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  • 2021-06-15 发布

高中数学必修5能力强化提升2-4第1课时

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‎2.4 等比数列 第1课时 等比数列的概念及通项公式 双基达标 (限时20分钟) ‎1.设等比数列的前三项依次为,,,则它的第四项是 (  ).‎ A.1 B. C. D. 解析 a4=a3q=a3·=×==30=1.‎ 答案 A ‎2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于 (  ).‎ A.64 B.81 C.128 D.243‎ 解析 由,得 ‎∴a7=a1q6=64,选A.‎ 答案 A ‎3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 (  ).‎ A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9‎ C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9‎ 解析 ∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,‎ ‎∴b=-3,且a,c必同号.‎ ‎∴ac=b2=9.‎ 答案 B ‎4.在等比数列{an}中,若2a4=a6-a5,则公比q是________.‎ 解析 法一 由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,即2=q2-q,‎ ‎∴q=-1或q=2.‎ 法二 ∵a5=a4q,a6=a4q2,‎ ‎∴由已知条件得2a4=a4q2-a4q,‎ 即2=q2-q,∴q=-1或q=2.‎ 答案 -1或2‎ ‎5.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=________.‎ 解析 由已知(a+1)2=(a-1)(a+4),‎ 得a=5,则a1=4,q==,an=4·n-1.‎ 答案 4·n-1‎ ‎6.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常数.‎ ‎(1)求a1及an;‎ ‎(2)若对于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.‎ 解 (1)由Sn=kn2+n,得a1=S1=k+1,‎ an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n≥2).‎ a1=k+1也满足上式,‎ 所以an=2kn-k+1,n∈N*.‎ ‎(2)由am,a2m,a4m成等比数列,‎ 得(4mk-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),‎ 将上式化简,得2km(k-1)=0,‎ 因为m∈N*,所以m≠0,故k=0或k=1.‎ 综合提高 (限时25分钟) ‎7.下列数列为等比数列的是 (  ).‎ A.2,22,222,…    B.,,,…‎ C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…    D.0,0,0,…‎ 解析 A项中,≠,∴A不是;B项是首项为,公比为的等比数列;C项中,当s=1时,数列为0,0,0,…,∴不是;D项显然不是.‎ 答案 B ‎8.设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则,,(  ).‎ A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 解析 可分别求得=,=1,×=1,由等比中项易得,,三者构成等比数列.‎ 答案 B ‎9.数列{an}中,a1=1且an+1=3an+2,则an=________.‎ 解析 由an+1=3an+2得an+1+1=3(an+1),‎ 令an+1=bn则bn+1=3bn且b1=a1+1=2,‎ ‎∴{bn}是以2为首项,以3为公比的等比数列,‎ ‎∴bn=2·3n-1,∴an=bn-1=2·3n-1-1.‎ 答案 2·3n-1-1‎ ‎10.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任何m,n∈N*,都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2,②f(m+1,1)=2f(m,1),给出以下三个结论:(1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26,其中正确的个数是________个.‎ 解析 ∵f(1,1)=1且f(m+1,1)=2f(m,1),‎ ‎∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列,‎ ‎∴f(5,1)=1·24=16,∴(2)正确;‎ 当m=1时,条件①变为f(1,n+1)=f(1,n)+2,‎ 又f(1,1)=1,‎ ‎∴数列{f(1,n)}是以1为首项,以2为公差的等差数列,‎ ‎∴f(1,5)=f(1,1)+4×2=9.故(1)正确.‎ ‎∵f(5,1)=16,f(5,n+1)=f(5,n)+2,‎ ‎∴{f(5,n)}也成等差数列.‎ ‎∴f(5,6)=16+(6-1)·2=26,‎ ‎∴(3)正确,故有3个正确.‎ 答案 3‎ ‎11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.‎ ‎(1)证明:数列{an+1}是等比数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明 法一 因为an+1=2an+1,‎ 所以an+1+1=2(an+1).‎ 由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.‎ 所以=2(n∈N*).‎ 所以数列{an+1}是等比数列.‎ 法二 ∵===2(n∈N*),‎ ‎∴数列{an+1}是等比数列.‎ ‎(2)解 由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.‎ 所以an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1.‎ ‎12.(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn,Sn与an满足关系Sn=2-an(n∈N*).‎ ‎(1)求an+1与an的关系式,并求a1的值;‎ ‎(2)证明:数列是等比数列,并求{an}的通项公式;‎ ‎(3)是否存在常数p使数列{an+1-pan}为等比数列?若存在,请求出常数p的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ (1)解 ∵Sn=2-an①‎ ‎∴Sn+1=2-an+1②‎ ‎②-①得an+1=an-an+1,‎ 即an+1=an,‎ 即an+1=an.而a1=2-a1,∴a1=.‎ ‎(2)证明 由(1)知=·,而=,‎ ‎∴是以为首项,以为公比的等比数列,‎ ‎∴=·n-1=n,∴an=.‎ ‎(3)解 ∵an+1-pan=-=.‎ 由等比数列的通项公式知若{an+1-pan}是等比数列,‎ 则1-2p=0,∴p=.‎

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