2020浙江新高考数学二轮复习教师用书：特色专题　高考新元素 9页

一　创新型问题 新课程标准要求学生“对新颖的信息、情景和设问，选择有效的方法和手段收集信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题．”随着改革的深入和推进，高考的改革使知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致的、具有创新意识和创新思维的新题．‎ 创新型试题是考查学生创新意识最好的题型之一，它对考查学生的阅读理解能力、知识迁移能力、类比猜想能力、数学探究能力等都有良好的作用．高考数学创新型试题主要是指突出能力考查的新颖问题(主要指命题的立意新、试题的背景新、问题的情景新、设问的方式新等)．此类问题没有固定的模式，很难有现成的方法和套路，要求思维水平高，思维容量大，但运算量较小，求解此类问题，要求学生有临场阅读，提取信息和进行信息加工、处理的能力，灵活运用基础知识的能力和分析问题、解决问题的综合能力．‎ ‎　　　　　　“新定义”问题 新定义问题是指在特定情景下，用新的数学符号或文字叙述对研究的问题进行科学的、合乎情理的定义，并在此定义下结合已学过的知识解决给出的问题——新定义问题的解题技法．求解此类问题，首先应明确新定义的实质，利用新定义中包含的内容，结合所学知识，将问题向熟悉的、已掌握的知识进行转化．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)‎ A．18个　　　B．16个　　　C．14个　　　D．12个 ‎(2)设D是函数y＝f(x)定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f(x0)＝－x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间D上存在“次不动点”．若函数f(x)＝ax2－3x－a＋在区间[1，4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－ ∞，0] B. C. D. - 9 -‎ ‎【解析】　(1)法一：不妨设a1＝0，a8＝1，a2，a3，…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k≤8，都有a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111，00010111，00011011，00011101，00100111，00101011，00101101，00110011，00110101，01000111，01001011，01001101，01010011，01010101，共14个．‎ 法二：设a1，a2，a3，…，ak中0的个数为t，则1的个数为k－t，‎ 由2m＝8知，k≤8且t≥k－t≥0，则.‎ 当t＝1时，k＝1，2，当t＝2时，k＝2，3，4，‎ 当t＝3时，k＝3，4，5，6，当t＝4时，k＝4，5，6，7，8，‎ 所以“规范01数列”共有2＋3＋4＋5＝14(个)．‎ 法三：前同法二．‎ 问题即是表示的区域内的整点(格点)的个数，‎ 如图整点(格点)为2＋3＋4＋5＝14(个)，即“规范01数列”共有14个．‎ ‎(2)方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1，4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间(1，4]上有解，即求函数a＝在区间(1，4]上的值域，‎ 令t＝4x－5，则t∈(－1，11]，a＝，当t∈(－1，0]时，a≤0；‎ 当t∈(0，11]时，00且an－1·2n－n＋1(2n－2n＋3)≥an－2·2n－n＋2·(2n－2n＋5)，解得a≥.故选C.‎ ‎3．(经典考题)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆R的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是__________．(写出所有真命题的序号)‎ 解析：对于整数a1，b1，a2，b2，有a1＋b1＋a2＋b2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)∈S，a1＋b1－(a2＋b2)＝(a1－a2)＋(b1－b2)∈S，(a1＋b1)·(a2＋b2)＝(a1a2＋3b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，所以①正确．‎ 若S为封闭集，且存在元素x∈S，那么必有x－x＝0∈S，即一定有0∈S，所以②正确．‎ 当S＝{0}时，S为封闭集，所以③错误．‎ - 9 -‎ 取S＝{0}，T＝{0，1，2，3}时，显然2×3＝6∉T，所以④错误．‎ 答案：①②‎ ‎“新运算”问题 新运算问题是在原有运算的基础上定义了一种新运算，在准确把握信息本质的基础上，将这种新运算转化为早已熟悉的运算，从而进一步运用已有的知识去分析、解决问题．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (经典考题)当x≠1且x≠0时，数列{nxn－1}的前n项和Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxx－1(n∈N*)可以用数列求和的“错位相减法”求得，也可以由x＋x2＋x3＋…＋xn(n∈N*)按等比数列的求和公式，先求得x＋x2＋x3＋…＋xn＝，两边都是关于x的函数，两边同时求导，(x＋x2＋x3＋…＋xn)′＝′，从而得到Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝，按照同样的方法，请从二项展开式(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn出发，可以求得，Sn＝1×2×C＋2×3×C＋3×4×C＋…＋n(n＋1)×C(n≥4)的值为________．(请填写最简结果)．‎ ‎【解析】　依题意，对(1＋x)n＝1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cxn两边同时求导，得n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋3Cx2＋…＋nCxn－1，①‎ 取x＝1，得C＋2C＋3C＋…＋nC＝n×2n－1，②‎ ‎②×2得，2C＋2×2C＋2×3C＋…＋2nC＝n×2n，③‎ 再对①式两边同时求导， 得n(n－1)(1＋x)n－2＝1×2C＋2×3Cx＋…＋n(n－1)Cxn－2，取x＝1，得1×2C＋2×3C＋…＋n(n－1)C＝n(n－1)×2n－2，④‎ ‎③＋④得1×2C＋2×3C＋3×4C＋…＋n(n＋1)C＝n×2n＋n(n－1)×2n－2＝n(n＋3)×2n－2.‎ ‎【答案】　n(n＋3)×2n－2‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．(经典考题)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面说法错误的是(　　)‎ A．若a与b共线，则a⊙b＝0‎ B．a⊙b＝b⊙a C．对任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)‎ D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2‎ 解析：选B.若a＝(m，n)与b＝(p，q)共线，则mq－np＝0，依运算“⊙”知a⊙b＝0，故A正确，由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正确．由于 - 9 -‎ λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正确．(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpq＋n2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正确．‎ ‎2．(经典考题)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”．‎ ‎(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2n(n∈N*)，证明：{an}是“H数列”；‎ ‎(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值．‎ 解：(1)证明：由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.‎ 于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.‎ 所以{an}是“H数列”．‎ ‎(2)由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.‎ 因为{an}是“H数列”，‎ 所以存在正整数m，使得S2＝am，‎ 即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.‎ 因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1.‎ 当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝是小于2的整数，n∈N*.于是对任意的正整数n，总存在正整数m＝2－Sn＝2－，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”．因此d的值为－1.‎ 二　古代算术与现代高考 我国是有着五千年文明的古国，具有丰富的文化基础，在数学领域里具有深厚的数学渊源，其中《九章算术》中的一些理论推动着当今科学和数学的发展，随着我国经济建设蓬勃发展，现今部分高考数学试题也在古代算术的基础上，结合现代高考元素应运而生，这些试题是古代算术与现代高考结合的经典范例，是传统文化与现代科学的有机融合．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ (1)(2018·高考浙江卷)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则当z＝81时，x＝______，y＝______．‎ ‎(2)(经典考题)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6‎ - 9 -‎ ‎＝________．‎ ‎【解析】　(1)因为z＝81，所以解得 ‎(2)如图，单位圆内接正六边形由六个边长为1的正三角形组成，所以，正六边形的面积S6＝6××1×＝.‎ ‎【答案】　(1)8　11　(2) ‎[对点训练]‎ ‎1．(名师原创)《九章算术》是我国古代数学名著，在其中有道 “竹九问题”：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升．问中间二节欲均容各多少？”意思为：今有竹九节，下三节容量之和为4升，上四节容量之和为3升，且每一节容量变化均匀(即每节容量成等差数列)．问每节容量各为多少？在这个问题中，中间一节的容量为(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C.设从最下节往上的容量构成等差数列{an}， 公差为d.则，‎ 即，‎ 解得a1＝，d＝－.‎ 中间为第五节，‎ 即a5＝a1＋4d＝＋4×(－)＝.故选C.‎ ‎2．(名师原创)《九章算术》是我国古代著名数学经典．其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为(　　)‎ ‎(注：1丈＝10尺＝100寸，π≈3.14，sin 22.5°≈)‎ A．600立方寸 B．610立方寸 C．620立方寸 D．633立方寸 解析：选D.连接OA、OB，OD，‎ - 9 -‎ 设⊙Ο的半径为R，‎ 则(R－1)2＋52＝R2，‎ 所以R＝13.‎ sin∠AOD＝＝.‎ 所以∠AOD＝22.5°，‎ 即 ∠AOB＝45°.‎ 所以S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB＝－×10×12≈6.33平方寸．‎ 所以该木材镶嵌在墙中的体积为 V＝S弓形ACB×100≈633立方寸．选D.‎ ‎3．(名师原创)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)‎ 若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为________．‎ 解析：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：(5.4－x)×3×1＋π·()2x＝12.6，解得x＝1.6.‎ 答案： 1.6‎ 三　学科间的渗透 数学是自然科学的皇后，这是德国大数学家高斯提出的，说明了数学与自然科学的关系十分密切，数学知识经常渗透到各学科领域，彰显出数学学科应用于人们生活生产中的伟大魅力．‎ ‎[典型例题]‎ ‎ 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(‎ - 9 -‎ 单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　)‎ A．5太贝克　　　　　　　 B．75ln 2太贝克 C．150ln 2太贝克 D．150太贝克 ‎【解析】　因为M′(t)＝－ln 2×M02－，‎ 所以M′(30)＝－ln 2×M02－＝－10ln 2，‎ 解得M0＝600，所以M(t)＝600×2－，‎ 所以t＝60时，铯137的含量为M(60)＝600×2－＝600×＝150(太贝克)，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎[对点训练]‎ ‎1．(名师原创)核糖核酸(RNA)分子是在生物细胞中发现的化学成分，一个RNA分子是一个有着数百个至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由四种不同的碱基A，C，G，U占据，各种碱基能够以任意次序出现，若有一类RNA分子由100个碱基组成，则共有多少种不同的RNA分子(　　)‎ A．400种　　B．1004种 C．4100种　　D．A种 解析：选C.100个碱基组成的长链共有100个位置，每个位置从A、C、G、U中任选一个填入，有4种方法．‎ 所以共有不同的RNA分子的个数为＝4100.故选C.‎ ‎2．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为(　　)‎ A．8　　　　B．6 C．4　　　　D．3‎ 解析：选B.利用图形进行求解．因为反弹时反射角等于入射角，所以∠1＝∠2.‎ 又因为tan∠1＝＝2，‎ 所以tan∠2＝2.‎ 又tan∠2＝，所以HC＝，所以DG＝.从此以后，小球的反射线必与EF或FG平行，由图可知，P与正方形的边碰撞的次数为6.‎ - 9 -‎ ‎3．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的__________倍．‎ 解析：当A0＝0.001，A＝1 000时，‎ M＝lg A－lg A0＝lg 1 000－lg 0.001＝lg＝lg 106＝6；‎ 设9级地震的最大振幅是A9，5级地震的最大振幅是A5，则9＝lg A9－lg A0，5＝lg A5－lg A0，所以lg A9－lg A5＝4，即lg＝4，所以＝104＝10 000.　‎ 答案：6　10 000‎ - 9 -‎