α为实数．若＝2，则的取值范围是 .‎ ‎16.给出下面的数表序列：‎ 其中表n（n=1,2,3）有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为，例如，，.则= ‎ 三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（12分）(1)已知函数在点处的切线的斜率为2，‎ 求的值 ‎（2）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若，且，求△ABC的周长l的取值范围． ‎ 解： （1）‎ ‎……………5分 ‎（2）由 ‎ ‎ ‎ ‎，，，又 ‎ ……………………8分 由正弦定理得：， ‎ ‎ ‎ ‎ …10分 ‎，， ‎ ‎ …………………………11分 ‎ ………………………………12分 ‎18．（12分）为深入贯彻素质教育，增强学生体质，某中学从高一、高二、高三三个年级中分别选了甲、乙、丙三支足球队举办一场足球赛。足球赛具体规则为：甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两个队比赛一场）.共赛三场，每场比赛胜者积3分，负者积0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求甲队获得第一名且丙队获得第二名的概率；‎ ‎（Ⅱ）设在该次比赛中，甲队积分为，求的分布列和数学期望.‎ 解：(Ⅰ)设甲队获第一且丙队获第二为事件A,则………3分 ‎(Ⅱ) 可能取值为0、3、6， …………4分 则甲两场皆输： …………5分 甲两场只胜一场： …………6分 甲两场皆胜：. …………8分 ‎ 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎ …………10分 E …………12分 ‎19.如图，多面体中，两两垂直，且，.‎ ‎（I）若点在线段上，且，求证：；‎ ‎（II）求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎19．解：（Ⅰ）分别取的中点，连结，则有.‎ ‎ ∵ ∴ 　…………………1分 又∵ ∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ∴　　　……2分 又∵ ∴平面　…6分 ‎（Ⅱ）如图，以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则 ‎……6分 设平面的一个法向量，则有 ‎，化简，得 令，得 …………8分 设直线与平面所成的角为，则有.　 ‎ 所以直线与平面所成的角的正弦值为.………12分 ‎20. （12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当，求的零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）设，且是的极小值点，试比较与的大小．‎ ‎20．解：（Ⅰ）， ‎ 当时，，当时，‎ 又 有两个零点 6分 ‎ (Ⅱ) 依题有，即 令，则, 令得，‎ 当时，单调递增；当时，单调递减. ‎ 因此，故，，即．12分 ‎21.（12分）数列的首项，前项和为，满足关系（）‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设函数，作数列，使，.（）求的通项公式 ‎（3）求…的值 ‎21.（1）证： ，两式相减得，‎ 又，又当时，，‎ 得，即，为等比数列 ‎ ‎ ……4分 ‎（2）由已知得，‎ 是以为首项，为公差的等差数列。 ……8分 ‎（3）…‎ ‎ =……‎ ‎==……12分 ‎22. 如图，的直径AB的延长线与弦CD的延长线相 交于点P .‎ ‎（Ⅰ）若，求的半径；‎ ‎（Ⅱ）若E为上的一点，弧AE的长等于弧AC的长,DE交AB于点F，求证：‎ ‎23.在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为 ‎（Ⅰ）求直线的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与轴的交点为P，直线与曲线C的交点为A,B,求的值.‎ ‎24.设，（Ⅰ）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，若存在，使得不等式成立，‎ 求实数m的取值范围.‎ ‎22. （1）∵PA交圆O于B,A PC交圆O于C,D,‎ ‎………………2分 ‎……3分 ‎ ‎ ‎（2）连接EO CO ‎∵=∴∵ ‎ ‎∴∴ …………………7分 ‎ -----9分 ------10分 ‎23. 解析：（1）直线的普通方程为，………2分，………3分 曲线的直角坐标方程为.………………5分 ‎（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线：，得到：，……7分 ，………9分 .………………10分 ‎24. 解：（1）显然，…1分 当时，解集为， ，无解；………3分 ‎ 当时，解集为，令，，‎ 综上所述，.……5分 ‎(2) 当时，令 ‎………………7分 由此可知，在单调减，在单调增，在单调增，则当时，取到最小值 ，………………8分 由题意知，，则实数的取值范围是……………10分 备用题：（1）已知 ，且 成等比数列.，求 的值；‎ ‎（1）依题意， ，得 . ………3分 ‎ ………6分