2018-2019学年云南省腾冲市第八中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版 11页

腾八中2020届高二下学期期中考数学试卷（理）‎ ‎（时间：120分钟 总分：150分） ‎ 一．选择题：（每小题5分:60分）‎ ‎1．已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎3．关于函数y＝2sin（2x+）+1，有下列叙述：‎ ‎（1）其图象可由y＝2sin（x+）+1图象上所有点的横坐标变为原来的倍得到；‎ ‎（2）其图象关于直线x＝对称； （3）其图象关于点（，0）对称； ‎ ‎（4）其值域是[﹣1，3]． 则叙述正确的个数是（　 　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎4．不等式成立的充分不必要条件是（　 　）‎ A．x＞1 B．x＞﹣1 ‎ C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜1或x＞1‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　 　）‎ A．210 ‎ B．208 ‎ C．206 ‎ D．204‎ ‎6. 已知直线平面，直线平面，下面有三个命题：①；②；③，其中假命题的个数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎7．在一次学校组织的中华传统文化知识竞赛中，甲乙丙三个小组参加比赛，比赛共分两个阶段，每一题答对得5分，不答得0分，答错扣3分．已知甲组在第一阶段得分是80分，进入第二阶段甲组只答对了20道题，则下列哪一个分数可能是甲组的最终得分（　 　）‎ A．195 B．179 C．178 D．177‎ ‎8．设变量满足约束条件： 则的最小值为（ 　）‎ A.－8　　 　B.－6. 　 C.－4 　 D.－2‎ ‎9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．2 ‎ ‎10．函数的图象大致为（　 　）‎ A． B C． D．‎ ‎11．用数学归纳法证明时，n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项为（　 　）‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎12.已知，，则以、为邻边的平行四边形的面积为( )‎ A. B. C.4 D. ‎ 二．填空题（每小题5分共20分）‎ ‎13．有线性相关关系的变量x，y有观测数据（xi，yi）（i＝1，2，…，15），已知它们之间的线性回归方程是，若，则_________ ‎ ‎14．已知数列{an}，对任意不相等的正整数m，n均有＝2，且a2+a6＝10，则数列{an}的前n项和Sn＝ __________ ‎ ‎15．已知函数f（x）＝x3+2x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程___________ ‎ ‎16．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为___________ ‎ ‎ 三．解答题：（ 6大题 共80分）‎ ‎17.( 10分)等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．‎ ‎18.( 12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sin2+4sinAsinB=2+．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．‎ ‎19. ( 12分)某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）． ‎ 分组 频数 ‎[55，65）‎ ‎2‎ ‎[65，75）‎ ‎4‎ ‎[75，85）‎ ‎10‎ ‎[85，95]‎ ‎4‎ 合计 ‎20‎ 第一车间样本频数分布表 ‎（1）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；‎ ‎（2）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）‎ ‎（3）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min 的概率．‎ ‎20. ( 12分)在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC中点．‎ ‎（1）证明：BE∥平面PAD；‎ ‎（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．‎ 21. ‎( 12分)已知椭圆的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在实数m使，若存在求出实数m的值；若不存在需说明理由．‎ ‎ ‎ ‎22. ( 12分) 设函数（其中常数）.‎ ‎（1）已知函数在处取得极值，求的值； ‎ ‎（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．‎ 腾八中2020届高二下学期期中考数学试卷（理）‎ 参考答案 一．选择题: （每小题5分共60分）‎ 序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B A D C A D D A C A 二．填空题：（每小题5分共20分）‎ ‎13. 255 14. Sn＝ n2﹣2n 15. x+y＝0 16. ‎ 三解答题: （共70分）‎ ‎17.( 10分) 等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．‎ ‎ 解：（1）设公差为d，则，‎ 解得，‎ 所以an=3+（n﹣1）=n+2；‎ ‎（2）bn=2+n=2n+n，‎ 所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）‎ ‎=（2+22+…+210）+（1+2+…+10）‎ ‎=+=2101．‎ ‎18.( 12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知4sin2+4sinAsinB=2+．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）已知b=4，△ABC的面积为6，求边长c的值．‎ 解：（1）在△ABC中，由4sin2+4sinAsinB=2+得 ‎4×+4sinAsinB=2+，‎ 即﹣2cosAcosB+2sinAsinB=得 cos（A+B）=﹣，‎ 于是cosC=，故C=．‎ ‎（2）已知b=4，△ABC的面积为6=ab•sinC=a×4×得a=3，‎ 所以c===．‎ ‎19( 12分)某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工人400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55，65），[65，75），[75，85），[85，95]分组）． ‎ 分组 频数 ‎[55，65）‎ ‎2‎ ‎[65，75）‎ ‎4‎ ‎[75，85）‎ ‎10‎ ‎[85，95]‎ ‎4‎ 合计 ‎20‎ 第一车间样本频数分布表 ‎（1）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；‎ ‎（2）分别估计两车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）‎ ‎（3）从第一车间被统计的生产时间小于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中，至少1人生产时间小于65min的概率．‎ ‎ 解：（1）估计第一车间生产时间小于75min的人数为200×＝60（人）， ‎ 估计第二车间生产时间小于75min的人数为 ‎400×（0.025+0.05）×10＝300（人）； ‎ ‎（2）第一车间生产时间平均值约为 ‎＝×（60×2+70×4+80×10+90×4）＝78（min）， ‎ 第二车间生产时间平均值约为 ‎＝60×0.25+70×0.5+80×0.2+90×0.05＝70.5（min）； ‎ ‎∵＞，∴第二车间工人生产效率更高； ‎ ‎（3）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min的工人有6人，‎ 其中生产时间小于65min的有2人，分别用A1、A2代表生产时间小于65min的工人，‎ 用B1、B2、B3、B4代表生产时间大于或等于65min，且小于75min的工人；‎ 抽取2人基本事件空间为Ω＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），‎ ‎（A2，B1），（A2， B2），（A2，B3），（A2，B4），（B1，B2），（B1，B3），‎ ‎（B1，B4），（B2，B3），（B2，B4），（B3，B4）}共15个基本事件； 设事件A＝“2人中至少1人生产时间小于65min”，‎ 则事件A＝{（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），‎ ‎（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4）}共9个基本事件； ‎ ‎∴P（A）＝＝． ‎ ‎20. ( 12分)在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB ‎＝1，点E为棱PC中点．‎ ‎（1）证明：BE∥平面PAD；‎ ‎（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；‎ ‎（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．‎ ‎ （1）证明：取PD中点M，连接AM，EM，‎ 由于E，M分别为PC，PD的中点，‎ 故EM∥DC，且，‎ 又因为AB∥CD，，‎ 所以EM∥AB且EM＝AB，‎ 故四边形ABEM为平行四边形， ‎ 所以BE∥AM，且BE⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，‎ 所以 BE∥平面PAD ‎ ‎（ 2）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），‎ 可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．‎ 由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）．‎ 向量，．设为平面PBD的法向量，‎ 则即 可得为平面PBD的一个法向量， 且 于是有＝， ‎ 所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 ‎ ‎（ 3）解：向量，，，．‎ 由点F在棱PC上，设，0≤λ≤1．（若，则）‎ 故＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）．‎ 由，得，‎ 因此2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）＝0，解得， （若，则）‎ 即．设为平面FAB的法向量，‎ 则，即，‎ 可得为平面的FAB一个法向量 ‎ 取平面ABP的法向量，‎ 则＝， ‎ 二面角F﹣AB﹣P是锐角，所以其余弦值为．‎ ‎ 21. ( 12分)已知椭圆的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在实数m使，若存在求出实数m的值；若不存在需说明理由．‎ ‎ 解：（1）根据题意，抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），‎ 则F（2，0），即c＝2，‎ 又椭圆的离心率为，即e＝，‎ 解可得，则a2＝6，则b2＝a2﹣c2＝2‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）由题意得直线l的方程为 由消去y得2x2﹣2mx+m2﹣6＝0．‎ 由△＝4m2﹣8（m2﹣6）＞0，解得．‎ 又m＞0，∴．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝m，．‎ 则．‎ 又由，，‎ 则 则由，即，‎ 解得m＝0或m＝3．又，∴m＝3．‎ 即存在m＝3使．‎ ‎22. ( 12分) 设函数（其中常数）.‎ ‎（1）已知函数在处取得极值，求的值及极值 。‎ ‎（2）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1），因为在处取得极值，所以，解得， ‎ 此时，‎ 或x＞2时，，为增函数；时，，为减函数；‎ 所以在处取得极大值，所以符合题意，且极大值为, 极大值为-‎ ‎（2），所以对任意都成立，所以，所以 ‎