安徽省安庆市桐城市2020高三数学试卷（理） 9页

数学试卷（理）‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 已知集合A={x|‎1-xx≥0}‎，B={x|y=lg(2x-1)}‎，则A∩B=(    )‎ A. ‎(0,1]‎ B. ‎[0,1]‎ C. ‎(‎1‎‎2‎,1]‎ D. ‎‎(‎1‎‎2‎,+∞)‎ 2. 已知复数z=‎i(1-3i)‎‎1+i，则复数z‎-‎的虚部为‎(    )‎ A. 1 B. ‎-1‎ C. i D. ‎‎-i 3. 抛物线y=ax‎2‎的焦点是直线x+y-1=0‎与坐标轴交点，则抛物线准线方程是‎(    )‎ A. x=-‎‎1‎‎4‎ B. x=-1‎ C. y=-‎‎1‎‎4‎ D. ‎y=-1‎ ‎ ‎ 4. 已知向量a，b满足‎|a|=2‎，‎|b|=4‎，a‎⊥(a+b)‎，则向量a在b方向上的投影为‎(    )‎ A. ‎-1‎ B. ‎-2‎ C. 2 D. 1‎ ‎ ‎ 5. 设x，y满足约束条件x-y+1≤0‎x+y-1≤0‎x+2y+1≥0‎，则z=2y-x的最小值为‎(    )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ 6. 在等比数列‎{an}‎中，“a‎4‎，a‎12‎是方程x‎2‎‎+3x+1=0‎的两根”是“a‎8‎‎=-1‎”的‎(    )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为‎75.‎现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为‎90.‎在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x‎-‎，方差为s‎2‎，则‎(    )‎ A. x‎-‎‎=70‎，s‎2‎‎<75‎ B. x‎-‎‎=70‎，s‎2 ‎‎>75‎ C. x‎-‎‎>70‎，s‎2‎‎<75‎ D. x‎-‎‎<70‎，‎s‎2 ‎‎>75‎ 8. 以下关于函数f(x)=sin2x-cos2x的命题，正确的是‎(    )‎ A. 函数f(x)‎在区间‎(0,‎2‎‎3‎π)‎上单调递增 B. 直线x=‎π‎8‎是函数y=f(x)‎图象的一条对称轴 C. 点‎(π‎4‎,0)‎是函数y=f(x)‎图象的一个对称中心 D. 将函数y=f(x)‎的图象向左平移π‎8‎个单位，可得到y=‎2‎sin2x的图象 ‎ ‎ 1. 函数f(x)=e‎(x-n‎)‎‎2‎m(‎其中e为自然对数的底数‎)‎的图象如图所示，则‎(    )‎ ‎ A. m>0‎，‎00‎，‎-10,b>0)‎的左、右顶点分别为A、B.‎右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线l交双曲线于M，N两点．P为直线l上一点，当‎∠APB最大时，点P恰好在M(‎或N)‎处，则双曲线的离心率为‎(    )‎ A. ‎2‎ B. ‎3‎ C. 2 D. ‎‎5‎ 4. 如图，已知四面体ABCD为正四面体，AB=2‎‎2‎，E，F分别是AD，BC中点．若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为‎(    )‎ A. 1 B. ‎2‎ C. 2 D. ‎‎2‎‎2‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 二项式‎(x-‎‎1‎‎2‎x‎)‎‎9‎的展开式中常数项是______．‎ 6. 若关于x的不等式lnx+1‎x‎≤ax+b恒成立，则ba的最小值是______．‎ 7. 今有6个人组成的旅游团，包括4个大人，2个小孩，去庐山旅游，准备同时乘缆车观光，现有三辆不同的缆车可供选择，每辆缆车最多可乘3人，为了安全起见，小孩乘缆车必须要大人陪同，则不同的乘车方式有______种．‎(‎用数字作答‎)‎ 1. 数列‎{an}‎满足anan+1‎an+2‎‎=an+an+1‎+an+2‎(anan+1‎≠1,n∈N‎*‎)‎，且a‎1‎‎=1‎，a‎2‎‎=2.‎若an‎=Asin(ωn+φ)+c(ω>0,0<φ<π)‎，则实数A=‎______‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ 2. 已知函数f(x)=‎‎(sinx+cosx‎)‎‎2‎-1‎cos‎2‎x-sin‎2‎x，方程f(x)=‎‎3‎在‎(0,+∞)‎上的解按从小到大的顺序排成数列‎{an}(n∈N‎*‎).‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求数列‎{an}‎的通项公式； ‎(‎Ⅱ‎)‎设bn‎=sinan，求数列‎{bn}‎的前n项和Sn．‎ 3. 如图，四边形ABCD是菱形，EA⊥‎平面ABCD，EF//AC，CF//‎平面BDE，G是AB的中点． ‎(1)‎求证：EG//‎平面BCF； ‎(2)‎若AE=AB，‎∠BAD=60°‎，求二面角A-BE-D的余弦值．‎ 4. 某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树．某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为‎0.8‎，引种树苗B、C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9)‎． ‎(1)‎任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E(X)‎； ‎(2)‎将‎(1)‎中的E(X)‎取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有‎75%‎的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为‎0.8‎，其余的树苗不能成活． ‎①‎求一棵B种树苗最终成活的概率； ‎②‎若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵？‎ 5. 已知椭圆C：x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎1‎‎2‎，直线l：x+2y=4‎与椭圆有且只有一个交点T． ‎(1)‎求椭圆C的方程和点T的坐标； ‎(2)O为坐标原点，与OT平行的直线l'‎与椭圆C交于不同的两点A，B，直线l'‎与直线l交于点P，试判断‎|PT‎|‎‎2‎‎|PA|⋅|PB|‎是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．‎ 6. 已知函数f(x)=lnx+‎1-xax(a∈R且a≠0)‎，g(x)=(b-1)x-xex-‎1‎x(b∈R)‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎讨论函数f(x)‎的单调性； ‎(‎Ⅱ‎)‎当a=1‎时，若关于x的不等式f(x)+g(x)≤-2‎恒成立，求实数b的取值范围．‎ 7. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ‎2‎‎=2ρcosθ-4ρsinθ+4‎，直线l‎1‎的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=3‎． ‎(‎Ⅰ‎)‎写出曲线C和直线l‎1‎的直角坐标方程； ‎(‎Ⅱ‎)‎ 设直线l‎2‎过点P(-1,0)‎与曲线C交于不同两点A，B，AB的中点为M，l‎1‎与l‎2‎的交点为N，求‎|PM|⋅|PN|‎．‎ 1. ‎(1)‎已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1‎，证明‎1‎a‎+‎1‎b+‎1‎c≥9‎； ‎(2)‎已知a，b，c均为正实数，且abc=1‎，证明a‎+b+c≤‎1‎a+‎1‎b+‎‎1‎c．‎ 数学试卷（理）答案 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ CADAA AADCB AC 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13【答案】‎21‎‎16‎【答案】‎-‎‎1‎e【答案】348【答案】‎‎2‎‎3‎‎3‎ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）‎ ‎17【答案】解：‎(‎Ⅰ‎)‎函数f(x)=‎‎(sinx+cosx‎)‎‎2‎-1‎cos‎2‎x-sin‎2‎x， 即f(x)=sin2xcos2x=tan2x， 解f(x)=tan2x=‎‎3‎得‎2x=kπ+‎π‎3‎，x=k‎2‎π+‎π‎6‎，k∈Z， 依题意an‎=π‎6‎+π‎2‎(n-1)=nπ‎2‎-‎π‎3‎，n∈‎N‎*‎； ‎(‎Ⅱ‎)bn=sinan=sin(nπ‎2‎-π‎3‎)‎是周期T=‎2ππ‎2‎=4‎的数列， b‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，b‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎，b‎3‎‎=-‎‎1‎‎2‎，b‎4‎‎=-‎‎3‎‎2‎， S‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，S‎2‎‎=‎‎3‎‎+1‎‎2‎，S‎3‎‎=‎‎3‎‎2‎，S‎4‎‎=0‎， 从而S‎5‎‎=S‎4‎+b‎5‎=b‎1‎=‎‎1‎‎2‎，S‎6‎‎=S‎5‎+b‎6‎=b‎1‎+b‎2‎=S‎2‎=‎‎3‎‎+1‎‎2‎， ‎……‎，所以Sn是周期为4的数列， ‎Sn‎=‎1‎‎2‎‎,n=4k-3,‎‎3‎‎+1‎‎2‎‎,n=4k-2,‎‎3‎‎2‎‎,n=4k-1,‎‎0,n=4k.‎(k∈N‎*‎).‎ ‎18【答案】证明：‎(1)‎设AC∩BD=O，连结OE，OF， ‎∵CF//‎平面BDE，平面BDE∩‎平面ACFE=OE， CF⊂‎平面ACFE， ‎∴OE//CF， ‎∵EF//AC， ‎∴OEFC为平行四边形， 又四边形ABCD是菱形，故EF‎=OC=OA， ‎∴AOFE为平行四边形，OF//AE， ‎∵EA⊥‎平面ABCD， ‎∴OF⊥‎平面ABCD， 设OA=a，OB=b，AE=c， 以O为原点，OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ‎ ‎ 则E(a,‎0，c)‎，G(a‎2‎,b‎2‎,0)‎，B(0,‎b，‎0)‎，C(-a,‎0，‎0)‎，F(0,‎0，c)‎， FB‎=(0,‎b，‎-c)‎，FC‎=(-a,‎0，‎-c)‎，EG‎=(-a‎2‎,b‎2‎,-c)‎， 设平面BCF的法向量为n‎=(x,‎y，z)‎， 则n‎⋅FB=by-cz=0‎n‎⋅FC=-ax-cz=0‎，取z=b，得n‎=(-bca,‎c，b)‎， ‎∵n⋅EG=(-a‎2‎)⋅(-bca)+b‎2‎⋅c+(-c)⋅b=0‎，EG⊄‎平面BCF， ‎∴EG//‎平面BCF； 解：‎(2)‎设AE=AB=2‎， ‎∵∠BAD=60°‎， ‎∴OB=1‎，OA=‎‎3‎， ‎∴A(‎3‎,0,0)‎，B(0,‎1，‎0)‎，E(‎3‎,0,2)‎，D(0,-1,0)‎， BE‎=(‎3‎,-1,2)‎，BA‎=(‎3‎,-1,0)‎，BD‎=(0,-2,0)‎， 设平面ABE的法向量n‎1‎‎=(x‎1‎,y‎1‎,z‎1‎)‎， 则n‎⋅BA=‎3‎x‎1‎-y‎1‎=0‎n‎⋅BE=‎3‎x‎1‎-y‎1‎+2z‎1‎=0‎，取x‎1‎‎=1‎，得n‎1‎‎=(1,‎3‎,0)‎， 设平面BDE的法向量m‎=(x‎2‎,y‎2‎,z‎2‎)‎， 则m‎⋅BE=‎3‎x‎2‎-y‎2‎+2z‎2‎=0‎m‎⋅BD=-2y‎2‎=0‎，取x‎2‎‎=2‎，得m‎=(2,‎0，‎-‎3‎)‎， 设二面角A-BE-D的平面角为θ， 则cosθ=‎|m⋅n‎1‎|‎‎|m|⋅|n‎1‎|‎=‎2‎‎4‎‎⋅‎‎7‎=‎‎7‎‎7‎． ‎∴‎二面角A-BE-D的余弦值为‎7‎‎7‎．‎ ‎19【答案】解：‎(1)‎依题意，X的所有可能值为0，1，2，‎3.‎则P(X=0)=0.2(1-p‎)‎‎2‎；P(X=1)=0.8×(1-p‎)‎‎2‎+0.2×C‎2‎‎1‎×p×(1-p)=0.8(1-p‎)‎‎2‎+0.4p(1-p)‎， 即P(X=1)=0.4p‎2‎-1.2p+0.8‎，P(X=2)=0.2p‎2‎+0.8×C‎2‎‎1‎×p×(1-p)=0.2p‎2‎+1.6p(1-p)=-1.4p‎2‎+1.6p， P(X=3)=0.8‎p‎2‎；X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.2p‎2‎-0.4p+0.2‎ ‎0.4p‎2‎-1.2p+0.8‎ ‎-1.4p‎2‎+1.6p ‎0.8‎p‎2‎ ‎ E(X)=1×(0.4p‎2‎-1.2p+0.8)+2×(-1.4p‎2‎+1.6p)+3×0.8p‎2‎=2p+0.8‎． ‎(2)‎当p=0.9‎时，E(X)‎取得最大值． ‎①‎一棵B树苗最终成活的概率为‎0.9+0.1×0.75×0.8=0.96‎． ‎②‎记Y为n 棵树苗的成活棵数，M(n)‎为n棵树苗的利润， 则Y～B(n,0.96)‎，E(Y)=0.96n，M(n)=300Y-50(n-Y)=350Y-50n， E(M(n))=350E(Y)-50n=286n，要使E(M(n))≥200000‎，则有n≥699.3‎． 所以该农户至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元．‎ ‎20【答案】解：‎(1)‎由e=ca=‎1-‎b‎2‎a‎2‎=‎‎1‎‎2‎，b‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎a‎2‎，联立x+2y=4‎x‎2‎a‎2‎‎+‎4‎y‎2‎‎3‎a‎2‎=1‎， 消去x，整理得：‎16‎‎3‎y‎2‎‎-16y+16-a‎2‎=0‎，‎①‎ 由‎△=0‎，解得：a‎2‎‎=4‎，b‎2‎‎=3‎， ‎∴‎椭圆的标准方程x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1‎，由‎①‎可知yT‎=‎‎3‎‎2‎，则T(1,‎3‎‎2‎)‎； ‎(2)‎设直线l'‎的方程为y=‎3‎‎2‎x+t，由y=‎3‎‎2‎x+tx+2y=4‎， 解得P的坐标为‎(1-t‎2‎,‎3‎‎2‎+t‎4‎)‎，所以‎|PT‎|‎‎2‎=‎‎5‎‎16‎t‎2‎， 设A(x‎1‎,y‎1‎)‎，B(x‎2‎,y‎2‎)‎，联立y=‎3‎‎2‎x+t‎3x‎2‎+4y‎2‎=12‎， 消去y整理得x‎2‎‎+tx+t‎2‎‎3‎-1=0‎，则x‎1‎‎+x‎2‎=-tx‎1‎x‎2‎‎=‎t‎2‎‎-3‎‎3‎， ‎△=t‎2‎-4(t‎2‎‎3‎-1)>0‎，t‎2‎‎<12‎， y‎1‎‎=‎3‎‎2‎x‎1‎+t，y‎2‎‎=‎3‎‎2‎x‎2‎+t，‎|PA|=‎(1-t‎2‎-x‎1‎‎)‎‎2‎+(‎3‎‎2‎+t‎4‎-‎y‎1‎‎)‎‎2‎=‎13‎‎2‎|‎2-t‎2‎-x‎1‎|‎， 同理‎|PB|=‎13‎‎2‎|‎2-t‎2‎-x‎2‎|‎， ‎|PA|⋅|PB|=‎13‎‎4‎|(‎2-t‎2‎-x‎1‎)(‎2-t‎2‎-x‎2‎)|=‎13‎‎4‎|(‎2-t‎2‎‎)‎‎2‎-‎2-t‎2‎(x‎1‎+x‎2‎)+x‎1‎x‎2‎|‎， ‎13‎‎4‎‎|(‎2-t‎2‎‎)‎‎2‎-‎2-t‎2‎(-t)+t‎2‎‎-3‎‎3‎|=‎‎13‎‎48‎t‎2‎， ‎∴‎|PT‎|‎‎2‎‎|PA|⋅|PB|‎=‎5‎t‎2‎‎16‎‎13‎t‎2‎‎48‎=‎‎15‎‎13‎， ‎∴‎|PT‎|‎‎2‎‎|PA|⋅|PB|‎=‎‎15‎‎13‎为定值．‎ ‎21【答案】解：‎(‎Ⅰ‎)∵f(x)=lnx+‎1‎ax-‎‎1‎a， 当a<0‎时，‎∴f'(x)>0‎，‎∴f(x)‎在‎|AB|=2‎单调递增； 当a>0‎时，由f'(x)>0‎得：x>‎‎1‎a； 由f'(x)<0‎得：‎00‎时，f(x)‎在‎(0,‎1‎a)‎ 单调递减，在‎(‎1‎a,+∞)‎单调递增． ‎(‎Ⅱ‎)‎由题意：当a<0‎时，不等式f(x)+g(x)≤-2‎， 即lnx+‎1‎x-1+(b-1)x-xex-‎1‎x≤-2‎． 即b-1≤ex-lnxx-‎‎1‎x在‎(0,+∞)‎恒成立， 令h(x)=ex-lnxx-‎‎1‎x，则h'(x)=ex-‎1-lnxx‎2‎+‎1‎x‎2‎=‎x‎2‎ex‎+lnxx‎2‎， 令u(x)=x‎2‎ex+lnx，则u'(x)=(x‎2‎+2x)ex+‎1‎x>0‎， ‎∴u(x)‎在‎(0,+∞)‎单调递增 又u(1)=e>0,u(‎1‎‎2‎)=e‎4‎-ln2<0‎，所以，u(x)‎有唯一零点x‎0‎‎(‎1‎‎2‎0‎即h'(x)>0‎，h(x)‎单调递增，所以h(x‎0‎)‎为h(x)‎在定义域内的最小值．分‎)‎ 令k(x)=xex(‎1‎‎2‎