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- 2021-06-15 发布
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2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练
一、选择题
1.已知数列满足, 是等差数列,则数列的前10项的和
A. 220 B. 110 C. 99 D. 55
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为,则,将已知值和等量关系代入,计算得,所以,所以,故选B.
2. 已知函数在上单调,且函数的图象关于对称,若数列是公差不为0的等差数列,且,则的前100项的和为
A. B. C. D.
【答案】B
3. 在数列中, , ,如果是1与的等比中项,那么
的值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意, , ,所以,即,由得, ,…, ,所以, ,故选C.
4. 定义为个正数的“均倒数”.若数列的“均倒数”, ,则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得数列的“均倒数” ,可得,则,所以,又,所以=,故选B.
5. 各项均为正数的等差数列中,前项和为,当时,有
,则
A. B. C. D.
【答案】A
6. 设为等差数列的前n项的和, ,则数列的前2017项和为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ,
, ,则数列 的前 项和为
,故选A.
7. 已知递增数列对任意均满足,记 ,则数列的前项和等于
A. B. C. D.
【答案】D
8. 如图所示,矩形的一边在轴上,另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为,记矩形的周长为,则( )
A. 220 B. 216 C. 212 D. 208
【答案】B
【解析】由题意, 在函数的图象上,若点坐标为的纵坐标为的横坐标为,所以矩形的一条边长为,另一条边长为,所以矩形的周长为
, ,故选B.
9. 数列满足,且对任意,数列的前项和为,则的整数部分是
A. B. C. D.
【答案】B
10. 已知数列满足为大于2的正整数),且,设的前n项和为,则
A. -17 B. -15 C. -6 D. 0
【答案】B
【解析】 因为,且,所以,所以, 所以,故选B.
11. 已知函数,且,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】,,, ,…,所以, ,所以.故选A.
12. 数列满足,则数列的前100项和为
A. 5050 B. 5100 C. 9800 D. 9850
【答案】B
二、填空题
13. 已知数列满足,且对任意的正整数,当时,都有,则的值是__________.
【答案】
【解析】由题意可得, , 得,又, ,即,原式可化为当m+n=p+q时,即为等差列, , =
=2019,填2019.
14. 在数列中, ,记是数列的前项和,则__________.
【答案】
15. 已知数列的首项为,且,若,则数列的前项和__________.
【答案】
【解析】因为,故,取对数可得,故,故是以1为首项,2为公比的等比数列,故,故,则,因为,故两边取倒数可得,故数列的前项和
16. 观察如下规律:
,该组数据的前2025项和为__________.
【答案】45
【解析】项数N=1+3+5+…+2n-1==2025,n=45,相同数凑成一组和为1,共45个1,所以,填45.
三、解答题
17. 已知数列的前项和为,且.
(1)证明:数列是等比数列,求数列的通项公式;
(2)记,求数列的前项和.
(2)由(Ⅰ)知, ,
则.
18. 已知数列{an}的首项a1=,an+1= (n).
(1)证明:数列{-1}是等比数列;
(2)求数列{}的前n项和Sn.
19. 已知等差数列的前项和为,并且,数列满足:,记数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式及前项和为;
(2)求数列的通项公式及前项和为;
(3)记集合,若的子集个数为16,求实数的取值范围.
【解析】(1)设数列的公差为,由题意得
(2)由题意得
叠乘得
由题意得①
②
②-①得:
20. 设各项均为正数的等比数列中,
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求证: ;
(3)是否存在正整数,使得对任意正整数均成立?若存在,求出的最大值,若不存在,说明理由.
(3)令
,
∴.
∴数列单调递增,
由不等式恒成立得:,
∴.
故存在正整数,使不等式恒成立,的最大值为4
21. 已知数列满足, , .
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求证: .
(2)由(1)得,
所以,
一方面, ∵
∴
另一方面, ∵11分
∴
故不等式成立.
22. 已知每一项都是正数的数列满足, .
(1)用数学归纳法证明: ;
(2)证明: ;
(3)记为数列的前项和,证明: .
因为
所以
即时也成立,
由①②可知对于,都有成立.
(2)由(1)知, ,
所以,
同理由数学归纳法可证,
.
猜测: ,下证这个结论.
因为,
所以与异号.注意到,知, ,
即.
所以有,
从而可知.