2020届二轮复习向量数乘运算及其几何意义课件（15张）（全国通用） 15页

课堂导入： 我们已经知道两实数乘积的意义，以及实数 乘法运算满足结合律、分配律等运算律，那么 实数与向量是否可以相乘？在本节我们就来讨 论这个问题． 一、向量的数乘 实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算 叫做向量的数乘，记作λa. 规定： ①｜λa｜＝｜λ｜｜a｜； ②当λ＞0，时，λa的方向与a的方向相同；当λ ＜0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0． 提示： （1）向量的数乘是实数与向量的乘法运算法则，具有明显 的集合意义，它是一个合理的规定． （2）由向量的数乘概念可知，向量λa与a向量相同或相反， 所以这两个向量是共线向量．把a的模伸长（当｜λ｜＞1时） 或缩短（当｜λ｜＜1）时，到它的｜λ｜倍，就是λa的模． （3）当λ＝0时，有λa＝0；当λ≠0时，而a＝0时，也有λa＝0 的充要条件是λ＝0或a＝0． （4）实数与向量可以相乘，但不能进行加减运算，如λ+a ， a-λ是没有意义的． 典例剖析 例1 证明：连接三角形两边中点的线段平行于第三 边且等于第三边的一半 规律：对于两个共线向量，只要能够确定它们的模的倍数关系， 以及方向相同或相反，就可以利用向量的数乘概念，将其中一 个向量用另一个向量表示，从而实施问题的转化． 变式训练 如下图，在平行四边形ABCD 的对角 线DB 的延长线及反向延长线上分别取点E、F，使 BE＝DF，求证:四边形AECF 是平行四边形． 二、向量的数乘运算律 设a、b为任意向量，λ、μ为实数．则 ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ+μ)a＝λa+μa； ③λ(a+b）＝λa+λb． 注：（1）向量的数乘运算律，类似于实数运算的结合律和分配律，等 式左右两边的运算结果都是向量，但运算次序不同． （2）特别地，有（-λ)a＝-（λa）＝λ（-a）；λ（a-b）＝λa-λb．  （3）上述运算律是在向量的数乘概念下推导出来的结论，而不是规定 . （4）向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，且对任意向量a、 b，以及任意实数 ，都有λ（ a± b ）＝λ a +λ b ． 典例剖析 规律:关于实数与向量的积得有关运算，只需把向量 符号a、b、c等，看做一般字母符号，然后按照实数 的运算方法进行即可．其中向量数乘之间的和差运算， 相当于合并同类项． 变式训练 三、向量共线定理 如果a（a≠0）与b共线，那么有且只有一个 实数λ，使b＝λa. 疑难解析： （1）向量共线定理，是由向量数乘的定义得出的，事实上，如果a （a≠0）与b共线，且向量b的模是向量a的模的μ倍，则｜b｜＝｜ μa｜，那么，当a与b同向时，有b＝μa；当a与b反向时，有b＝- μa，从而b＝λa． （2）对于向量a（a≠0）、b，如果有一个实数λ使b＝λa，则由向 量数乘定义知a与b共线．所以向量共线定理的逆命题也成立． （3）定理中a≠0是前提条件，如果a＝0，则λa＝0，当b为非零向 量时，a与b共线，但是b≠λa，定理不成立．当b＝0时，b＝λa， 但λ可以取任意实数． （4）如果λb＝μa，则a与b共线，这是向量共线定理的变通，其中λ ，μ是两个不同时为零的实数．事实上，若λ＝0，则a＝0，显然a与 b共线；若λ≠0，则b＝a，从而a与b共线． 典例剖析 例3 如下图，在平行四边形ABCD 中，M 是AB的中点，点 N在对角线BD上，且BD＝3BN．求证：M、N、C三点共线． 规律:利用向量共线定理证明三点共线，是一种十分有 效的方法．由三个点可得三个方向相同的向量，只要证 明其中任意两个向量共线，就可得出三点共线．通过向 量的几何、代数运算，找出两个向量的数乘关系，是解 题的主体，通过中间向量（如本例中的a、b）沟通两个 向量的共线关系，是解题的一个技巧． 变式训练  复习： 1.实数λ与向量a的积是一个向量，记作 ． 2.｜λa｜＝ ． 3.当 时，λa与a方向相同；λ＜0时， λa与a方向 ；当 时，λa＝ 0（a≠0）． 4.实数与向量的积的运算律中，结合律是 ， 它的几何意义是： λa λ＞0 相反 λ＝0 λ（ μa ）＝λμ（a） 将表示向量a的有向线段先伸长或压缩｜μ｜倍， 在伸长或压缩｜λ｜倍．与直接将表示向量a的有向线段伸长或压缩 ｜λμ｜倍所得结果相同 .