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- 2021-06-15 发布
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2.4 等比数列
第1课时 等比数列的概念及通项公式
双基达标 (限时20分钟)
1.设等比数列的前三项依次为,,,则它的第四项是 ( ).
A.1 B. C. D.
解析 a4=a3q=a3·=×==30=1.
答案 A
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于 ( ).
A.64 B.81 C.128 D.243
解析 由,得
∴a7=a1q6=64,选A.
答案 A
3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么 ( ).
A.b=3,ac=9 B.b=-3,ac=9
C.b=3,ac=-9 D.b=-3,ac=-9
解析 ∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号,
∴b=-3,且a,c必同号.
∴ac=b2=9.
答案 B
4.在等比数列{an}中,若2a4=a6-a5,则公比q是________.
解析 法一 由已知得2a1q3=a1q5-a1q4,即2=q2-q,
∴q=-1或q=2.
法二 ∵a5=a4q,a6=a4q2,
∴由已知条件得2a4=a4q2-a4q,
即2=q2-q,∴q=-1或q=2.
答案 -1或2
5.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=________.
解析 由已知(a+1)2=(a-1)(a+4),
得a=5,则a1=4,q==,an=4·n-1.
答案 4·n-1
6.设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=kn2+n,n∈N*,其中k是常数.
(1)求a1及an;
(2)若对于任意的m∈N*,am,a2m,a4m成等比数列,求k的值.
解 (1)由Sn=kn2+n,得a1=S1=k+1,
an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n≥2).
a1=k+1也满足上式,
所以an=2kn-k+1,n∈N*.
(2)由am,a2m,a4m成等比数列,
得(4mk-k+1)2=(2km-k+1)(8km-k+1),
将上式化简,得2km(k-1)=0,
因为m∈N*,所以m≠0,故k=0或k=1.
综合提高 (限时25分钟)
7.下列数列为等比数列的是 ( ).
A.2,22,222,… B.,,,…
C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,… D.0,0,0,…
解析 A项中,≠,∴A不是;B项是首项为,公比为的等比数列;C项中,当s=1时,数列为0,0,0,…,∴不是;D项显然不是.
答案 B
8.设x∈R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x],则,,( ).
A.是等差数列但不是等比数列
B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列
D.既不是等差数列也不是等比数列
解析 可分别求得=,=1,×=1,由等比中项易得,,三者构成等比数列.
答案 B
9.数列{an}中,a1=1且an+1=3an+2,则an=________.
解析 由an+1=3an+2得an+1+1=3(an+1),
令an+1=bn则bn+1=3bn且b1=a1+1=2,
∴{bn}是以2为首项,以3为公比的等比数列,
∴bn=2·3n-1,∴an=bn-1=2·3n-1-1.
答案 2·3n-1-1
10.已知f(1,1)=1,f(m,n)∈N*(m,n∈N*),且对任何m,n∈N*,都有:①f(m,n+1)=f(m,n)+2,②f(m+1,1)=2f(m,1),给出以下三个结论:(1)f(1,5)=9;(2)f(5,1)=16;(3)f(5,6)=26,其中正确的个数是________个.
解析 ∵f(1,1)=1且f(m+1,1)=2f(m,1),
∴数列{f(m,1)}构成以1为首项以2为公比的等比数列,
∴f(5,1)=1·24=16,∴(2)正确;
当m=1时,条件①变为f(1,n+1)=f(1,n)+2,
又f(1,1)=1,
∴数列{f(1,n)}是以1为首项,以2为公差的等差数列,
∴f(1,5)=f(1,1)+4×2=9.故(1)正确.
∵f(5,1)=16,f(5,n+1)=f(5,n)+2,
∴{f(5,n)}也成等差数列.
∴f(5,6)=16+(6-1)·2=26,
∴(3)正确,故有3个正确.
答案 3
11.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1.
(1)证明:数列{an+1}是等比数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 法一 因为an+1=2an+1,
所以an+1+1=2(an+1).
由a1=1,知a1+1≠0,从而an+1≠0.
所以=2(n∈N*).
所以数列{an+1}是等比数列.
法二 ∵===2(n∈N*),
∴数列{an+1}是等比数列.
(2)解 由(1)知{an+1}是以a1+1=2为首项,2为公比的等比数列.
所以an+1=2·2n-1=2n,即an=2n-1.
12.(创新拓展)已知数列{an}的前n项之和为Sn,Sn与an满足关系Sn=2-an(n∈N*).
(1)求an+1与an的关系式,并求a1的值;
(2)证明:数列是等比数列,并求{an}的通项公式;
(3)是否存在常数p使数列{an+1-pan}为等比数列?若存在,请求出常数p的值;若不存在,请说明理由.
(1)解 ∵Sn=2-an①
∴Sn+1=2-an+1②
②-①得an+1=an-an+1,
即an+1=an,
即an+1=an.而a1=2-a1,∴a1=.
(2)证明 由(1)知=·,而=,
∴是以为首项,以为公比的等比数列,
∴=·n-1=n,∴an=.
(3)解 ∵an+1-pan=-=.
由等比数列的通项公式知若{an+1-pan}是等比数列,
则1-2p=0,∴p=.