2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题04 函数与导数（练）（解析版） 9页

专题04 函数与导数 ‎1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】所以切线的斜率，则曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．‎ ‎2．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(-e，-1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标.设点，则.又，当时，，则曲线在点A处的切线为 ‎，即，将点代入，得，‎ 即，考察函数，当时，，当时，，且，当时，单调递增，注意到，‎ 故存在唯一的实数根，此时，故点的坐标为.‎ ‎【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．‎ ‎3．【2019年高考北京理数】设函数(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a=________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取 值范围.若函数为奇函数，则即，‎ 即对任意的恒成立，则，得.若函数 是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.‎ ‎【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.‎ ‎4.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，为的导数．证明：‎ ‎(1)在区间存在唯一极大值点；(2)有且仅有2个零点．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)见解析.‎ ‎【解析】(1)设，则，.‎ 当时，单调递减，而，可得在有唯一零点，‎ 设为.则当时，；当时，.所以在单调 递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，即在存在唯一极大值点.‎ ‎(2)的定义域为.‎ ‎(i)当时，由(1)知，在单调递增，而，所以当 时，，故在单调递减，又，从而是在的唯一零点.‎ ‎(ii)当时，由(1)知，在单调递增，在单调递减，而，，所以存在，使得，且当时，；当 时，.故在单调递增，在单调递减.又，，所以当时，.从而，在没有零点.‎ ‎(iii)当时，，所以在单调递减.而，，所以 在有唯一零点.‎ ‎(iv)当时，，所以<0，从而在没有零点.‎ 综上，有且仅有2个零点.‎ ‎【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.‎ ‎1、已知函数f(x)＝，g(x)＝x3－‎3a2x－‎2a(a≥1)，是否存在实数a，使得对任意x1∈[0,1]及x2∈[0,1]，都有|f(x1)－g(x2)|<1成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由。‎ 解析：假设存在实数a能满足题意。由题意可知，f′(x)＝。令f′(x)＝0，解得x＝或(舍去)。因为f(0)＝－，f＝－4，f(1)＝－3，所以[f(x)]min＝－4，[f(x)]max＝－3。又因为g′(x)＝3(x2－a2)，所以，当x∈[0,1]时，g′(x)≤0，g(x)在[0,1]上单调递减，[g(x)]min＝g(1)＝1－‎2a－‎3a2，[g(x)]max＝g(0)＝－‎2a。又|f(x1)－g(x2)|<1对任意x1∈[0,1]及x2∈[0,1]恒成立⇔g(x2)－10解得0