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- 2021-06-15 发布
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甘肃省兰州市2019-2020年兰大附中高一上学期数学期中试卷
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案写在答题卡上.
1.已知实数集,集合,集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数的定义域求得集合,根据交集的概念和运算求得的值.
【详解】由题意得,故.
故选:C.
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法,考查集合交集的概念和运算,属于基础题.
2.在区间上增函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】在区间上是增函数,没有增区间,与在上递减,在上递增,故选A
3.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的解法即可得出.
【详解】∵
∴
解得:,即不等式的解集为
故选:A
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,属于基础题,易错点是忘记把二次项系数化“+”.
4.下列函数中,值域为的是()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出每一个选项的函数的值域即得解.
【详解】对于选项A,函数的值域为,所以该选项不符;
对于选项B,函数的值域为R,所以该选项不符;
对于选项C,函数的值域为,所以该选项不符;
对于选项D, 函数的值域为[0,1],所以该选项符合.
故选:D
【点睛】本题主要考查函数值域的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5.下列各组函数中,表示同一个函数的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】D
【解析】
【分析】
根据同一函数的要求,定义域相同,对应法则相同,分别对四个选项进行判断,得到答案.
【详解】表示同一个函数,要求两个函数的定义域相同,对应法则相同,
选项中,定义域为,定义域为,故不是同一函数,
选项中,定义域为,定义域为,故不是同一函数,
选项中,和对应法则不同,故不是同一函数,
选项中,和定义域相同,都是,化简后,对应法则也相同,故是同一函数,
故选项.
【点睛】本题考查对两个函数是否是同一函数的判断,属于简单题.
6.已知函数定义域为,则函数的定义域为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求得定义域,根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.
【详解】定义域为 ,即定义域为
由题意得:,解得:或
定义域为:
本题正确选项:
【点睛】本题考查函数定义域的求解问题,关键是能够通过复合函数定义域确定定义域,从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.
7.已知定义在上的奇函数和偶函数,则( )
A. 是奇函数 B. 是奇函数
C. 是偶函数 D. 是偶函数
【答案】D
【解析】
【分析】
逐个选项去判断是否是奇函数或者偶函数。
【详解】A.若f(x)=x,g(x)=2,满足条件,则f(x)+g(x)不奇函数,故A错误,
B.|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误,
C.f(-x)•g(-x)=-f(x)•g(x),则函数是奇函数,故C错误,
D.f(|-x|)•g(-x)=f(|x|)•g(x),则f(|x|)•g(x)是偶函数,故D正确
故选:D.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断,结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键.
8.已知函数,若,则的值( )
A. 3 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程,由此解得的值.
【详解】由,得(舍);由, ,得;由得(舍);综上
故选:C.
【点睛】本小题主要考查根据分段函数的函数值求对应的自变量,属于基础题.
9.我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征,如函数的图象大致是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
代入特殊值和后排除选项,得到正确答案.
【详解】当时,,排除B,D,当时,,排除A,只有C符合条件,
故选C.
【点睛】本题考查了由解析式判断函数图象,根据图象需分析函数的定义域和奇偶性,特殊值的正负,以及是否过定点等函数的性质,从而排除选项,本题意在考查分析和解决问题的能力.
10.
设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(﹣2),f(3),f(﹣π)的大小顺序是( )
A. f(3)>f(﹣2)>f(﹣π)
B. f(﹣π)>f(﹣2)>f(3)
C. f(﹣2)>f(3)>f(﹣π)
D. f(﹣π)>f(3)>f(﹣2)
【答案】D
【解析】
因为f(x)是R上的偶函数,所以 ,因为 在[0,+∞)上单调递增,所以 ,所以 。故选D。
11.若二次函数对任意的,且,都有,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知可知,在上单调递减,结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解.
【详解】∵二次函数对任意的,且,都有,
∴在上单调递减,
∵对称轴,
∴,解可得,故选A.
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用,解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化,属于中档题.
12.已知在上单调递减,则实数a的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知,在各自的区间上均应是减函数,且当时,应有,求解即可.
【详解】由已知,在上单减,
∴,①
在上单调递减, ∴,解得②
且当时,应有,
即,∴ ③,
由①②③得,的取值范围是,故选B.
【点睛】本题考查分段函数的单调性,严格根据定义解答,本题保证随的增大而减小.特别注意的最小值大于等于的最大值,属于中档题.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案写在答题卡的横线上.
13.设集合,,若A=B,则______
【答案】2
【解析】
分析】
首先根据两集合相等,列出对应的方程组,求出参数的值之后再验证是否满足集合中元素的互异性,对所求的值进行相应的取舍,最后求得结果.
【详解】因为,若,
则或,解得或,
当时,不成立,
当时,,满足条件,
所以,故选C.
【点睛】该题考查的是有关利用集合相等,求参数的值的问题,在解题的过程中,需要明确两集合相等的条件是两个集合中元素是完全相同的,得到相应的方程组,求出结果之后需要对所求结果进行验证,是否满足元素的互异性,从而求得结果.
14.函数的单调递减区间为_____.
【答案】(﹣∞,﹣3].
【解析】
由题意得 ,即单调递减区间为(﹣∞,﹣3].
点睛:1.复合函数单调性的规则
若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则它们的复合函数为减函数.即“同增异减”.
2.函数单调性的性质
(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数,更进一步,即增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减;
(2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;
(3)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≠0)与y=-f(x),y=单调性相反;
(4)在公共定义域内,函数y=f(x)(f(x)≥0)与y=单调性相同;
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反.
15.的解集为______
【答案】
【解析】
【分析】
将原不等式两边平方转化为一元二次不等式,由此求得原不等式的解集.
【详解】不等式左右两边平方可得,化简得:,解得.
故答案为:.
【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.
16.已知奇函数在上单调递减,且,则不等式的解集________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,由奇函数的性质可得f(﹣3)=0,结合函数的单调性分析可得f(x)>0与f(x)<0的解集,又由(x﹣1)f(x)>0⇒或,分析可得x的取值范围,即可得答案.
【详解】根据题意,f(x)为奇函数且f(3)=0,则f(﹣3)=0,
又由f(x)在(﹣∞,0)上单调递减,则在(﹣∞,﹣3)上,f(x)>0,在(﹣3,0)上,f(x)<0,
又由f(x)为奇函数,则在(0,3)上,f(x)>0,在(3,+∞)上,f(x)<0,
则f(x)<0的解集为(﹣3,0)∪(3,+∞),f(x)>0的解集为(﹣∞,﹣3)∪(0,3);
(x﹣1)f(x)>0⇒或,
分析可得:﹣1<x<0或1<x<3,
故不等式的解集为(﹣3,0)∪(1,3);
故答案为(﹣3,0)∪(1,3);
【点睛】本题函数的奇偶性与单调性的综合应用,关键是分析f(x)>0与f(x)<0的解集,属于基础题
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.,
若,求;
若,求实数的取值范围.
【答案】;
【解析】
【分析】
(1)解分式不等式求得集合,由此求得.
(2)根据(1)中求得的集合,以及列不等式组,解不等式组求得的取值范围.
【详解】由得;当时,;从而
由于,
当时,,即时,满足.
当时,得无解.
综上所述,实数的取值范围为.
【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法,考查集合交集的概念和运算,考查根据并集的结果求参数的取值范围.
18.已知函数 为奇函数.
(1)求的值;
(2)用定义证明:函数在区间上是减函数.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)利用此奇函数的必要条件,求的值;(2)利用单调性定义证明函数在区间上是减函数.
试题解析:
(1)∵函数为定义在上的奇函数,
(2)由(1)可得,下面证明函数在区间(1,+∞)上是减函数.
证明设,
则有,
因为,所以 , , ,
,
即,所以函数在区间(1,+∞)上是减函数.
点睛:证明函数单调性的一般步骤:(1)取值:在定义域上任取,并且(或);(2)作差:,并将此式变形(要注意变形到能判断整个式子符号为止);(3)定号:判断
的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论;(4)下结论:根据定义得出其单调性.
19.已知函数是定义域为的奇函数,当时,.
(1)写出函数的解析式;
(2)若方程恰有3个不同的解,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】
【分析】
(1)设,先求,再根据函数为奇函数,即可求出(2)作出函数的图象,根据数形结合即可求出.
【详解】(1)当 时, ,
函数是奇函数,
,
.
(2)作出函数图象,如图所示,
根据图象,若方程恰有3个不同的解,则,即实数的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了利用奇函数求函数解析式,数形结合求参数取值范围,属于中档题.
20.
求的值域;
求的单调增区间;
求的对称轴.
【答案】; ;
【解析】
【分析】
利用零点分段法将表示为分段函数的形式.
(1)根据的解析式,求得的值域.
(2)根据的解析式,求得的增区间为
(3)结合对称性,根据求得函数的对称轴.
【详解】当时,;当时,;当时,;故.
当时,;当时,;从而的值域为
由可知,的增区间为
由于和斜率互为相反数,而,故的对称轴为.
【点睛】本小题主要考查用分段函数表示含有绝对值函数,考查分段函数单调性和值域,考查分段函数的对称性,属于基础题.
21.已知函数.
(Ⅰ)求实数的取值范围,使在区间上是单调函数;
(Ⅱ)当时,求的单调区间.
【答案】(Ⅰ)或;(Ⅱ)增区间为,减区间为.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)函数的对称轴方程为,要使在区间上是单调函数,易得关于的不等式,从而求出实数的取值范围;(Ⅱ)把代入函数,去掉绝对值化为分段函数,再结合函数图象求得的单调区间.
试题解析:(Ⅰ)由数形结合分析知或
∴或
(Ⅱ)当时,
结合函数图象分析知,增区间为
减区间为
考点:1、二次函数的单调性;2、分段函数.
【此处有视频,请去附件查看】
22.已知定义在上的函数满足:当时,且对任意都有
(1)求的值,并证明是上的单调增函数.
(2)若解关于的不等式
【答案】(1),证明详见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)令,代入即可解出的值。利用函数单调性的定义证明利用等式化简判断正负即可。
(2)依次计算出将等价变形为
,即,再利用单调性等价变形为
,解出即可。
【详解】(1)令
任取则
则可得证:是上的单调增函数.
(2)
或,
【点睛】本题考查隐函数的单调性,利用单调性解不等式,属于中档题。