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- 2021-06-15 发布
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第26讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
2016·全国卷Ⅰ,13
2016·全国卷Ⅲ,3
2016·北京卷,4
2016·天津卷,7
2016·山东卷,8
1.平面向量的数量积是高考的热点,主要考查平面向量数量积的运算、几何意义、两向量的模与夹角以及垂直问题.
2.数量积的综合应用是高考的重点,常与函数、三角函数、不等式、解析几何等内容结合考查.
分值:5分
1.平面向量的数量积
若两个__非零__向量a与b,它们的夹角为θ,则__|a||b|cos θ__叫做a与b的数量积(或内积),记作__a·b=|a||b|cos θ__.
规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是__a·b=0__,两个非零向量a与b平行的充要条件是__a·b=±|a||b|__.
2.平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影__|b|cos θ__的乘积.
3.平面向量数量积的重要性质
(1)e·a=a·e=__|a|cos〈a,e〉__;
(2)非零向量a,b,a⊥b⇔__a·b=0__;
(3)当a与b同向时,a·b=__|a||b|__;当a与b反向时,a·b=__-|a||b|__,a·a=__a2__,|a|=____;
(4)cos θ=____;
(5)|a·b|__≤__|a||b|.
4.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b=__b·a__(交换律);
(2)(λa)·b=λ(a·b)=__a·(λb)__(λ为实数);
(3)(a+b)·c=__a·c+b·c__.
5.平面向量数量积性质的坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=__x1x2+y1y2__;
由此得到:
(1)若a=(x,y),则|a|2=__x2+y2__,或|a|=____;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离|AB|=||=____;
(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔__x1x2+y1y2=0__.
6.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;
(2)(a+b)2=a2+2a·b+b2;
(3)(a-b)2=__a2-2a·b+b2__.
1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量,且有正有负,也可为零.( √ )
(2)若a∥b,则必有a·b≠0.( × )
(3)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( × )
(4)若a·b<0,则向量a,b的夹角为钝角.( × )
解析 (1)正确.由向量投影的定义可知,当两向量夹角为锐角时结果为正,为钝角时结果为负,为直角时结果为零.
(2)错误.当a与b至少有一个为0时a∥b,但a·b=0.
(3)正确.由数量积与向量线性运算的意义可知,正确.
(4)错误.当a·b=-|a||b|时,a与b的夹角为π.
2.下列四个命题中真命题的个数为( C )
①若a·b=0,则a⊥b;②若a·b=b·c,且b≠0,则a=c;③(a·b)·c=a·(b·c);④(a·b)2=a2·b2.
A.4 B.2
C.0 D.3
解析 a·b=0时,a⊥b,或a=0,或b=0.故①命题错.
∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0.又∵b≠0,∴a=c,或b⊥(a-c).故②命题错误.∵a·b与b·c都是实数,故(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,
∴(a·b)·c不一定与a·(b·c)相等.故③命题不正确.
∵(a·b)2=(|a||b|cos θ)2=|a|2|b|2cos2θ≤|a|2·|b|2=a2·b2.故④命题不正确.
3.在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=,则·=( D )
A.- B.-
C. D.
解析 在△ABC中,cos ∠BAC===,∴·=||||cos ∠BAC=3×2×=.
4.已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),λa+b与a垂直,则λ=( A )
A.-1 B.1
C.-2 D.2
解析 λa+b=(λ+4,-3λ-2).∵λa+b与a垂直,
∴(λa+b)·a=10λ+10=0,∴λ=-1.
5.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为( C )
A. B.
C. D.
解析 |a|cos θ====.
一 平面向量的数量积运算
求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.
【例1】 (1)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( C )
A.-1 B.0
C.1 D.2
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=__2__.
解析 (1)∵a=(1,-1),b=(-1,2),∴a2=2,a·b=-3,
从而(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.
(2)|a+2b|=
==2.
二 平面向量的夹角与垂直
(1)根据平面向量数量积的性质:若a,b为非零向量,cos θ=(夹角公式),a⊥b⇔a·b=0等,可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角,数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角.
【例2】 (1)已知在△ABC中,AB=4,AC=6,BC=,其外接圆的圆心为O,则·=__10__.
(2)已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是__∪∪__.
解析 (1)如图,取BC的中点M,连OM,AM,则=+,
∴·=(+)·.
∵O为△ABC的外心,∴OM⊥BC,即·=0,
∴·=·=(+)·(-)=
(2-2)=(62-42)=×20=10.
(2)a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a与b不共线,
则解得λ<-或0<λ<或λ>,
所以λ的取值范围是∪∪.
三 平面向量的模及综合应用
向量模的运算方法
(1)若向量a是以坐标形式出现的,求向量a的模可直接利用|a|=.
(2)若向量a,b是非坐标形式出现的,求向量a的模可应用公式|a|2=a2=a·a或|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2,先求向量模的平方,再通过向量数量积的运算求解.
【例3】 (1)在平面直角坐标系内,已知B(-3,-3),C(3,-3),且H(x,y)是曲线x2+y2=1上任意一点,则·的最大值为__6+19__.
(2)(2018·河北石家庄二模)已知向量a,b,c满足|a|=,|b|=a·b=3,若(c-2a)·(2b-3c)=0,则|b-c|的最大值是__+1__.
解析 (1)由题意得=(x+3,y+3),=(x-3,y+3),所以·=(x+3,y+3)·(x-3,y+3)
=x2+y2-9+6y+27=6y+19≤6+19,当且仅当y=1时取最大值.
(2)设a与b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ,
∴cos θ===,
∵θ∈[0,π],∴θ=.
设=a,=b,c=(x,y),建立如图所示的平面直角坐标系.则A(1,1),B(3,0),
∴c-2a=(x-2,y-2),2b-3c=(6-3x,-3y),
∵(c-2a)·(2b-3c)=0,∴(x-2)·(6-3x)+(y-2)·(-3y)=0.
即(x-2)2+(y-1)2=1.又知b-c=(3-x,-y),
∴|b-c|=≤+1=+1,
即|b-c|的最大值为+1.
1.在△ABC中,已知向量=(2,2),||=2,·=-4,则△ABC的面积为( C )
A.4 B.5
C.2 D.3
解析 ∵=(2,2),∴||==2.
∵·=||·||cos A=2×2cos A=-4,
∴cos A=-,∵00,∴|a+b|=2cos x.
(2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos 2x-2cos x-1
=22-.
∵x∈,∴≤cos x≤1,∴当cos x=时,f(x)取得最小值-;当cos x=1时,f(x)取得最大值-1.
易错点 忽视或弄错向量的几何表示
错因分析:利用向量的几何意义表示三角形的四心,关键是弄清这四心的定义及性质.
【例1】 已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的( )
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
解析 第一个条件表明O到A,B,C三顶点的距离相等,即为△ABC的外心,设D为BC的中点,则+=2,
∴+2=0,则N为△ABC的中线AD靠近D的三等分点,即为△ABC的重心;由·=·得
·(-)=0,∴·=0,同理·=0,
·=0,则知P与三顶点的连线和对边垂直,所以P为△ABC的垂心,故选C.
答案 C
【跟踪训练1】 已知O是平面内的一定点,A,B,C是此平面内不共线的三个动点,若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( C )
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
解析 由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根据平行四边形法则,知+是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过△ABC的重心.
课时达标 第26讲
[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义,往往借助于数量积求模长、夹角、面积等,多以选择题、填空题的形式考查,题目难度中等偏难.
一、选择题
1.已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( D )
A.x=- B.x=-1
C.x=5 D.x=0
解析 由向量垂直的充要条件,得2(x-1)+2=0.解得x=0.
2.已知非零向量a,b,|a|=|b|=|a-b|,则cos 〈a,a+b〉=( C )
A. B.-
C. D.-
解析 设|a|=|b|=|a-b|=1,则(a-b)2=a2-2a·b+b2=1,
∴a·b=,∴a·(a+b)=a2+a·b=1+=.
∵|a+b|===,
∴cos〈a,a+b〉==.
3.已知向量||=2,||=4,·=4,则以,为邻边的平行四边形的面积为( A )
A.4 B.2
C.4 D.2
解析 因为cos∠AOB===,所以∠AOB=60°,sin∠AOB=.所以所求的平行四边形的面积为||·||·sin∠AOB=4,故选A.
4.(2018·山西四校二联)已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为( D )
A.- B.-
C. D.
解析 ∵a·(a+b)=a2+a·b=22+2×1×cos〈a,b〉=4+2cos〈a,b〉=3,∴cos〈a,
b〉=-,又〈a,b〉∈[0,π],∴sin〈a,b〉==,故选D.
5.(2018·甘肃兰州模拟)若△ABC的三个内角A,B,C度数成等差数列,且(+)·=0,则△ABC一定是( C )
A.等腰直角三角形 B.非等腰直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
解析 因为(+)·=0,所以(+)·(-)=0,所以2-2=0,即||=||,又A,B,C度数成等差数列,故2B=A+C,又A+B+C=π,所以2B=π-B,所以3B=π,B=,故△ABC是等边三角形.
6.(2018·福建厦门模拟)在△ABC中,∠A=120°,·=-1,则||的最小值是( C )
A. B.2
C. D.6
解析 由·=||||cos 120°=-||||=-1,得||||=2,||2=|-|2=2+2-2AB·=2+2+2≥2||||+2=6,当且仅当||=||时等号成立.所以||≥,故选C.
二、填空题
7.(2016·全国卷Ⅰ)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=__-2__.
解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2得a·b=0,即m+2=0,∴m=-2.
8.已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为__90°__.
解析 由=(+),可得O为BC的中点,故BC为圆O的直径,所以与的夹角为90°.
9.(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤20,则点P的横坐标的取值范围是__[-5,1]__.
解析 设P(x,y),则·=(-12-x,-y)·(-x,6-y)=x(x+12)+y(y-6)≤20,又x2+y2=50,所以2x-y+5≤0,所以点P在直线2x-y+5=0的上方(包括直线上),又点P在圆x2+y2=50上,由解得x=-5或x=1,结合图象(图略),可得-5≤x≤1,故点P的横坐标的取值范围是[-5,1].
三、解答题
10.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.
(1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|;
(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(ka-b).
解析 由已知得,a·b=4×8×=-16.
(1)①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-16)+64=48,
∴|a+b|=4.
②∵|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2=16×16-16×(-16)+4×64=768,∴|4a-2b|=16.
(2)∵(a+2b)⊥(ka-b),∴(a+2b)·(ka-b)=0,
∴ka2+(2k-1)a·b-2b2=0,即16k-16(2k-1)-2×64=0.
∴k=-7.即k=-7时,a+2b与ka-b垂直.
11.在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.
(1)求sin A的值;
(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量在方向上的投影.
解析 (1)由m·n=-,
得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,所以cos A=-.
因为0b,所以A>B,则B=.
由余弦定理得(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1,
故向量在方向上的投影为||cos B=ccos B=1×=.
12.如图,O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠AOC=120°,向量,,的模分别为2,,4.
(1)求|++|;
(2)若=m+n,求实数m,n的值.
解析 (1)由已知易知·=||·||·cos ∠AOB=-3,
·=||·||·cos ∠AOC=-4,·=0,
∴|++|2=2+2+2+2(·+·+·)=9,∴|++|=3.
(2)由=m+n可得·=m2+n·,且·=m·+n2,
∴∴m=n=-4.