2019高三数学文北师大版一轮单元评估检测4+平面向量、数系的扩充与复数的引入 8页

单元评估检测(四)　‎ 平面向量、数系的扩充与复数的引入 ‎(120分钟　150分)‎ ‎(对应学生用书第224页)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知复数z＝(i为虚数单位)，则z的虚部为(　　)‎ A．－1　　　　 B．0　　　　‎ C．1　　　　 D．i C ‎2．(2016·全国卷Ⅲ)若z＝4＋3i，则＝(　　)‎ A．1 B．－1 ‎ C．＋i D．－i D ‎3．(2017·珠海模拟)若复数z满足(1＋i)z＝2，则z的虚部为(　　)‎ A．－1 B．－i ‎ C．i D．1‎ A ‎4．复数z＝的共轭复数是(　　)‎ A．2＋i B．2－i ‎ C．－1＋i D．－1－i D ‎5．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝(　　)‎ A．(－2,1) B．(2，－1) ‎ C．(2,0) D．(4,3)‎ B ‎6．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 D ‎7．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)‎ A．1 B．2 ‎ C．3 D．5‎ A ‎8．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是(　　)‎ A．2 B．－2i ‎ C．－3i D．3＋i B ‎9．与向量a＝(3,4)同方向的单位向量为b，又向量c＝(－5，5)，则b·c＝(　　)‎ A．(－3,4) B．(3，－4) ‎ C．1 D．－1‎ C ‎10．如图1，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是(　　)‎ 图1‎ A．＝＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝＋ D ‎11．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z2＝(　　)‎ A．3－2i B．2－3i ‎ C．－3－2i D．2＋3i D ‎12．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ ‎ 【导学号：00090392】‎ A．－8 B．－6 ‎ C．6 D．8‎ D 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ ‎2‎ ‎14．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.‎ ‎2‎ ‎15．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________.‎ ‎2‎ ‎16．对于复数z1，z2，若(z1－i)z2＝1，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数－i的“错位共轭”复数为________．‎ ＋i 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)已知A(－1,0)，B(0,2)，C(－3,1)，·＝5，||＝.‎ ‎(1)求D点坐标．‎ ‎(2)若D点在第二象限，用，表示.‎ ‎(3)＝(m,2)，若3＋与垂直，求的坐标．‎ ‎(1)D(2,1)或D(－2,3)‎ ‎(2)＝－＋ ‎(3)＝(－14,2)‎ ‎18．(12分)如图2，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上两个三等分点，·＝4，·＝－1，求·的值. 【导学号：00090393】‎ 图2‎ ‎19．(12分)已知复数z＝1＋i，ω＝.‎ ‎(1)求复数ω.‎ ‎(2)设复数ω在复平面内对应的向量为，把向量(0,1)按照逆时针方向旋转θ到向量的位置，求θ的最小值．‎ ‎(1)1－i　(2)π ‎20．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知向量m＝，n＝，m·n＝－1.‎ ‎(1)求cos A的值．‎ ‎(2)若a＝2，b＝2，求c的值．‎ ‎(1)－　(2)2‎ ‎21．(12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(cos A，cos B)，n＝(a,2c－b)，且m∥n.‎ ‎(1)求角A的大小．‎ ‎(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)因为m∥n，‎ 所以acos B－(2c－b)cos A＝0，‎ 由正弦定理得 sin Acos B－(2sin C－sin B)cos A＝0，‎ 所以sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos A，‎ 所以sin(A＋B)＝2sin Ccos A，‎ 因为A＋B＋C＝π，‎ 所以sin C＝2sin Ccos A，‎ 因为0＜C＜π，所以sin C＞0，‎ 所以cos A＝，‎ 因为0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 所以16＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，‎ 因此bc≤16，‎ 当且仅当b＝c＝4时，等号成立；‎ 因此△ABC的面积S＝bcsin A≤4，‎ 因此△ABC面积的最大值为4.‎ ‎22．(12分)已知平面上的两个向量，满足||＝a，||＝b，且⊥，a2＋b2＝4.向量＝x＋y(x，y∈R)，且a22＋b22＝1.‎ ‎(1)如果点M为线段AB的中点，求证：＝＋.‎ ‎(2)求||的最大值，并求出此时四边形OAPB面积的最大值．‎ ‎[解]　(1)证明：因为点M为线段AB的中点，‎ 所以＝(＋)．‎ 所以＝－＝(x＋y)－(＋)＝＋.‎ ‎(2)设点M为线段AB的中点，则由⊥，知|M|＝||＝||＝||＝1.‎ 又由(1)及a22＋b22＝1，‎ 得||2＝|－|2‎ ‎＝22＋22‎ ‎＝a22＋b22＝1.‎ 所以||＝||＝||＝||＝||＝1，所以P，O，A，B四点都在以M 为圆心，1为半径的圆上．所以当且仅当OP是直径时，||max＝2，这时四边形OAPB为矩形，则S四边形OAPB＝||·||＝ab≤＝2，当且仅当a＝b＝时，四边形OAPB的面积最大，最大值为2.‎