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- 2021-06-15 发布
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第1讲 数学文化
一、选择题
1.“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.天干、地支互相配合,配成六十组为一周,周而复始,依次循环.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支.如:公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年,公元1986年为农历丙寅年.则2049年为农历( )
A.己亥年 B.己巳年
C.己卯年 D.戊辰年
解析:选B.法一:由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年,公元1986年为农历丙寅年,可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干,再将公元纪年除以12,用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支,这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”,因其除以12的余数为9,所以2049年对应的地支为“巳”,故2049年为农历己巳年.故选B.
法二:易知(年份-3)除以10所得的余数对应天干,则2 049-3=2 046,2 046除以10所得的余数是6,即对应的天干为“己”.
(年份-3)除以12所得的余数对应地支,则2 049-3=2 046,2 046除以12所得的余数是6,即对应的地支为“巳”,所以2049年为农历己巳年.故选B.
2.北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术,所谓隙积,即“积之有隙”者,如累棋、层坛之类,这种长方台形状的物体垛积.设隙积共n层,上底由a×b个物体组成,以下各层的长、宽依次增加一个物体,最下层(即下底)由c×d 个物体组成,沈括给出求隙积中物体总数的公式为s=[(2a+c)b+(2c+a)d]+(c-a),其中a是上底长,b是上底宽,c是下底长,d是下底宽,n为层数.已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示,则该隙积中所有小球的个数为( )
A.83 B.84
C.85 D.86
解析:选C.由三视图知,n=5,a=3,b=1,c=7,d=5,代入公式s=[(2a+c)b+(2c+a)d]+(c-a)得s=85,故选C.
3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其意思为:“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地.”若将此问题改为“第6天到达目的地”,则此人第二天至少走了( )
A.96里 B.48里
C.72里 D.24里
解析:选A.根据题意知,此人每天行走的路程构成了公比为的等比数列.设第一天走a1里,则第二天走a2=a1(里).易知≥378,则a1≥192.
则第二天至少走96里.故选A.
4.《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著,该书主要记述了:积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法.某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料,其中一人4种,其余两人每人5种,则不同的分配方法种数是( )
A. B.
C. D.CCC
解析:选A.先将14种计算方法分为三组,方法有种,再分配给3个人,方法有×A种.故选A.
5.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )
A.五寸 B.二尺五寸
C.三尺五寸 D.四尺五寸
解析:选B.设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an},公差为d,a1=15,a13=135,则15+12d=135,解得d=10.所以a2=15+10=25,所以小暑的晷长是25寸.故选B.
6.《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下问题:“今有勾五步,股一十二步,问勾中容圆,径几何?”其意思为:“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问其内切圆的直径为多少步?”现从该三角形内随机取一点,则此点取自内切圆的概率是( )
A. B.
C. D.
解析:选C.因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步,所以其斜边长为13步,设其内切圆的半径为r,则×5×12=(5+12+13)r,解得r=2.由几何概型的概率公式,得此点取自内切圆内的概率P==.故选C.
7.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
艮
001
1
坎
010
2
巽
011
3
依次类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号为“”,其表示的十进制数是( )
A.33 B.34
C.36 D.35
解析:选B.由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010,转化为十进制数为0×20+1×21+0×22+0×23+0×24+1×25=34.故选B.
8.《九章算术》中有如下问题:“今有卖牛二、羊五,以买一十三豕,有余钱一千;卖牛三、豕三,以买九羊,钱适足;卖六羊、八豕,以买五牛,钱不足六百,问牛、羊、豕价各几何?”依上文,设牛、羊、豕每头价格分别为x元、y元、z元,设计如图所示的程序框图,则输出的x,y,z的值分别是( )
A.,600, B.1 200,500,300
C.1 100,400,600 D.300,500,1 200
解析:选B.根据程序框图得:
①y=300,z=,x=,i=1,满足i<3;
②y=400,z=,x=,i=2,满足i<3;
③y=500,z=300,x=1 200,i=3,不满足i<3;
故输出的x=1 200,y=500,z=300.故选B.
9.(2019·洛阳市统考)如图所示,三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图,给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影),设直角三角形有一个内角为30°,若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计,取≈1.732),则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )
A.20 B.27
C.54 D.64
解析:选B.设大正方形的边长为2,则小正方形的边长为-1,
所以向弦图内随机投掷一颗米粒,落入小正方形(阴影)内的概率为=1-,向弦图内随机抛掷200颗米粒,落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1-)≈27,故选B.
10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
A. B.
C. D.
解析:选A.依题意,设圆锥的底面半径为r,则V=πr2h≈L2h=(2πr)2h,化简得π≈.故选A.
11.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之.亦倍下袤,上袤从之.各以其广乘之,并,以高乘之,六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘;将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为( )
A. B.
C.39 D.
解析:选B.设下底面的长为x,则下底面的宽为=9-x.由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积V=×3×[(3×2+x)×2+(2x+3)(9-x)]=-x2++,故当x=时,体积取得最大值,最大值为-+×+=.故选B.
12.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,如图所示,鳖臑ABCD中,AB⊥平面BCD,且BD⊥CD,AB=BD=CD,点P在棱AC上运动,设CP的长度为x,若△PBD
的面积为f(x),则函数y=f(x)的图象大致是( )
解析:选A.如图,作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R,连接PR,则PQ∥AB,QR∥CD.
因为PQ⊥BD,又PQ∩QR=Q,所以BD⊥平面PQR,所以BD⊥PR,即PR为△PBD中BD边上的高.
设AB=BD=CD=1,则==,即PQ=,
又===,所以QR=,
所以PR===,
所以f(x)==,故选A.
二、填空题
13.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为=n2+n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数 N(n,3)=n2+n;
正方形数 N(n,4)=n2;
五边形数 N(n,5)=n2-n;
六边形数 N(n,6)=2n2-n;
……
可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=________.
解析:易知n2前的系数为(k-2),而n前的系数为(4-k).
则N(n,k)=(k-2)n2+(4-k)n,
故N(10,24)=×(24-2)×102+×(4-24)×10=1 000.
答案:1 000
14. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”这句话描述的是一个数列问题,现用程序框图描述,如图所示,若输入某个正整数n后,输出的S∈,则输入的n的值为________.
解析:框图中首先给累加变量S赋值0,给循环变量k赋值1,
输入n的值后,执行循环体,S=,k=1+1=2.
若2>n不成立,执行循环体,S=,k=2+1=3.
若3>n不成立,执行循环体,S=,k=3+1=4.
若4>n不成立,执行循环体,S=,k=4+1=5.
若5>n不成立,执行循环体,S=,k=5+1=6.
若6>n不成立,执行循环体,S=,k=6+1=7.
…
由输出的S∈(,),可得当S=,k=6时,应该满足条件6>n,所以5≤n<6,故输入的正整数n的值为5.
答案:5
15.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长等?”意思是:“今有蒲草第1天长高3尺,莞草第1天长高1尺.以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍.问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第________天时,蒲草和莞草的高度相同.(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0).
解析:由题意得,蒲草的长度组成首项为a1=3,公比为的等比数列{an},设其前n项和为An;莞草的长度组成首项为b1=1,公比为2的等比数列{bn},设其前n项和为Bn.则An=,Bn=,令=,化简得2n+=7(n∈N*),解得2n=6,所以n==1+≈3,即第3天时蒲草和莞草长度相等.
答案:3
16.刘徽《九章算术注》记载:“邪解立方,得两堑堵.邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一,不易之率也.”意即把一长方体沿对角面一分为二,这相同的两块叫堑堵,沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积之比为定值2∶1,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为________.
解析:由三视图得阳马是一个四棱锥,如图中四棱锥PABCD,其中底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD且PA=1,所以PC=,PC是四棱锥PABCD的外接球的直径,所以此阳马的外接球的体积为3=.
答案: