2021年成都市中考数学四边形翻折变换专题训练 8页

1 四边形翻折变换专题训练 例 1、（2019•河南一模）如图，已知正方形 ABCD，边长为 8，E 是 AB 边上的一点，连接 DE，将△DAE 沿 DE 所在直线折叠，使点 A 的对应点 A1 落在正方形的边 CD 或 BC 的垂直平分线上，则 AE 的长度 是 ． 练习：（2019•南陵县一模）在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝9，点 E 在 BC 上，CE＝4，点 F 是 AD 上的一 个动点，连接 BF，若将四边形 ABEF 沿 EF 折叠，点 A、B 分别落在点 A′、B'处，则当点 B 恰好落在 矩形 ABCD 的一边上时，AF 的长为 ． 例 2、（2019 春•禹州市期末）如图，正方形 ABCD 的边长是 18，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上一点，CF＝8，连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 A'，D'处，当点 D'落在 直线 BC 上时，线段 AE 的长为 ． 练习：（2019•许昌一模）如图，正方形 ABCD 的边长是 9，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上 一点，CF＝4，连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 A′，D′处，当点 D′ 落在直线 BC 上时，线段 AE 的长为 ． 例 3、（2019•商丘一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E，F 分别为边 AD，BC 上的一个动 点，连接 EF，以 EF 为对称轴折叠四边形 CDEF，得到四边形 MNFE，点 D，C 的对应点分别为 M，N， 当点 N 恰好落在 AB 的三等分点时，CF 的长为 ． 2 练习：（2015•河南）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE＝3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′ 的长为 ． 例 4、（2019 春•柘城县期中）如图，在矩形 ABCD 中，点 N 为边 BC 上不与 B、C 重合的一个动点，过点 N 作 MN⊥BC 交 AD 于点 M，交 BD 于点 E，以 MN 为对称轴折叠矩形 ABNM，点 A、B 的对应点分别 是 G、F，连接 EF、DF，若 AB＝6，BC＝8，当△DEF 为直角三角形时，CN 的长为 ． 练习：如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝8，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，将△CEF 沿 EF 翻折，点 C 的对应点为 M．若点 F 是 CD 的中点，点 E 在线段 BC 上运动，将△CEF 沿 EF 折叠，连接 BM，当△ BME 是直角三角形时，则 CE 的长为 ． B C A D M E F 例 5、如图，正方形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE＝2，EC＝1．把线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E 落在 直线 BC 上的点 F 处，连接 DF，则 tan∠CDF 的值是 ． 练习：（2019 秋•巴彦县期末）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 在 CD 上，CE＝1，将线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处，连接 DF，则 DF 的长为 ． 3 四边形翻折变换专题训练八参考答案 例 1、（2019•河南一模）如图，已知正方形 ABCD，边长为 8，E 是 AB 边上的一点，连接 DE，将△DAE 沿 DE 所在直线折叠，使点 A 的对应点 A1 落在正方形的边 CD 或 BC 的垂直平分线上，则 AE 的长度是 16﹣8 或 ． 解：分两种情况： ①当点 A 的对应点 A1 落在正方形的边 CD 的垂直平分线 MN 上时，如图 1 所示： 由折叠的性质得：∠DA1E＝∠A＝90°，A1D＝AD＝8， 则 MN⊥AB，MN⊥AB，DM＝ CD＝4，A1D＝AD＝8，∴∠DA1M＝30°，A1M＝ ＝4 ， ∴∠EA1N＝180°﹣30°﹣90°＝60°，A1N＝8﹣4 ，∴∠A1EN＝90°﹣60°＝30°， ∴AE＝A1E＝2A1N＝16﹣8 ； ②当点 A 的对应点 A1 落在正方形的边 BC 的垂直平分线 GH 上时，作 AP⊥AB 于 P，如图 2 所示： 则 DG＝A1P＝ AD＝4，A1D＝AD＝8，∠DA1E＝90°，AE＝A1E，∴DG＝ A1D，∴∠DA1G＝30°， ∴∠PA1E＝30°，∴AE＝A1E＝ ＝ ＝ ；综上所述，AE 的长为 16﹣8 或 ； 练习：（2019•南陵县一模）在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝9，点 E 在 BC 上，CE＝4，点 F 是 AD 上的一 个动点，连接 BF，若将四边形 ABEF 沿 EF 折叠，点 A、B 分别落在点 A′、B'处，则当点 B 恰好落在矩 形 ABCD 的一边上时，AF 的长为 3 或 ． 解：如图 1，当点 B'落在 AD 边上时，由折叠知，△BEF≌△B'EF，∴∠BFE＝∠B'FE， ∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BC，∴∠FEB＝∠B'EF，∴∠FEB＝∠BFE，∴BF＝BE， ∵BE＝BC﹣EC＝9﹣4＝5，∴BF＝5，在 Rt△ABF 中，AF＝ ＝ ＝3； 4 如图 2，当点 B'落在 CD 边上时，由折叠知，△BEF≌△B'EF，△ABF≌△A'B'F， ∴EB'＝EB＝5，A'B'＝AB＝CD＝4，∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠D＝∠C＝90°， 在 Rt△ECB'中，CB'＝ ＝ ＝3，∴DB'＝CD﹣CB'＝4﹣3＝1， 设 AF＝A'F＝x，在 Rt△FA'B'中，FB'2＝FA'2+A'B'2＝x2+42 ， 在 Rt△FDB'中，FB'2＝FD2+DB'2＝（9﹣x）2+12 ，∴x2+42 ＝（9﹣x）2+12 ，解得，x＝ ，∴AF＝ ； 故答案为：3 或 ． 例 2、（2019 春•禹州市期末）如图，正方形 ABCD 的边长是 18，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上一点，CF＝8，连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 A'，D'处，当点 D'落在 直线 BC 上时，线段 AE 的长为 4 或 16 ． 解：分两种情况：①当 D′落在线段 BC 上时，连接 ED、ED′、DD′，如图 1 所示： 由折叠可得，D，D'关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD'，∴DE＝D′E， ∵正方形 ABCD 的边长是 18，∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，∵CF＝8，∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝10， ∴CD′＝ ＝6，∴BD'＝BC﹣CD'＝12， 设 AE＝x，则 BE＝18﹣x，在 Rt△AED 和 Rt△BED'中，由勾股定理得： DE2 ＝AD2+AE2 ＝182+x2 ，D'E2 ＝BE2+BD'2＝（18﹣x）2+122 ， ∴182+x2 ＝（18﹣x）2+122 ，解得：x＝4，即 AE＝4； ②当 D′落在线段 BC 延长线上时，连接 ED、ED′、DD′，如图 2 所示： 由折叠可得，D，D'关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD'，∴DE＝D′E， ∵正方形 ABCD 的边长是 18，∴AB＝BC＝CD＝AD＝18，∵CF＝8， ∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝10，CD'＝ ＝6，∴BD'＝BC+CD'＝24， 设 AE＝x，则 BE＝18﹣x，在 Rt△AED 和 Rt△BED'中，由勾股定理得： DE2 ＝AD2+AE2 ＝182+x2 ，D'E2 ＝BE2+BD'2＝（18﹣x）2+242 ， ∴182+x2 ＝（18﹣x）2+242 ，解得：x＝16，即 AE＝16； 综上所述，线段 AE 的长为 4 或 16；故答案为：4 或 16． 5 练习： （2019•许昌一模）如图，正方形 ABCD 的边长是 9，点 E 是 AB 边上的一个动点，点 F 是 CD 边上一点， CF＝4，连接 EF，把正方形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A，D 分别落在点 A′，D′处，当点 D′落在直 线 BC 上时，线段 AE 的长为 2 或 8 ． 解：分两种情况：①当 D′落在线段 BC 上时，连接 ED、ED′、DD′，如图 1 所示： 由折叠可得，D，D'关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD'，∴DE＝D′E， ∵正方形 ABCD 的边长是 9，∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，∵CF＝4，∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5， ∴CD′＝ ＝3，∴BD'＝BC﹣CD'＝6，设 AE＝x，则 BE＝9﹣x，在 Rt△AED 和 Rt△BED' 中，由勾股定理得：DE2 ＝AD2+AE2 ＝92+x2 ，D'E2 ＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+62 ， ∴92+x2 ＝（9﹣x）2+62 ，解得：x＝2，即 AE＝2； ②当 D′落在线段 BC 延长线上时，连接 ED、ED′、DD′，如图 2 所示： 由折叠可得，D，D'关于 EF 对称，即 EF 垂直平分 DD'，∴DE＝D′E， ∵正方形 ABCD 的边长是 9，∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，∵CF＝4， ∴DF＝D′F＝CD﹣CF＝9﹣4＝5，CD′＝ ＝3，∴BD'＝BC+CD'＝12， 设 AE＝x，则 BE＝9﹣x，在 Rt△AED 和 Rt△BED'中， 由勾股定理得：DE2 ＝AD2+AE2 ＝92+x2 ，D'E2 ＝BE2+BD'2＝（9﹣x）2+122 ， ∴92+x2 ＝（9﹣x）2+122 ，解得：x＝8，即 AE＝8；综上所述，线段 AE 的长为 2 或 8； 例 3、（2019•商丘一模）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E，F 分别为边 AD，BC 上的一个动 点，连接 EF，以 EF 为对称轴折叠四边形 CDEF，得到四边形 MNFE，点 D，C 的对应点分别为 M，N， 当点 N 恰好落在 AB 的三等分点时，CF 的长为 5 或 ． D C F BA M E N 6 解：由翻折知，CF＝NF，设 CF＝NF＝x，∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠B＝90°， （1）当 AN＝ AB＝2 时，在 Rt△NBF 中，NF＝x，BF＝BC﹣CF＝8﹣x，BN＝AB﹣AN＝4， ∵NF2 ＝NB2+BF2 ，∴x2 ＝42+（8﹣x）2 ，解得，x＝5，∴CF＝5； （2）当 AN＝ AB＝4 时，在 Rt△NBF 中，NF＝x，BF＝BC﹣CF＝8﹣x，BN＝AB﹣AN＝2， ∵NF2 ＝NB2+BF2 ，∴x2 ＝22+（8﹣x）2 ，解得，x＝ ，∴CF＝ ；故答案为 5 或 ． 练习：（2015•河南）如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE＝3，点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则 DB′ 的长为 16 或 4 ． 解：（i）当 B′D＝B′C 时，过 B′点作 GH∥AD，则∠B′GE＝90°， 当 B′C＝B′D 时，AG＝DH＝ DC＝8，由 AE＝3，AB＝16，得 BE＝13． 由翻折的性质，得 B′E＝BE＝13．∴EG＝AG﹣AE＝8﹣3＝5， ∴B′G＝ ＝ ＝12，∴B′H＝GH﹣B′G＝16﹣12＝4， ∴DB′＝ ＝ ＝4 （ii）当 DB′＝CD 时，则 DB′＝16（易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合）． （iii）当 CB′＝CD 时，则 CB＝CB′，由翻折的性质，得 EB＝EB′，∴点 E、C 在 BB′的垂直平分 线上，∴EC 垂直平分 BB′，由折叠，得 EF 也是线段 BB′的垂直平分线，∴点 F 与点 C 重合，这与 已知“点 F 是边 BC 上不与点 B，C 重合的一个动点”不符，故此种情况不存在，应舍去． 综上所述，DB′的长为 16 或 4 ． 例 4、（2019 春•柘城县期中）如图，在矩形 ABCD 中，点 N 为边 BC 上不与 B、C 重合的一个动点，过点 N 作 MN⊥BC 交 AD 于点 M，交 BD 于点 E，以 MN 为对称轴折叠矩形 ABNM，点 A、B 的对应点分别 是 G、F，连接 EF、DF，若 AB＝6，BC＝8，当△DEF 为直角三角形时，CN 的长为 或 ． 7 解：矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，∴BD＝ ＝10， 由折叠得：BE＝EF，BN＝NF，∠EBF＝∠EFB，∠BEN＝∠FEN， 当△DEF 为直角三角形时， （1）当∠DEF＝90°，则∠BEN＝∠FEN＝45°，不合题意； （2）当∠EFD＝90°时，如图 1 所示：∵∠EFN+∠DFC＝90°，∠DFC+∠CDF＝90°， ∴∠EFN＝∠CDF＝∠EBN，∵tan∠DBC＝ ＝ ＝tan∠CDF＝ 设 CN＝x，则 BN＝NF＝8﹣x，FC＝x﹣（8﹣x）＝2x﹣8，∴ ＝ ，解得：x＝ ，即 CN＝ ． （3）当∠EDF＝90°时，如图 2 所示： 易证△BDC∽△DFC，∴CD2 ＝BC•CF，设 CN＝x，则 BN＝NF＝8﹣x，FC＝（8﹣x）﹣x＝8﹣2x， ∴62 ＝8（8﹣2x）解得：x＝ ，即 CN＝ ，综上所述，CN 的长为 或 ． 练习：如图，矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝8，点 E，F 分别在 BC，CD 边上，将△CEF 沿 EF 翻折，点 C 的对应点为 M．若点 F 是 CD 的中点，点 E 在线段 BC 上运动，将△CEF 沿 EF 折叠，连接 BM，当△ BME 是直角三角形时，则 CE 的长为 ． B C A D M E F 解：（1）如图 2，当∠BME＝90°时，∵∠EMF＝90°，∴∠BMF＝180°，∴B、M、F 在同一直线上． ∵F 是 BC 的中点，∴CF＝DF＝ CD＝2．∵△EFC 与△EFM 关于直线 EF 对称， ∴△EFC≌△EFM，∴MF＝CF＝2，EC＝EM．在 Rt△BCF 中，由勾股定理得 BF＝2 ． ∴BM＝2 ﹣2．设 EC＝EM＝x，则 BE＝8﹣x，在 Rt△BME 中，由勾股定理得 （8﹣x）2 ﹣x2 ＝（2 ﹣2）2 ，解得：x＝ ．∴CE＝ ； （2）如图 3，当∠BEM＝90°时，∴∠MEC＝90°，∵△EFC 与△EFM 关于直线 EF 对称， ∴△EFC≌△EFM，∴∠EMF＝∠C＝90°，CF＝FM＝2，∴四边形 ECFM 是正方形， ∴MF＝CE＝2．∴CE＝2 或 ． 8 例 5、如图，正方形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE＝2，EC＝1．把线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E 落在 直线 BC 上的点 F 处，连接 DF，则 tan∠CDF 的值是 或 ． 解：当 F 点在 BC 上，如图 1，∵DE＝2，EC＝1，∴CD＝3，即正方形的边长为 3， ∵线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处，∴AE＝AF， 在 Rt△ABF 和△ADE 中， ，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴BF＝DE＝2， ∴CF＝BC﹣BF＝3﹣2＝1，在 Rt△CDF 中，tan∠CDF＝ ＝ ； 当 F 点在 CB 的延长线上，如图 2，同理可得 BF＝DE＝2，则 CF＝BF+BC＝2+3＝5， 在 Rt△CDF 中，tan∠CDF＝ ＝ ，综上所述，tan∠CDF 的值为 或 ． 练习：（2019 秋•巴彦县期末）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 在 CD 上，CE＝1，将线段 AE 绕点 A 旋转，使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处，连接 DF，则 DF 的长为 或 ． 解：（1）当点 F 落在边 BC 上时，如图，∵四边形 ABCD 为正方形，∴AB＝AD＝4，∠ABF＝∠D＝90°， ∵CE＝1，∴DE＝3，∵线段 AE 绕点 A 旋转后使点 E 落在直线 BC 上的点 F 处，∴AF＝AE， 在 Rt△ABF 和 Rt△ADE 中∵ ，∴Rt△ABF≌Rt△ADE（HL），∴BF＝DE＝CD﹣CE＝3， ∴CF＝BC﹣BF＝4﹣3＝1，∴DF＝ ＝ ＝ （2）当点 F 落在 BC 的延长线上的点 F′时，如图，同样可证明 Rt△ABF′≌Rt△ADE，∴BF′＝DE＝3， ∴CF＝BC+BF′＝4+3＝7，∴DF＝ ＝ ＝ ， 故答案为： 或 ；