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  • 2021-06-15 发布

2017-2018学年河北省邯郸市高二上学期期中数学试题(理科)(解析版)

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‎2017-2018学年河北省邯郸市高二(上)期中数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|(x+2)(3﹣x)>0},B={x|y=lgx},则A∩B=(  )‎ A.(0,3) B.[0,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞)‎ ‎2.(5分)已知命题p:∀x<0,x+≤﹣2,则¬p是(  )‎ A.∀x<0,x+>﹣2 B.∀x≥0,x+>﹣2‎ C.∃x0<0,x0>﹣2 D.∃x0≥0,x0>﹣2‎ ‎3.(5分)设数列{an}满足an=3an﹣1(n≥2),且a1=3,则a20=(  )‎ A.317 B.318 C.319 D.320‎ ‎4.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2c,cosC=,则sinA=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(5分)若a=2x2+1,b=x2+2x,c=﹣x﹣3,则(  )‎ A.a≥b>c B.a≥c≥b C.b>a>c D.b≥a>c ‎6.(5分)已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点,且M经过点(1,﹣),则M的方程为(  )‎ A. B.‎ C.=1 D.=1‎ ‎7.(5分)若公差为d的等差数列{an}满足an=(3a﹣1)n2+2an,则d=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)已知F是椭圆C:‎ 的左焦点,P为C上的一点,A(﹣1,2),则|PA|+|PF|的最大值为(  )‎ A.5 B.9 C.6 D.10‎ ‎9.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,则“a3>5”是“S3+S9>93”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎10.(5分)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n(2n﹣1)an,且a1=1,则Sn=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°.若此小船不改变航行的方向继续前行海里,则离小岛C的距离为(  )‎ A.海里 B.海里 C.海里 D.海里 ‎12.(5分)已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)设x,y满足约束条件 ‎,则z=4x﹣y的最小值为   .‎ ‎14.(5分)若椭圆C:=1(m>0)的离心率为,则其长轴长为   .‎ ‎15.(5分)在△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,A+C=2B,bsinA=6sinB,若符合条件的三角形有两解,则b的取值范围是   .‎ ‎16.(5分)设Sn为正项数列{an}的前n项和,a1=1,an+1(Sn+Sn+1)=n,则S16=   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.(10分)求分别满足下列条件的椭圆的标准方程:‎ ‎(1)焦点在y轴上,焦距为8,且经过点A(﹣1,3);‎ ‎(2)焦点在x轴上,短轴长为8,离心率为.‎ ‎18.(12分)已知p:∃x∈R,m≥﹣cos2x+2sinx+3;q:∀x∈R,函数f(x)=lg(mx2﹣mx+1)有意义.‎ ‎(1)若p∨q为真,求m的取值范围;‎ ‎(2)若(¬p)∧q为真,求m的取值范围.‎ ‎19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=3bcosA.‎ ‎(1)求A的大小;‎ ‎(2)若a=7,b=5,求△ABC的面积.‎ ‎20.(12分)用硬纸做一个体积为80cm3,高为4cm的长方形无盖纸盒,这个纸盒的长,宽各为多少时,表面积最小?并求出最小值.‎ ‎21.(12分)已知数列{an}满足a1=2,an=2﹣(n≥2),记bn=.‎ ‎(1)证明:数列{bn}为等差数列;‎ ‎(2)求数列{anan+1+an+an+1+1}的前n项和Sn.‎ ‎22.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0),圆O:x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)经过原点的直线l(不与坐标轴重合)交椭圆于A,B两点,AM⊥x轴于点M,连接BM并延长交椭圆C于N,证明:以线段BN为直径的圆经过点A.‎ ‎ ‎ ‎2017-2018学年河北省邯郸市高二(上)期中数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.(5分)已知集合A={x|(x+2)(3﹣x)>0},B={x|y=lgx},则A∩B=(  )‎ A.(0,3) B.[0,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞)‎ ‎【分析】化简集合A、B,根据交集的定义写出A∩B.‎ ‎【解答】解:集合A={x|(x+2)(3﹣x)>0}={x|(x+2)(x﹣3)<0}={x|﹣2<x<3}=(﹣2,3),‎ B={x|y=lgx}={x|x>0}=(0,+∞),‎ 则A∩B=(0,3).‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)已知命题p:∀x<0,x+≤﹣2,则¬p是(  )‎ A.∀x<0,x+>﹣2 B.∀x≥0,x+>﹣2‎ C.∃x0<0,x0>﹣2 D.∃x0≥0,x0>﹣2‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.‎ ‎【解答】解:命题为全称命题,则命题的否定是特称命题,‎ 则¬p是∃x0<0,x0>﹣2,‎ 故选:C ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)设数列{an}满足an=3an﹣1(n≥2),且a1=3,则a20=(  )‎ A.317 B.318 C.319 D.320‎ ‎【分析】先求出等比数列的通项公式即可求出答案 ‎【解答】解:数列{an}满足an=3an﹣1(n≥2),且a1=3,‎ ‎∴{an}设一3为首项,以3为公比的等比数列,‎ ‎∴an=3n,‎ ‎∴a20=320,‎ 故选:D ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题 ‎ ‎ ‎4.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2c,cosC=,则sinA=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换,求出sinC的值,进一步利用正弦定理求出结果.‎ ‎【解答】解:由于:,‎ 则:=,‎ 又a=2c,‎ 利用正弦定理:,‎ 解得:,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理的应用.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)若a=2x2+1,b=x2+2x,c=﹣x﹣3,则(  )‎ A.a≥b>c B.a≥c≥b C.b>a>c D.b≥a>c ‎【分析】作差判断差的符号,可得a≥b,且b>c,综合可得答案.‎ ‎【解答】解:∵a=2x2+1,b=x2+2x,c=﹣x﹣3,‎ ‎∴a﹣b=(2x2+1)﹣(x2+2x)=x2﹣2x+1=(x﹣1)2≥0,即a≥b,‎ b﹣c=(x2+2x)﹣(﹣x﹣3)=x2+3x+3=(x+)2+>0,即b>c,‎ 综上可得:a≥b>c,‎ 故选:A ‎【点评】本题考查的知识点是不等式与不等关系,作差法比较不等式的大小,难度中档.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点,且M经过点(1,﹣),则M的方程为(  )‎ A. B.‎ C.=1 D.=1‎ ‎【分析】求出椭圆x2=1在长轴上的顶点;设椭圆M的焦点坐标,利用椭圆经过的点,求解椭圆方程即可.‎ ‎【解答】解:椭圆x2=1在长轴上的顶点(0,±2).所求椭圆的焦点坐标为:(0,±2),‎ 设椭圆M的方程为:(m>n>0),‎ 由题意可得,m2﹣n2=4,,解得:m2=6,n2=2,‎ 即有椭圆M的方程为:.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质,注意求出椭圆的基本元素,考查方程的思想的运用,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)若公差为d的等差数列{an}满足an=(3a﹣1)n2+2an,则d=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由公差为d的等差数列{an}满足an=(3a﹣1)n2+2an,依次求出前3项,由2a2=a1+a3,求出a=,由此能求出d.‎ ‎【解答】解:∵公差为d的等差数列{an}满足an=(3a﹣1)n2+2an,‎ ‎∴a1=3a﹣1+2a=5a﹣1,‎ a2=(3a﹣1)×4+2a×2=16a﹣4,‎ a3=(3a﹣1)×9+2a×3=33a﹣9,‎ ‎∵a1,a2,a3成等差数列,‎ ‎∴2a2=a1+a3,即2(16a﹣4)=(5a﹣1)+(33a﹣9),‎ 解得a=,‎ ‎∴d=a2﹣a1=(3a﹣1)×4+4a﹣(3a﹣1+2a)=11a﹣3==.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)已知F是椭圆C:的左焦点,P为C上的一点,A(﹣1,2),则|PA|+|PF|的最大值为(  )‎ A.5 B.9 C.6 D.10‎ ‎【分析】涉及|PF|时,一般可以想到椭圆的定义,所以设该椭圆的右焦点为F′,则:|PF|+|PF′|=6,所以|PA|+|PF|=6+|PA|﹣|PF′|‎ ‎.这时候可以作出图形,根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|,这样即可求得|PA|﹣|PF′|的最大值,从而求出|PA|+|PF|的最大值.‎ ‎【解答】解:F是椭圆C:的左焦点,如图,设椭圆的右焦点为F′,则|PF|+|PF′|=6;F′(2,0),|PF′|==,‎ ‎∴|PA|+|PF|=|PA|+6﹣|PF′|=6+|PA|﹣|PF′|;‎ 由图形知,当P在直线AF′上时,||PA|﹣|PF′||=|AF′|=,‎ ‎∴|PA|+|PF|的最大值为6+,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】考查椭圆的标准方程,椭圆的焦点,以及椭圆的定义,以及三角形两边之差小于第三边,及数形结合求最值.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,则“a3>5”是“S3+S9>93”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及等差数列的性质判断即可.‎ ‎【解答】解:设公差是d,若a2=1,a3>5,则d>3,‎ 故S3+S9=3a2+9(a2+3d)=12+27d>12+27×3=12+81=93,充分性成立,‎ 反之,令a3=4.5,也能推出S3+S9>93,故S3+S9>93时,推不出a3>5,必要性不成立,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件,考查等差数列,是一道中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n(2n﹣1)an,且a1=1,则Sn=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】Sn=n(2n﹣1)an,n≥2时,Sn﹣1=(n﹣1)(2n﹣3)an﹣1,可得an=n(2n﹣1)an﹣(n﹣1)(2n﹣3)an﹣1,化为:=.利用“累乘求积”即可得出.‎ ‎【解答】解:∵Sn=n(2n﹣1)an,n≥2时,Sn﹣1=(n﹣1)(2n﹣3)an﹣1,‎ ‎∴an=n(2n﹣1)an﹣(n﹣1)(2n﹣3)an﹣1,‎ 化为:=.‎ ‎∴an=•…•••×1‎ ‎=.‎ ‎∴Sn=n(2n﹣1)•=,n=1时也成立.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°.若此小船不改变航行的方向继续前行海里,则离小岛C的距离为(  )‎ A.海里 B.海里 C.海里 D.海里 ‎【分析】利用正弦定理计算AC,再利用余弦定理计算距离.‎ ‎【解答】解:在△ABC中,AB=8,∠BAC=30°,∠ABC=105°,‎ ‎∴∠ACB=45°,‎ 由正弦定理得:,即,‎ 解得AC=4+4,‎ 设小船继续航行2(﹣1)海里到达D处,则AD=2+6,‎ 在△ACD中,由余弦定理得:CD2=(4+4)2+(2+6)2﹣2(4+4)(2+6)×=16+8,‎ ‎∴CD==2(+1).‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了解三角形的应用,正余弦定理,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F2‎ ‎,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】取椭圆的左焦点为F1,连接AF1,依题意可得.△F1AF2∽△MOF2,⇒,由⇒‎ 即可求解.‎ ‎【解答】解:如图,取椭圆的左焦点为F1,连接AF1,‎ 依题意:|OA|=|OF2|=2|OM|=c,可得.‎ ‎△F1AF2∽△MOF2,⇒==,‎ ‎∵AF1+AF2=2a,∴.‎ 由⇒‎ ‎,∴.‎ 则椭圆C的离心率为:,‎ 故选:D ‎【点评】本题考查椭圆的离心率,考查椭圆定义的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)设x,y满足约束条件,则z=4x﹣y的最小值为 ﹣1 .‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:作出x,y满足约束条件,对应的平面区域如图:‎ 由z=4x﹣y得y=4x﹣z,‎ 平移直线y=4x﹣z,‎ 由图象可知当直线y=4x﹣z经过点A时,此时z最小,‎ 由,解得A(1,5),此时z=4×1﹣5=﹣1,‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)若椭圆C:=1(m>0)的离心率为,则其长轴长为  .‎ ‎【分析】利用椭圆的离心率求出m,然后求解椭圆的长轴长即可.‎ ‎【解答】解:椭圆C:=1(m>0)的离心率为,‎ 可得:,解得m=2,‎ 椭圆长轴长为:2=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)在△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,A+C=2B,bsinA=6sinB,若符合条件的三角形有两解,则b的取值范围是  .‎ ‎【分析】直接利用三角形内角和定理的应用求出B的值,进一步利用正弦定理求出a的值,进一步利用三角形解的情况求出b的范围.‎ ‎【解答】解:△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,A+C=2B,‎ 则:A+B+C=180°,‎ 解得:B=60°,‎ 由于:bsinA=6sinB,‎ 则:,‎ 解得:a=6.‎ 若符合条件的三角形有两解,‎ 则:a>b≥asinB,‎ 即:,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:三角形内角和定理的应用,正弦定理的应用,三角形解的情况的应用.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)设Sn为正项数列{an}的前n项和,a1=1,an+1(Sn+Sn+1)=n,则S16= 11 .‎ ‎【分析】an+1(Sn+Sn+1)=n,可得(Sn+1﹣Sn)(Sn+Sn+1)=n,可得﹣=n,利用累加求和即可得出.‎ ‎【解答】解:∵an+1(Sn+Sn+1)=n,‎ ‎∴(Sn+1﹣Sn)(Sn+Sn+1)=n,‎ ‎∴﹣=n,‎ ‎∴=(n﹣1)+(n﹣2)+…+1+12=+1.‎ 则=+1=121,S16>0.‎ ‎∴S16=11.‎ 故答案为:11.‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式及求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.(10分)求分别满足下列条件的椭圆的标准方程:‎ ‎(1)焦点在y轴上,焦距为8,且经过点A(﹣1,3);‎ ‎(2)焦点在x轴上,短轴长为8,离心率为.‎ ‎【分析】(1)根据题意,分析可得要求椭圆的焦点为(0,4)和(0,﹣4),结合椭圆经过点的坐标可得2a=+=6,结合椭圆的几何性质可得b的值,将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案;‎ ‎(2)根据题意,分析可得要求椭圆中b=4,由离心率公式变形可得e2===1﹣=,解可得a2的值,将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,要求椭圆的焦点在y轴上,且焦距为8,即c=4,‎ 则椭圆的焦点为(0,4)和(0,﹣4),‎ 又由椭圆经过点A(﹣1,3),‎ 则2a=+=6,则a=3,‎ 又由c=4,‎ 则b2=a2﹣c2=2,‎ 则要求椭圆的方程为+=1;‎ ‎(2)根据题意,要求椭圆的短轴长为8,即2b=8,则b=4,‎ 离心率为,则有e2===1﹣=,‎ 解可得a2=25;‎ 则要求椭圆的方程为:+=1.‎ ‎【点评】本题考查椭圆标准方程的求法,要先确定椭圆的焦点位置,不能确定要进行分类讨论.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)已知p:∃x∈R,m≥﹣cos2x+2sinx+3;q:∀x∈R,函数f(x)=lg(mx2﹣mx+1)有意义.‎ ‎(1)若p∨q为真,求m的取值范围;‎ ‎(2)若(¬p)∧q为真,求m的取值范围.‎ ‎【分析】分别求出p,q为真时的m的范围,(1)求出p,q的并集即可;(2)判断出p假q真,得到关于m的不等式组,解出即可.‎ ‎【解答】解:令g(x)=﹣cos2x+2sinx+3=(sinx+1)2+1,显然g(x)≥1,‎ 故p为真时,m≥1;‎ m=0时,f(x)=lg1有意义,‎ m≠0时,只需,解得:0<m<4,‎ 故q为真时,0≤m<4,‎ ‎(1)若p∨q为真,则m≥0;‎ ‎(2)若(¬p)∧q为真,‎ 则p假q真,则,‎ 故m∈[0,1].‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的判断,考查三角函数以及对数函数的性质,是一道中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=3bcosA.‎ ‎(1)求A的大小;‎ ‎(2)若a=7,b=5,求△ABC的面积.‎ ‎【分析】(1)直接利用正弦定理求出A的值.‎ ‎(2)利用(1)的结论和同角三角函数的关系式求出sinC的值,进一步利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果.‎ ‎【解答】解:(1)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=3bcosA,‎ 利用正弦定理:sinAsinB=3sinBcosA,‎ 解得:tanA=3,‎ 则:A=arctan3.‎ ‎(2)由tanA=3,解得:sinA=,cosA=,‎ 由于:a=7,b=5,‎ 利用正弦定理:,‎ 解得:sinB=,‎ 则:cosB=,‎ 所以:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.‎ 所以:=.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:正弦定理的应用,三角函数关系式的恒等变换,三角形面积公式的应用.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)用硬纸做一个体积为80cm3,高为4cm的长方形无盖纸盒,这个纸盒的长,宽各为多少时,表面积最小?并求出最小值.‎ ‎【分析】首先利用长方体的体积公式求出xy=20,进一步利用表面积公式和均值不等式求出结果.‎ ‎【解答】解:硬纸做一个体积为80cm3,高为4cm的长方形无盖纸盒,‎ 设这个纸盒的长,宽各为x和y时,‎ 则:4xy=80,‎ 解得:xy=20.‎ 则表面积S=xy+2(4x+4y)≥20+32,‎ 当且仅当x=y=2时表面积的最小值为20+32.‎ ‎【点评】本题考查的知识要点:长方体面积和体积公式的应用,均值不等式的应用.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知数列{an}满足a1=2,an=2﹣(n≥2),记bn=.‎ ‎(1)证明:数列{bn}为等差数列;‎ ‎(2)求数列{anan+1+an+an+1+1}的前n项和Sn.‎ ‎【分析】(1)根据题意,对an=2﹣变形分析可得=+,又由bn=可得bn=bn﹣1+,由等差数列的定义分析可得答案;‎ ‎(2)由(1)的结论可得bn=,即=,变形可得an=﹣1,代入anan+1+an+an+1+1中化简可得anan+1+an+an+1+1=9(﹣),由裂项相消法计算可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,数列{an}满足an=2﹣,‎ 则有an+1=3﹣=,‎ 变形可得=+,‎ 由于bn=,‎ 即bn=bn﹣1+,‎ b1==,‎ 数列{bn}为等差数列,其首项为,公差为;‎ ‎(2)有(1)可得:bn=,即=,‎ 则an=﹣1,‎ 则anan+1+an+an+1+1=(﹣1)(﹣1)+(﹣1)+(﹣1)+1==9(﹣);‎ 则Sn=9(1)+9(﹣)+9(﹣)+…+9(﹣)=9(1﹣)=.‎ ‎【点评】本题考查数列的求和以及数列的递推公式的应用,关键是对an=2﹣正确变形.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0),圆O:x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)经过原点的直线l(不与坐标轴重合)交椭圆于A,B两点,AM⊥x轴于点M,连接BM并延长交椭圆C于N,证明:以线段BN为直径的圆经过点A.‎ ‎【分析】(1)根据圆O:x2+y2=4(O为坐标原点)经过椭圆C:=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,可得b,c,a,‎ ‎(2)设直线AB的方程为:y=kx,设A(x1,y1),B(﹣x1,﹣y1),则M(x1,0),k=,kBM==‎ 可设直线BN方程为:y=,联立椭圆方程,可得N的坐标,只需求得 即可证明以线段BN为直径的圆经过点A.‎ ‎【解答】解:(1)∵圆O:x2+y2=4(O为坐标原点)‎ 经过椭圆C:=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,‎ ‎∴b=2,c=2,则a2=b2+c2=8.‎ ‎∴椭圆C的标准方程为:.‎ ‎(2)证明:设直线AB的方程为:y=kx,‎ 设A(x1,y1),B(﹣x1,﹣y1),则M(x1,0),k=‎ ‎∴kBM==‎ ‎∴可设直线BN方程为:y=‎ 由得,‎ xB+xN=﹣x1+xN=⇒xN=,‎ yN==,‎ ‎∴,‎ ‎∴=﹣+k2x12==0.‎ ‎∴AB⊥AN,即以线段BN为直径的圆经过点A.‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.‎ ‎ ‎

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