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- 2021-06-15 发布
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2018-2019学年四川省雅安市高一上学期期末考试数学试题
一、单选题
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用交集运算即可得到答案.
【详解】
,,
则
故选:D.
【点睛】
本题考查集合的交集运算,属于简单题.
2.已知幂函数的图象经过点,则的值为( )
A. B. C.3 D.
【答案】C
【解析】将点(4,2)代入,可得函数解析式,从而得到f(9)的值.
【详解】
幂函数的图象经过点,
得2=,解得a=,则,
则
故选:C.
【点睛】
本题考查幂函数的定义,属于基础题.
3.计算:( )
A.6 B.7 C.8 D.
【答案】B
【解析】利用指数的运算性质即可得到答案.
【详解】
故选:B.
【点睛】
本题考查指数的运算性质,属于简单题.
4.已知函数,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ,选C.
点睛:(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现的形式时,应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
5.若为第三象限角,则的值为( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
【答案】B
【解析】通过平方关系sin2α+cos2α=1,去掉根号,注意三角函数值的正负号,最后化简即可.
【详解】
∵α为第三象限,∴sinα<0,cosα<0
则==-1-2=-3.
故选:B.
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.
6.函数在下列区间内一定有零点的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用零点存在性定理检验即可得到答案.
【详解】
函数是单调递增的函数,
且f(-1)=f(0)=1>0,
由零点存在性定理可知函数在区间(-1,0)上定存在零点,
故选:A.
【点睛】
本题考查零点存在性定理的简单应用,属于基础题.
7.函数在区间上递增,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知二次函数图像开口向上,要满足题意只需对称轴小于等于-2即可.
【详解】
函数,二次函数图像开口向上,
若在区间上递增,
则对称轴x=-a,
即a
故选:D.
【点睛】
本题考查二次函数图像的性质,考查函数在某个区间上的单调问题,属于简单题.
8.已知,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得,根据三角函数的诱导公式,
可得,故选B.
9.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由真数大于0,被开方数大于0,联立不等式组求解即可.
【详解】
要使函数有意义,只需满足,
解得,
所以函数定义域为
故选:D.
【点睛】
本题考查定义域的求解,需掌握:①分式分母不为0,②偶次根式被开方数大于等于0,③对数的真数大于0.
10.函数图象的一部分如图所示,则的解析式可以为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由函数的最值求出A和k,根据周期求出ω,通过排除即可得到选项.
【详解】
设函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k,
由图象知函数的周期T=2×(9﹣3)=12,
即,则,排除A,C,
函数的最大值为7.5,最小值为0.5,
则,解得k=4,A=3.5,
故选:B.
【点睛】
本题考查已知部分图像求解析式,已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的图象求解析式,(1). (2)由函数的周期T求.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.
11.若函数为定义在上的偶函数,且在内是增函数,又 ,则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】试题分析:由题意可知,函数在上亦为增函数,且,所以当时,,当时,,因此不等式的解集为.故选D.
【考点】函数性质在解不等式中的应用.
12.已知当 时,函数 的图象与 的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】当时, , 单调递减,且, 单调递增,且 ,此时有且仅有一个交点;当时, , 在 上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需 选B.
【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
二、填空题
13.已知角的终边经过点,且,则等于__________.
【答案】-4
【解析】由题意,,解得,故答案为.
14.函数(,且)的图象必过定点 .
【答案】
【解析】由对数的性质知,当真数为1时,对数值一定为0,由此性质求函数图象所过的定点即可.
【详解】
令x-2=1,得x=3,此时y=1,
故函数的图象恒过点,
故答案为:.
【点睛】
本题考查有关对数型函数图象所过的定点问题,涉及到的知识点是1的对数等于零,从而求得结果,属于简单题.
15.命题“若, ”,则______________.
【答案】
【解析】条件变为, ,两式平方相加可推得结论.
16.函数在区间上单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性即可求出x的范围即可.
【详解】
因为f(x)为奇函数,
所以f(﹣1)=﹣f(1)=1,
于是﹣1≤f(x﹣2)≤1等价于f(1)≤f(x﹣2)≤f(﹣1),
又f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,
∴﹣1≤x﹣2≤1,
∴1≤x≤3.
故答案为:
【点睛】
本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用,考查转化思想,属于基础题.
三、解答题
17.(1)求值:.
(2)已知,求:的值.
【答案】(1)2(2)
【解析】(1)利用对数的运算性质即可得到答案;(2)根据三角函数的基本关系式,化简为“齐次式”,代入即可求解.
【详解】
(1)解:原式=
=
=2
(2)原式=
==
【点睛】
本题考查对数运算性质,考查三角函数的化简、求值问题,其中解答中合理利用同角三角函数的基本关系式,化简得到“齐次式”,代入求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
18.已知函数(其中为常数).
(1)求的单调区间;
(2)若时,的最大值为4,求的值.
【答案】(1)增区间:
(2)a=1
【解析】本题考查三角函数的性质
⑴在中,令,
则有,所以的单调增区间为.
⑵当时,则即时
取得最大值为
由题意有,则
即
19.已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)请直接写函数的单调区间,并求出函数在区间上的值域.
【答案】(1)(2)单调增区间单调减区间:,值
【解析】(1)即可得函数定义域;(2)利用复合函数的单调性可求函数单调区间,求y=的值域,根据对数函数的性质即可得到函数f(x)值域.
【详解】
解:(1)由
定义域:
(2)令u=1-x2,则u在上单调递增,在上单调递减.
又单调递增,
故f(x)在上单调递增,在上单调递减.
∵函数f(x)在上为减函数
∴函数f(x)在上的值域为
【点睛】
本题考查函数定义域的求法,考查复合函数求单调区间、值域,考查对数函数的性质、值域等基础知识,是中档题.
20.已知,为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由诱导公式和余弦的二倍角公式计算即可得到答案;(2)由α,β为锐角得α+β∈(0,π),由平方关系求出sin(α+β),再由两角差的余弦函数求出cosβ=cos[(α+β)﹣α]的值.
【详解】
解:(1)==
(2)∵α为锐角,sinα=,∴cosα=,
∵α+β∈(0,π),
由cos(α+β)=得,sin(α+β)==,
∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα
=×+×=
【点睛】
本题考查诱导公式,二倍角公式,两角和与差的余弦函数,以及平方关系的应用,注意角的范围和角之间的关系,属于中档题.
21.目前,某市出租车的计价标准是:路程以内(含)按起步价8元收取,超过后的路程按1.9元收取,但超过后的路程需加收的返空费(即单价为元)
(1)若,将乘客搭乘一次出租车的费用(单位:元)表示为行程(单位:)的分段函数;
(2)某乘客行程为,他准备先乘一辆出租车行驶,然后再换乘另一辆出租车完成余下路程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全程更省钱?
【答案】(1)(2)换乘更省钱
【解析】(1)仔细审题,由题意即可列出乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(元)表示为行程x的分段函数.(2)求出只乘一辆车的车费,换乘2辆车的车费,通过比较即可得到结论.
【详解】
解:(1)由题意得车费关于路程x的函数为:
(2)只乘一辆车的车费为:
换乘2辆车的车费为:
40.3>38.8
该乘客换乘比只乘一辆车更省钱。
【点睛】
本题考查分段函数在生产实际中的应用,解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
22.已知函数在区间上有最大值4和最小值1.设.
(1)求的值;
(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.
(3)若有三个不同的实数解,求实数的取值范围.
【答案】(1)a=1,b=0;(2);(3).
【解析】(1)因为的对称轴为,且,故函数在区间上单调递增,则由题设,即
.
(2)由(1)可知,则可化为,即,令,由于,所以,则不等式可化为在上恒成立.记,因其对称轴为,故,所以,即所求实数的取值范围是.
(3)因,故,则原方程可化为,令, 由于,则
所以问题转化为方程有两个不相等的实数根,其中或,记,结合该二次函数图象可得:或,解之得或,则,故所求实数的取值范围是.
点睛:本题以含参数的二次函数为背景,精心设置了与之相关的三个问题,将转化化归思想、函数方程思想及数形结合思想有机地整合在一起,综合考查学生的转化化归能力、数形结合能力及运用函数方程思想分析问题解决问题的能力.求解第一问时,充分运用题设中的最大值和最小值等有效的条件信息,建立方程组求出参数;第二问的求解过程中,则巧妙地将参数从不等式中分离出来,并运用换元法将其转化为求函数的最值问题来处理;第三问则巧运用换元法,将方程问题进行等价转化,借助二次函数的图象建立不等式组,通过解不等式组使得问题获解.