数学理卷·2018届福建省南平市高三上学期第一次综合质量检查（2月）（2018 11页

‎2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查试卷 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知为虚数单位，若复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.等差数列的前项和为，若为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.已知点是圆的内部任意一点，则点满足的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，则的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面枳，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（ ）（参考数据：，)‎ A．12 B．‎24 C．48 D．96‎ ‎7.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.直线与抛物线相交与两点，若(是坐标原点），则面积的最小值为（ ）‎ A．32 B．‎24 C．16 D．8‎ ‎9.若是自然对数的底数，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.已知函数满足，若函数与图像的交点为，则（ ）‎ A．10 B．‎20 C． D． ‎ ‎11.已知数列满足，则该数列的前23 项的和为（ ）‎ A．4194 B．‎4195 C．2046 D．2047‎ ‎12.已知，且，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.的展开式中含的系数为50，则的值为 ．‎ ‎14.已知，向量在向量上的投影为，则 ．‎ ‎15.已知实数满足，求的取值范围 ．‎ ‎16.在三棱锥中，,,与平面所成角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中,分别为角的对边，且.‎ ‎（1）若，求及；‎ ‎（2）若在线段上，且，求的长.‎ ‎18.如图，在三棱柱中，平面平面，，为的中点.‎ ‎（1）若，求证：平面；:‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎19.有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：‎ ‎（1）根据以上统计数据完成下面列联表，并回答是否有以上的把握认为 ‎ “桔柚直径与所在基地有关”？‎ ‎（2）求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)：‎ ‎（3）经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差，乙基地的500个桔柚直径的样本方差，，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.‎ 附：，.‎ 若，则.‎ ‎，.‎ ‎20.已知过点的椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）不过坐标原点的直线与椭圆交于两点(异于点，线段的中点为,直线的斜率为1.记直线的斜率分别为.问是否为定值?若为定值，请求出定值.若不为定值，请说明理由.‎ ‎21.已知定义在区间上的函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数).以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求圆的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设|与的交点为，求的面积.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查试卷 理科数学参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．‎ ‎（1）D （2）C （3）B （4）D （5）C （6）B ‎ ‎（7）D （8）C （9）A （10）D （11）A （12）A 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．‎ ‎（13） （14） （15） （16）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）解：（Ⅰ）∵，，，‎ 在△ABC中，由正弦定理， ………………（1分）‎ 得， ………………（2分）‎ 又，所以，则C为锐角，所以，………………（3分）‎ 则 ‎， ………………（5分）‎ 所以………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）设，则，又，，‎ 在△ABE中，由余弦定理得，……………（8分）‎ 即，解得（取正），………………（9分）‎ 则，,所以，………………（11分）‎ 在直角△ADE中，．………………（12分）‎ ‎（18）（Ⅰ）证明：因为BA=BC，E为AC的中点，所以BEAC，‎ 又平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，平面ABC，‎ 所以BE平面A1ACC1，………………2分 又A1C平面A1ACC1，所以BEA1C，又BC1A1C，BEBC1=B，‎ 所以A1C平面C1EB………………4分 ‎（Ⅱ）连接A1E，因为A‎1A=A‎1C，又E为AC的中点，‎ 所以A1EAC,‎ 又平面A1ACC1平面ABC，‎ 平面A1ACC1平面ABC=AC，A1E平面A1ACC1，‎ 所以A1E平面ABC，…………6分 以E点为原点，分别以射线EB，EC，EA1为 轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，‎ 设，则，‎ 所以，,，…………7分 设平面A1BC1的一个法向量 得 ，取得，…………9分 设平面C1EB的一个法向量为,‎ 得 ，取得，…………11分，‎ 故所求的二面角A1—BC1—E的余弦值为 …………12分 ‎（19）解：（Ⅰ）由以上统计数据填写列联表如下：‎ 甲基地 乙基地 合计 优质品 ‎420‎ ‎390‎ ‎810‎ 非优质品 ‎80‎ ‎110‎ ‎190‎ 合计 ‎500‎ ‎500‎ ‎1000‎ ‎ ‎ ‎……………（2分）‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以,有95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异”．……………（4分）‎ ‎（Ⅱ）甲基地水果的优质品率为，甲基地水果的优质品率为，‎ 所以，甲基地水果的优质品率较高，……………（5分）‎ 甲基地的500个桔柚直（6分）‎ ‎ ……………（8分）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直径…………（9分）‎ ‎，……（10分）‎ ‎……（11分）‎ 所以，估计甲基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为.…………（12分）‎ ‎（20）解: （Ⅰ）由题意得 ,解得,则椭圆的方程为……3分 ‎(Ⅱ)由题意可设直线方程为,令则.‎ 直线的斜率为,,‎ 即 (1) ………………5分 ‎ ‎ 则 代入(1)式得,‎ 因此, ………………8分 则 ‎,即为定值………………12分 ‎（21）解：（Ⅰ） ……………… 2分 ‎①当时,.即是上的增函数. ……………… 3 分 ‎②当时, ,令得,‎ 则的增区间为减区间为……………… 5分 ‎（Ⅱ）由不等式,恒成立,得不等式,‎ 恒成立. …………………… 6分 ‎①当时,由（Ⅰ）知是上的增函数,,即当时, 不等式,恒成立. ……………… 8分 ‎②当时,, .‎ 令,则.‎ 要使不等式,恒成立,‎ 只要.………………10分 令 ‎.‎ 是上的减函数,又,‎ ‎,则,即,解得,故 综合①, ②得,即的取值范围是 ……………12分 ‎（22）解:（Ⅰ）直线的直角坐标方程为……………………………2分 圆的普通方程为因为,所以 的极坐标方程为……………………………5分 ‎（Ⅱ）将代入,得,‎ 解得,故,即.………………8分 由于圆的半径为,所以的面积为…………………10分 ‎（23）解：（Ⅰ）‎ ‎ …………………………1分 ‎① 得 ，不合题意，舍去…………………2分 ② ‎ 得 ，……………3分 ③ ‎ 得 ，……………4分 综上不等式的解集为…………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则…………………7分 则，解得…………………9分即实数的取值范围是…………………10分