【推荐】专题2-3 函数奇偶性和周期性-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学 34页

真题回放 ‎1.【2017高考新课标1理5】函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是 A． B． C． D． ‎【答案】D ‎【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D. ‎ ‎2.【2017高考北京理5】已知函数，则为（ ）‎ ‎（A）是偶函数，且在R上是增函数 （B）是奇函数，且在R上是增函数 ‎（C）是偶函数，且在R上是减函数 （D）是奇函数，且在R上是增函数 ‎【答案】A ‎【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数， 是减 函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A.‎ ‎【考点解读】本题为考查函数的奇偶性和单调性，由函数，可借助函数奇偶性的定义及指 数函数的性质来分析处理。‎ ‎3.【2017高考天津理6】已知奇函数在上是增函数.若 ，则的大小关系为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】 ‎ ‎【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由为奇函数及单调递增性质，化为比较自变量，‎ 再运用指数和对数函数的性质，来比较大小。对知识综合运用要求较高。 ‎ ‎4. 【2017高考江苏理11】已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，‎ 则实数a的取值范围是 。‎ ‎【答案】 ‎【解析】因为，所以函数是奇函数，‎ 因为，所以数在上单调递增，‎ 又，即，所以，即，‎ 解得，故实数的取值范围为.‎ ‎【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由函数解析式，先判断出 是奇函数，‎ 再通过导数判断出定义域上的单调性，化为比较自变量。对知识综合运用要求较高。‎ ‎5.【2017高考江苏理14】设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中 集合D=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .‎ ‎【答案】8‎ 则在x=1附近仅有一个交点，因此方程的个数为8个。‎ ‎【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题，函数的图象和性质及转化思想。对知识综合运用 能力要求较高，有相当难度。（需注意对题中条件集合D的解读） ‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 奇偶性 B 周期性 A 高考对函数奇偶性与周期性的考查要求为掌握，以小题的形式进行考查。有一定的综合性，常与函数的求值，零点、图像、解不等式等问题结合。纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查函数的奇偶性、周期性的理解和运用；如函数奇偶性的判断，函数求值等。二是以性质为载体解决函数零点问题，解不等式。解决问题中要注意数形结合思想的运用。‎ 融会贯通 题型一　函数奇偶性的判断 典例1.（1）（2016年广州模拟）下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为(　　)‎ A．y＝|x| B．y＝sinx C．y＝ex＋e－x D．y＝－x3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题中选项可知，y＝|x|，y＝ex＋e－x为偶函数，排除A，C；而y＝－x3在R上递减，故选B.‎ ‎（2）（2017浙江省嘉兴市模拟）已知函数， ，则的图象为（ ）‎ ‎【答案】C ‎（3）(2016重庆模拟)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f(x)不恒为0，且对于定义域内的任意实数x，y都有f(xy)＝＋成立，则f(x)(　　)‎ A．是奇函数，但不是偶函数 ‎ B．是偶函数，但不是奇函数 C．既是奇函数，又是偶函数 ‎ D．既不是奇函数，又不是偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】令x＝y＝1，则f(1)＝＋，∴f(1)＝0.令x＝y＝－1，则f(1)＝＋，‎ ‎∴f(－1)＝0.令y＝－1，则f(－x)＝＋，∴f(－x)＝－f(x)． ‎ ‎∴f(x)是奇函数．又∵f(x)不恒为0，∴f(x)不是偶函数．故选A.‎ 解题技巧与方法总结 判断函数奇偶性的两个方法 ‎1．定义法；‎ ‎2．图象法；‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.（2015年山东高考）下列判断正确的是 ( )‎ A. 函数是奇函数 B. 函数是偶函数 C. 函数是偶函数 D. 函数既是奇函数又是偶函数 ‎【答案】C ‎ 2.（2017云南省昆明模拟）设函数f(x)‎的定义域为R，且‎|f(x)|‎是偶函数，则下则结论中正确的是（ ）‎ A. f(x)‎是偶函数 B. f(x)‎是奇函数 C. ‎|f(x-1)|‎ 的图像关于直线x=1‎对称 D. ‎|f(x)+1|‎的图像关于（0，1）对称 ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，例如f(x)=x，则‎|f(x)|‎是偶函数，此时f(x)‎是奇函数，所以A不正确；‎ 例如f(x)=‎x‎2‎，则‎|f(x)|‎是偶函数，此时f(x)‎是偶函数，所以B不正确；例如f(x)=x，则‎|f(x)+1|=|x+1|‎是偶函数，图象关于y轴对称，所以D 不正确；由函数的图象变换可知，函数y=f(x)‎向右平移1个单位，可得函数y=f(x-1)‎的图象，又函数‎|f(x)|‎是偶函数，图象关于x=0‎对称，所以函数‎|f(x-1)|‎的图象关于x=1‎对称，故选C。‎ ‎3. 判断下列函数的奇偶性：‎ ‎（1）； （2） ‎【答案】（1）为奇函数；(2) 为奇函数 知识链接：‎ 知识点1　函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 必会结论 ：函数奇偶性常用的结论 ‎①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(x)有意义，那么一定有f(0)＝0；‎ ‎②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)；‎ ‎③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；‎ ‎④奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性．偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性．‎ 题型二　函数周期性及应用 典例2. (1)（2017银川模拟）设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上 的图象，则f(2 017)＋f(2 018)＝(　　)‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 017)＋f(2 018)＝f(671×3＋1)＋f(673×3－1)‎ ‎＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2 017)＋f(2 018)＝1＋2＝3. ‎ ‎（2）（2017哈尔滨模拟）已知是上的奇函数，对都有成立，‎ 若 ，则等于（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．2017‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，取，得：，即，所以 ，则，所以是以4为周期的周期函数，‎ 所以．‎ ‎（3）(2016大连质检)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数 g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎（4）（2017银川模拟）设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．‎ 当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.‎ ‎(1)求证：f(x)是周期函数；‎ ‎(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式；‎ ‎(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2017)．‎ ‎【答案】见解析 解题技巧与方法总结 函数周期性的判定与应用 ‎1．判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.‎ ‎2．应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注 意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.（2017成都市第七中三诊）．设是定义在上周期为2的奇函数，当时， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知： .选C. ‎ ‎2．（2017河北省巨鹿月考）已知对于任意的，都有，‎ 且，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】由可得，‎ 则即： ，取x为x+3，‎ 则，则周期为6，所以= =1 ‎ ‎3.（2017衡水质检）已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，.‎ 若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为(　　)‎ A．或 B．或 C．或 D． ‎【答案】C ‎4.（2017山东省鄄城县月考）设非常数函数是定义在上的奇函数，对任意实数，‎ 有成立.‎ ‎（1）证明： 是周期函数，并指出其一个周期；‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）若，且是偶函数，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3） 知识链接：‎ 知识点2　函数的周期性 ‎1．周期函数；T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：‎ ‎(1)T≠0； ‎ ‎(2)f(x＋T)＝f(x)对定义域内的任意x都成立．‎ ‎2．最小正周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 它的最小正周期．‎ ‎3．周期不唯一；若T是函数y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，且n≠0)也是f(x)的周期，即f(x＋nT)＝f(x)．‎ 函数周期性常用结论；对f(x)定义域内任一自变量的值x：‎ ‎①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；‎ ‎③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．‎ 对称性的三个常用结论 ‎①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；‎ ‎③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．‎ 题型三　函数奇偶性的应用 命题点1　已知函数的奇偶性求函数的值 典例3. （1）（2017昆山调研）已知是奇函数，且，若，‎ 则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵为奇函数，∴，∴，‎ ‎∴，∴，∴． ‎ ‎（2）(2016金华十校模拟)已知函数f(x－1)为奇函数，函数f(x＋3)为偶函数，f(0)＝1，则f(8)＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由y＝f(x－1)为奇函数得f(－x－1)＝－f(x－1)，由y＝f(x＋3)为偶函数得f(－x＋3)＝f(x＋3)，‎ 则f(8)＝f(5＋3)＝f(－5＋3)＝f(－2)＝f(－1－1)＝－f(1－1)＝－f(0)＝－1.‎ ‎（3）（2017湖北省襄阳模拟）已知满足对， ，且时， （为常数），则的值为（ ）‎ A. 4 B. -4 C. 6 D. -6‎ ‎【答案】B 命题点2　与函数奇、偶性相关的不等式问题 ‎(4) （2017兰州高台县联考）已知是上的偶函数，且在是减函数，若，则 不等式的解集是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】因为y=f(x)为偶函数,所以等价为，‎ 所以不等式等价为；x>0且f(x)<0或x<0且f(x)>0.因为函数y=f(x)为偶函数,‎ 且在(−∞,0]上是减函数,又f(3)=0，所以f(x)在[0,+∞)是增函数，则对应的图 象如图：所以解得x<−3或00⇔f(x)在D上是增函数，<0⇔f(x)在D上是减函数．‎ ‎3.函数的单调区间要分开写，两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”连结．‎ ‎4.在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．‎ ‎5.函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)单调性的关系是“同增异减”．‎ ‎6.对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为和，减区间为[－，0)和.‎ 课本典例解析与变式 例1. 【必修1复习参考题P83 B组第3题】对于函数，是否存在实数，使函数 为奇函数？‎ ‎【答案】存在， ‎【解析】解法一；若存在实数，由定义域为．当为奇函数时，有，即．故，，．故存在，使函数为奇函数．‎ 解法二；若存在实数，由定义域为．当为奇函数时，有，即．‎ 故存在，‎ ‎【解题反思】本题为存在性问题，可先假设存在。然后运用奇函数的定义和性质，建立方程求出的值。‎ 变式1.(2016浙江金华模拟)若函数为奇函数,则实数的值为 (　　)‎ A. 　 B. C. D．1‎ 变式2.(2017兰州模拟)已知定义域为的函数是奇函数，的值为 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】， ,‎ ，．‎ 变式3.(2017北京模拟)若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（ ）‎ ‎（A）（ ） （B）（） （C） （D） ‎【答案】C 变式4.（2017上海市徐汇区二模）已知函数是偶函数.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎【解析】试题分析：（1）因为函数是偶函数，所以有，即求出的值；‎ ‎（2）分离参数，因为，所以不等式等价于，‎ 使得不等式恒成立，只要即可求出的范围。‎ 试题解析;（1）因为函数是定义域为的偶函数，所以有，‎ 即，即，故.‎ ‎（2），且在上恒成立，‎ 故原不等式等价于在上恒成立，又，‎ 所以，所以，从而，因此， .‎ ‎【课本回眸反思】‎ ‎1. 在复习解题训练中因注重对数学基本概念和性质的理解；‎ ‎2． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。‎ 练习检测 ‎1．(2017广州模拟)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)‎ A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x ‎【答案】D ‎【解析】令f(x)＝x2＋sin x，则f(1)＝1＋sin 1，f(－1)＝1－sin 1即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以 y＝x2＋sin x，既不是奇函数，也不是偶函数，而A、B、C依次为奇函数，偶函数，偶函数，故选D.‎ 考点；基本初等函数函数性质的判断 ‎2.（2017四川雅安三诊）若是定义域在上的函数，则为奇函数的一个充要条件为（ ）‎ A. B. 对， 都成立 C. ，使得 D. 对， 都成立 ‎【答案】D ‎【解析】奇函数的定义：对，有，即故选D 考点；奇函数的定义及充要条件的判断 ‎3.(2017银川模拟)若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有(　　)‎ A． B． C． D． ‎【答案】D 考点；函数奇偶性与单调性及方程思想 ‎4.(2016湖北襄阳模拟) x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，例；[-1.2]= -2，[0.9]=0，[1.8]=1则函数 f(x)＝x－[x]在R上为(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 ‎【答案】D ‎【解析】作出函数f(x)的图象，由图象可知选D.‎ 考点；函数奇偶性定义及数形结合思想。‎ ‎5.（2017安徽池州市模拟）．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：‎ ‎①对任意的，当时，都有；‎ ‎②；‎ ‎③是偶函数；‎ 若， ， ，则的大小关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B 考点；函数奇偶性定义及周期性和单调性的综合运用。‎ ‎6．（2017四川省绵阳模拟）已知函数，若 ‎，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解析】由偶函数定义可得为偶函数，即，原不等式等价于，‎ 根据偶函数定义可得，当时， 为增函数，‎ 故，故，故选D.‎ 考点；函数奇偶性与单调性的运用。‎ ‎7.（2017江西省赣中南五校联考）定义在R上的函数y=f(x)‎为减函数，且函数y=f(x-1)‎的图象关于点‎(1,0)‎对称，若f(x‎2‎-2x)+f(2b-b‎2‎)≤0‎，且‎0≤x≤2‎，则x-b的取值范围是（ ）‎ A. ‎[-2,0]‎ B. ‎[-2,2]‎ C. ‎[0,2]‎ D. ‎‎[0,4]‎ ‎【答案】B 考点；函数奇偶性与单调性及线性规划的综合运用。‎ ‎8．（2017吉林省实验中学模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，‎ ‎；当时， ，则方程（其中是自然对数的底数，且）‎ 在[-9,9]上的解的个数为（ ）‎ A. 9 B. 8 C. 7 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数是定义在上的奇函数，且当时， ，‎ 所以，即函数是以3为周期的函数，当时， ， ，则在上单调递增，在上单调递减，在区间上，分别作出和的图象，由图象，得两者在有4个交点，由对称性得到在上也有4个交点，又因为，共9个交点；故选A.‎ 考点；函数奇偶性与周期性及函数的零点。‎ ‎9．（2017银川模拟）若函数f(x)＝在定义域上为奇函数，则实数k＝________.‎ ‎【答案】 考点；函数的奇偶性的性质 ‎10.（2017重庆市巴蜀中学三模）定义在上的奇函数满足，且 当时，，则________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由得函数是周期为的周期函数，且为奇函数，‎ 故.‎ 考点；函数的奇偶性与周期性的运用 ‎11．（2017山东省日照市二模）函数为偶函数，且在单调递增，‎ 则的解集为__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】函数为偶函数，则，故，因为在单调递增，所以 ‎.根据二次函数的性质可知，不等式 的解集为。‎ 考点；函数的奇偶性的性质及二次不等式的解法 ‎12.（2017银川模拟）已知定义在R上的函数满足条件；①对任意的，都有；②对任意的；③函数的图象关于y轴对称.则大小顺序为 __________．（用“<”连接）‎ ‎【答案】 考点；函数的奇偶性与周期性及单调性的综合运用 ‎13．（2017宁夏石嘴山二模）若函数满足，当时， ，若在区间上， 有两个零点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意，当时， ，则，‎ 所以，‎ ‎①当时，要使有解，则必须有，‎ 即，当时， ，此时有零点.‎ ‎②当时， ， ，‎ 时， ， 时， ，‎ 若，则，此时在上必然有唯一零点，舍去.‎ 若， ，此时在上无零点，舍去.‎ 若，令， ，或（由，不合题意）‎ 当时， ，当时， ，‎ 则为函数在上的最大值，且，不合题意，舍去.所以，此时函数在上无零点.‎ 综上得，所求实数的取值范围为，故选B.‎ 考点；考查函数性质在研究函数零点、最值等有关方面的知识和运算能力。‎ ‎14．（2017河南郑州质检）设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足；‎ ‎①f(x1－x2)＝；‎ ‎②存在正常数a，使f(a)＝1.‎ 求证：(1)f(x)是奇函数；‎ ‎(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a.‎ ‎【答案】见解析 ‎ ‎ 考点；函数的奇偶性及周期性的定义及推理论证能力。‎ ‎ ‎