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- 2021-06-15 发布
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2017-2018学年河北省邯郸市高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)已知集合A={x|(x+2)(3﹣x)>0},B={x|y=lgx},则A∩B=( )
A.(0,3) B.[0,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞)
2.(5分)已知命题p:∀x<0,x+≤﹣2,则¬p是( )
A.∀x<0,x+>﹣2 B.∀x≥0,x+>﹣2
C.∃x0<0,x0>﹣2 D.∃x0≥0,x0>﹣2
3.(5分)设数列{an}满足an=3an﹣1(n≥2),且a1=3,则a20=( )
A.317 B.318 C.319 D.320
4.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2c,cosC=,则sinA=( )
A. B. C. D.
5.(5分)若a=2x2+1,b=x2+2x,c=﹣x﹣3,则( )
A.a≥b>c B.a≥c≥b C.b>a>c D.b≥a>c
6.(5分)已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点,且M经过点(1,﹣),则M的方程为( )
A. B.
C.=1 D.=1
7.(5分)若公差为d的等差数列{an}满足an=(3a﹣1)n2+2an,则d=( )
A. B. C. D.
8.(5分)已知F是椭圆C:
的左焦点,P为C上的一点,A(﹣1,2),则|PA|+|PF|的最大值为( )
A.5 B.9 C.6 D.10
9.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,则“a3>5”是“S3+S9>93”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.(5分)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n(2n﹣1)an,且a1=1,则Sn=( )
A. B. C. D.
11.(5分)如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°.若此小船不改变航行的方向继续前行海里,则离小岛C的距离为( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
12.(5分)已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F2,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(5分)设x,y满足约束条件
,则z=4x﹣y的最小值为 .
14.(5分)若椭圆C:=1(m>0)的离心率为,则其长轴长为 .
15.(5分)在△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,A+C=2B,bsinA=6sinB,若符合条件的三角形有两解,则b的取值范围是 .
16.(5分)设Sn为正项数列{an}的前n项和,a1=1,an+1(Sn+Sn+1)=n,则S16= .
三、解答题(共6小题,满分70分)
17.(10分)求分别满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,焦距为8,且经过点A(﹣1,3);
(2)焦点在x轴上,短轴长为8,离心率为.
18.(12分)已知p:∃x∈R,m≥﹣cos2x+2sinx+3;q:∀x∈R,函数f(x)=lg(mx2﹣mx+1)有意义.
(1)若p∨q为真,求m的取值范围;
(2)若(¬p)∧q为真,求m的取值范围.
19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=3bcosA.
(1)求A的大小;
(2)若a=7,b=5,求△ABC的面积.
20.(12分)用硬纸做一个体积为80cm3,高为4cm的长方形无盖纸盒,这个纸盒的长,宽各为多少时,表面积最小?并求出最小值.
21.(12分)已知数列{an}满足a1=2,an=2﹣(n≥2),记bn=.
(1)证明:数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{anan+1+an+an+1+1}的前n项和Sn.
22.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0),圆O:x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)经过原点的直线l(不与坐标轴重合)交椭圆于A,B两点,AM⊥x轴于点M,连接BM并延长交椭圆C于N,证明:以线段BN为直径的圆经过点A.
2017-2018学年河北省邯郸市高二(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)
1.(5分)已知集合A={x|(x+2)(3﹣x)>0},B={x|y=lgx},则A∩B=( )
A.(0,3) B.[0,3) C.(3,+∞) D.(0,+∞)
【分析】化简集合A、B,根据交集的定义写出A∩B.
【解答】解:集合A={x|(x+2)(3﹣x)>0}={x|(x+2)(x﹣3)<0}={x|﹣2<x<3}=(﹣2,3),
B={x|y=lgx}={x|x>0}=(0,+∞),
则A∩B=(0,3).
故选:A.
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题,是基础题.
2.(5分)已知命题p:∀x<0,x+≤﹣2,则¬p是( )
A.∀x<0,x+>﹣2 B.∀x≥0,x+>﹣2
C.∃x0<0,x0>﹣2 D.∃x0≥0,x0>﹣2
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【解答】解:命题为全称命题,则命题的否定是特称命题,
则¬p是∃x0<0,x0>﹣2,
故选:C
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键.
3.(5分)设数列{an}满足an=3an﹣1(n≥2),且a1=3,则a20=( )
A.317 B.318 C.319 D.320
【分析】先求出等比数列的通项公式即可求出答案
【解答】解:数列{an}满足an=3an﹣1(n≥2),且a1=3,
∴{an}设一3为首项,以3为公比的等比数列,
∴an=3n,
∴a20=320,
故选:D
【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题
4.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2c,cosC=,则sinA=( )
A. B. C. D.
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换,求出sinC的值,进一步利用正弦定理求出结果.
【解答】解:由于:,
则:=,
又a=2c,
利用正弦定理:,
解得:,
故选:D.
【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理的应用.
5.(5分)若a=2x2+1,b=x2+2x,c=﹣x﹣3,则( )
A.a≥b>c B.a≥c≥b C.b>a>c D.b≥a>c
【分析】作差判断差的符号,可得a≥b,且b>c,综合可得答案.
【解答】解:∵a=2x2+1,b=x2+2x,c=﹣x﹣3,
∴a﹣b=(2x2+1)﹣(x2+2x)=x2﹣2x+1=(x﹣1)2≥0,即a≥b,
b﹣c=(x2+2x)﹣(﹣x﹣3)=x2+3x+3=(x+)2+>0,即b>c,
综上可得:a≥b>c,
故选:A
【点评】本题考查的知识点是不等式与不等关系,作差法比较不等式的大小,难度中档.
6.(5分)已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点,且M经过点(1,﹣),则M的方程为( )
A. B.
C.=1 D.=1
【分析】求出椭圆x2=1在长轴上的顶点;设椭圆M的焦点坐标,利用椭圆经过的点,求解椭圆方程即可.
【解答】解:椭圆x2=1在长轴上的顶点(0,±2).所求椭圆的焦点坐标为:(0,±2),
设椭圆M的方程为:(m>n>0),
由题意可得,m2﹣n2=4,,解得:m2=6,n2=2,
即有椭圆M的方程为:.
故选:B.
【点评】本题考查椭圆的方程和性质,注意求出椭圆的基本元素,考查方程的思想的运用,属于基础题.
7.(5分)若公差为d的等差数列{an}满足an=(3a﹣1)n2+2an,则d=( )
A. B. C. D.
【分析】由公差为d的等差数列{an}满足an=(3a﹣1)n2+2an,依次求出前3项,由2a2=a1+a3,求出a=,由此能求出d.
【解答】解:∵公差为d的等差数列{an}满足an=(3a﹣1)n2+2an,
∴a1=3a﹣1+2a=5a﹣1,
a2=(3a﹣1)×4+2a×2=16a﹣4,
a3=(3a﹣1)×9+2a×3=33a﹣9,
∵a1,a2,a3成等差数列,
∴2a2=a1+a3,即2(16a﹣4)=(5a﹣1)+(33a﹣9),
解得a=,
∴d=a2﹣a1=(3a﹣1)×4+4a﹣(3a﹣1+2a)=11a﹣3==.
故选:B.
【点评】本题考查等差数列的公差的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.
8.(5分)已知F是椭圆C:的左焦点,P为C上的一点,A(﹣1,2),则|PA|+|PF|的最大值为( )
A.5 B.9 C.6 D.10
【分析】涉及|PF|时,一般可以想到椭圆的定义,所以设该椭圆的右焦点为F′,则:|PF|+|PF′|=6,所以|PA|+|PF|=6+|PA|﹣|PF′|
.这时候可以作出图形,根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|,这样即可求得|PA|﹣|PF′|的最大值,从而求出|PA|+|PF|的最大值.
【解答】解:F是椭圆C:的左焦点,如图,设椭圆的右焦点为F′,则|PF|+|PF′|=6;F′(2,0),|PF′|==,
∴|PA|+|PF|=|PA|+6﹣|PF′|=6+|PA|﹣|PF′|;
由图形知,当P在直线AF′上时,||PA|﹣|PF′||=|AF′|=,
∴|PA|+|PF|的最大值为6+,
故选:C.
【点评】考查椭圆的标准方程,椭圆的焦点,以及椭圆的定义,以及三角形两边之差小于第三边,及数形结合求最值.
9.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=1,则“a3>5”是“S3+S9>93”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义以及等差数列的性质判断即可.
【解答】解:设公差是d,若a2=1,a3>5,则d>3,
故S3+S9=3a2+9(a2+3d)=12+27d>12+27×3=12+81=93,充分性成立,
反之,令a3=4.5,也能推出S3+S9>93,故S3+S9>93时,推不出a3>5,必要性不成立,
故选:A.
【点评】本题考查了充分必要条件,考查等差数列,是一道中档题.
10.(5分)设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n(2n﹣1)an,且a1=1,则Sn=( )
A. B. C. D.
【分析】Sn=n(2n﹣1)an,n≥2时,Sn﹣1=(n﹣1)(2n﹣3)an﹣1,可得an=n(2n﹣1)an﹣(n﹣1)(2n﹣3)an﹣1,化为:=.利用“累乘求积”即可得出.
【解答】解:∵Sn=n(2n﹣1)an,n≥2时,Sn﹣1=(n﹣1)(2n﹣3)an﹣1,
∴an=n(2n﹣1)an﹣(n﹣1)(2n﹣3)an﹣1,
化为:=.
∴an=•…•••×1
=.
∴Sn=n(2n﹣1)•=,n=1时也成立.
故选:C.
【点评】本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
11.(5分)如图,海中有一小岛C,一小船从A地出发由西向东航行,望见小岛C在北偏东60°,航行8海里到达B处,望见小岛C在北偏东15°.若此小船不改变航行的方向继续前行海里,则离小岛C的距离为( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
【分析】利用正弦定理计算AC,再利用余弦定理计算距离.
【解答】解:在△ABC中,AB=8,∠BAC=30°,∠ABC=105°,
∴∠ACB=45°,
由正弦定理得:,即,
解得AC=4+4,
设小船继续航行2(﹣1)海里到达D处,则AD=2+6,
在△ACD中,由余弦定理得:CD2=(4+4)2+(2+6)2﹣2(4+4)(2+6)×=16+8,
∴CD==2(+1).
故选C.
【点评】本题考查了解三角形的应用,正余弦定理,属于中档题.
12.(5分)已知椭圆C:(a>b>0)的右焦点为F2
,O为坐标原点,M为y轴上一点,点A是直线MF2与椭圆C的一个交点,且|OA|=|OF2|=2|OM|,则椭圆C的离心率为( )
A. B. C. D.
【分析】取椭圆的左焦点为F1,连接AF1,依题意可得.△F1AF2∽△MOF2,⇒,由⇒
即可求解.
【解答】解:如图,取椭圆的左焦点为F1,连接AF1,
依题意:|OA|=|OF2|=2|OM|=c,可得.
△F1AF2∽△MOF2,⇒==,
∵AF1+AF2=2a,∴.
由⇒
,∴.
则椭圆C的离心率为:,
故选:D
【点评】本题考查椭圆的离心率,考查椭圆定义的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)
13.(5分)设x,y满足约束条件,则z=4x﹣y的最小值为 ﹣1 .
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可得到结论.
【解答】解:作出x,y满足约束条件,对应的平面区域如图:
由z=4x﹣y得y=4x﹣z,
平移直线y=4x﹣z,
由图象可知当直线y=4x﹣z经过点A时,此时z最小,
由,解得A(1,5),此时z=4×1﹣5=﹣1,
故答案为:﹣1.
【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.
14.(5分)若椭圆C:=1(m>0)的离心率为,则其长轴长为 .
【分析】利用椭圆的离心率求出m,然后求解椭圆的长轴长即可.
【解答】解:椭圆C:=1(m>0)的离心率为,
可得:,解得m=2,
椭圆长轴长为:2=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
15.(5分)在△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,A+C=2B,bsinA=6sinB,若符合条件的三角形有两解,则b的取值范围是 .
【分析】直接利用三角形内角和定理的应用求出B的值,进一步利用正弦定理求出a的值,进一步利用三角形解的情况求出b的范围.
【解答】解:△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,A+C=2B,
则:A+B+C=180°,
解得:B=60°,
由于:bsinA=6sinB,
则:,
解得:a=6.
若符合条件的三角形有两解,
则:a>b≥asinB,
即:,
故答案为:.
【点评】本题考查的知识要点:三角形内角和定理的应用,正弦定理的应用,三角形解的情况的应用.
16.(5分)设Sn为正项数列{an}的前n项和,a1=1,an+1(Sn+Sn+1)=n,则S16= 11 .
【分析】an+1(Sn+Sn+1)=n,可得(Sn+1﹣Sn)(Sn+Sn+1)=n,可得﹣=n,利用累加求和即可得出.
【解答】解:∵an+1(Sn+Sn+1)=n,
∴(Sn+1﹣Sn)(Sn+Sn+1)=n,
∴﹣=n,
∴=(n﹣1)+(n﹣2)+…+1+12=+1.
则=+1=121,S16>0.
∴S16=11.
故答案为:11.
【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式及求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、解答题(共6小题,满分70分)
17.(10分)求分别满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1)焦点在y轴上,焦距为8,且经过点A(﹣1,3);
(2)焦点在x轴上,短轴长为8,离心率为.
【分析】(1)根据题意,分析可得要求椭圆的焦点为(0,4)和(0,﹣4),结合椭圆经过点的坐标可得2a=+=6,结合椭圆的几何性质可得b的值,将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案;
(2)根据题意,分析可得要求椭圆中b=4,由离心率公式变形可得e2===1﹣=,解可得a2的值,将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案.
【解答】解:(1)根据题意,要求椭圆的焦点在y轴上,且焦距为8,即c=4,
则椭圆的焦点为(0,4)和(0,﹣4),
又由椭圆经过点A(﹣1,3),
则2a=+=6,则a=3,
又由c=4,
则b2=a2﹣c2=2,
则要求椭圆的方程为+=1;
(2)根据题意,要求椭圆的短轴长为8,即2b=8,则b=4,
离心率为,则有e2===1﹣=,
解可得a2=25;
则要求椭圆的方程为:+=1.
【点评】本题考查椭圆标准方程的求法,要先确定椭圆的焦点位置,不能确定要进行分类讨论.
18.(12分)已知p:∃x∈R,m≥﹣cos2x+2sinx+3;q:∀x∈R,函数f(x)=lg(mx2﹣mx+1)有意义.
(1)若p∨q为真,求m的取值范围;
(2)若(¬p)∧q为真,求m的取值范围.
【分析】分别求出p,q为真时的m的范围,(1)求出p,q的并集即可;(2)判断出p假q真,得到关于m的不等式组,解出即可.
【解答】解:令g(x)=﹣cos2x+2sinx+3=(sinx+1)2+1,显然g(x)≥1,
故p为真时,m≥1;
m=0时,f(x)=lg1有意义,
m≠0时,只需,解得:0<m<4,
故q为真时,0≤m<4,
(1)若p∨q为真,则m≥0;
(2)若(¬p)∧q为真,
则p假q真,则,
故m∈[0,1].
【点评】本题考查了复合命题的判断,考查三角函数以及对数函数的性质,是一道中档题.
19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=3bcosA.
(1)求A的大小;
(2)若a=7,b=5,求△ABC的面积.
【分析】(1)直接利用正弦定理求出A的值.
(2)利用(1)的结论和同角三角函数的关系式求出sinC的值,进一步利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果.
【解答】解:(1)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=3bcosA,
利用正弦定理:sinAsinB=3sinBcosA,
解得:tanA=3,
则:A=arctan3.
(2)由tanA=3,解得:sinA=,cosA=,
由于:a=7,b=5,
利用正弦定理:,
解得:sinB=,
则:cosB=,
所以:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=.
所以:=.
【点评】本题考查的知识要点:正弦定理的应用,三角函数关系式的恒等变换,三角形面积公式的应用.
20.(12分)用硬纸做一个体积为80cm3,高为4cm的长方形无盖纸盒,这个纸盒的长,宽各为多少时,表面积最小?并求出最小值.
【分析】首先利用长方体的体积公式求出xy=20,进一步利用表面积公式和均值不等式求出结果.
【解答】解:硬纸做一个体积为80cm3,高为4cm的长方形无盖纸盒,
设这个纸盒的长,宽各为x和y时,
则:4xy=80,
解得:xy=20.
则表面积S=xy+2(4x+4y)≥20+32,
当且仅当x=y=2时表面积的最小值为20+32.
【点评】本题考查的知识要点:长方体面积和体积公式的应用,均值不等式的应用.
21.(12分)已知数列{an}满足a1=2,an=2﹣(n≥2),记bn=.
(1)证明:数列{bn}为等差数列;
(2)求数列{anan+1+an+an+1+1}的前n项和Sn.
【分析】(1)根据题意,对an=2﹣变形分析可得=+,又由bn=可得bn=bn﹣1+,由等差数列的定义分析可得答案;
(2)由(1)的结论可得bn=,即=,变形可得an=﹣1,代入anan+1+an+an+1+1中化简可得anan+1+an+an+1+1=9(﹣),由裂项相消法计算可得答案.
【解答】解:(1)根据题意,数列{an}满足an=2﹣,
则有an+1=3﹣=,
变形可得=+,
由于bn=,
即bn=bn﹣1+,
b1==,
数列{bn}为等差数列,其首项为,公差为;
(2)有(1)可得:bn=,即=,
则an=﹣1,
则anan+1+an+an+1+1=(﹣1)(﹣1)+(﹣1)+(﹣1)+1==9(﹣);
则Sn=9(1)+9(﹣)+9(﹣)+…+9(﹣)=9(1﹣)=.
【点评】本题考查数列的求和以及数列的递推公式的应用,关键是对an=2﹣正确变形.
22.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0),圆O:x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)经过原点的直线l(不与坐标轴重合)交椭圆于A,B两点,AM⊥x轴于点M,连接BM并延长交椭圆C于N,证明:以线段BN为直径的圆经过点A.
【分析】(1)根据圆O:x2+y2=4(O为坐标原点)经过椭圆C:=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,可得b,c,a,
(2)设直线AB的方程为:y=kx,设A(x1,y1),B(﹣x1,﹣y1),则M(x1,0),k=,kBM==
可设直线BN方程为:y=,联立椭圆方程,可得N的坐标,只需求得
即可证明以线段BN为直径的圆经过点A.
【解答】解:(1)∵圆O:x2+y2=4(O为坐标原点)
经过椭圆C:=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,
∴b=2,c=2,则a2=b2+c2=8.
∴椭圆C的标准方程为:.
(2)证明:设直线AB的方程为:y=kx,
设A(x1,y1),B(﹣x1,﹣y1),则M(x1,0),k=
∴kBM==
∴可设直线BN方程为:y=
由得,
xB+xN=﹣x1+xN=⇒xN=,
yN==,
∴,
∴=﹣+k2x12==0.
∴AB⊥AN,即以线段BN为直径的圆经过点A.
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.