数学文卷·2017届安徽省安庆市高三上学期期末考试（2017 14页

安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测 高三数学试题（文科）‎ 命题：王晓苏 审题：孙 彦 ‎（考试时间：120分钟 满分150分）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则=‎ A.‎ B. ‎ C.‎ D.‎ ‎2. 下列命题中的假命题是 A. ，‎ C. ，‎ B. ，‎ D. ，‎ ‎3. 等差数列中，若，则数列的前11项和等于 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎4. 己知，则 ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5. 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱， 其正（主）视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是 ‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎6. 已知平面向量，满足，且与的夹角为，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足，则曲线的离心率等于 ‎ A. ‎ B. 或2‎ C. 2‎ D. ‎ ‎8. 过点的直线与圆相交于、两点，则的最小值为（　　）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎9. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10. 已知、、是圆上的三个点，的延长线与线段的延长线交于圆外一点. 若，其中，. 则的取值范围是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎11. 设是等比数列的前项和，公比，则与的大小关系是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎12. 设是定义在上的奇函数，其图象关于直线对称，且当时，. 记在上零点的个数为，方程在上的实数根和为，则有 A. ，‎ B. ，‎ B. ，‎ D. ，‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 已知，，若函数的图象在点处的切线与轴平行，则 ．‎ ‎14. 设，若展开式中的常数项为，则 ．‎ ‎15. 若变量，满足约束条件则的最大值为 ． ‎ ‎16. 在正四面体中，为棱的中点，过作其外接球的截面，记为最大的截面面积，为最小的截面面积，则 ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 在中，三内角、、对应的边分别为、、，且，.‎ ‎（Ⅰ）当，求角的大小； ‎ ‎（Ⅱ）求面积最大值.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 在如图所示的几何体中，是直三棱柱，四边形是梯形，，且，，‎ 是的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当与平面所成角的正切值为时，求该几何体的体积.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 某市文化部门为了了解本市市民对当地地方戏曲是否喜爱，从15-65岁的人群中随机抽样了人，得到如下的统计表和频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）写出其中的、、及和的值；‎ ‎（Ⅱ）若从第1，2，3组回答喜欢地方戏曲的人中用分层抽样的方法抽取6人，求这三组每组分别抽取多少人？‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求这2人中没有第3组人的概率.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知椭圆：的离心率为，点是其右焦点，点是其左顶点， 且. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点作不与轴重合的直线交椭圆于两点、，直线、分别交直线于点、. 试问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）设. 若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围（注：为自然对数的底数）.‎ 请考生在第22和第23题中任选一题作答，如果多做，则按第22题计分.‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在极坐标系中，曲线的方程为. 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数，）. ‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线交曲线于、两点，过点且与直线垂直的直线交曲线于、两点. 求四边形面积的最大值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知实数，满足. ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若至少存在一个实数，使得成立，求实数的取值范围. ‎ 安庆市2016～2017学年度第一学期期末教学质量调研监测 高三数学（文科）试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共12小题，每小题5分. ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B C B A C A B A B A B ‎1.【解析】，所以=.‎ ‎2.【解析】，，故（B）不正确.‎ ‎3.【解析】由，得，所以.‎ ‎4.【解析】由，得，所以. ‎ ‎5.【解析】易知三个命题都正确.‎ ‎6.【解析】由题意可知，，又，与的夹角为，‎ 所以 ‎ ‎.‎ ‎7.【解析】设，，.‎ 当曲线是椭圆时，，所以；‎ 当曲线是双曲线时，，所以. ‎ ‎8.【解析】. 因为点在圆内，所以当直线与圆心和点的连线垂直时，最短， ‎ ‎.‎ ‎9.【解析】时，；时，；‎ 时，；时，；‎ 时，；时，；‎ 又的周期为，，所以时的值与时的值相等.‎ ‎10.【解析】由、、共线，得，其中.‎ 因为、、共线，所以，所以.‎ 由于点在圆外，且、方向相反，所以 故.‎ ‎11.【解析】当，；‎ 当，‎ ‎.‎ ‎12.（12）【解析】根据题设可得是周期为4的周期函数，且，，，.，，…，，，所以.‎ 根据函数的性质可作出其图象(部分)，如图所示. ‎ 由图象可知方程在上的两个实数根关于对称，故其和等于. 根据周期性，可得方程在上的两个实数根和等于，在上的两个实数根和等于，在上无实数，在上的两个实数根和等于，在上的两个实数根和等于.所以.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎13.【解析】，由得.‎ ‎14.【解析】展开式的通项公式为.‎ 由，得. 所以（），得.‎ ‎15.【解析】作出可行域，如图所示. 因为，所以表示可行域内的点与点连线的斜率的一半. 由图可知，当点位于点时，斜率最大，故的最大值为.‎ ‎16.【解析】如图，设，为△的中心，则，.‎ 由，可得. ‎ 当截面经过球心时，面积最大，所以.‎ 易知，所以当截面圆的直径为时，面积最小，所以.‎ 所以 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【解析】‎ ‎（Ⅰ）根据正弦定理，得.‎ ‎ 因为，所以，故或. ………… 6分 ‎（Ⅱ）根据余弦定理，及，，‎ 得.‎ 因为，所以，‎ 所以，所以.‎ 故面积最大值为. ………… 12分 ‎18.【解析】‎ ‎（Ⅰ）如图1所示，取的中点，连接、. ‎ 因为是的中点，所以. ‎ 又，所以，所以平面.‎ 因为，，为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，因此，从而平面.‎ 因为、平面，，所以平面平面. ‎ 又平面，所以平面. ………… 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），又平面，所以平面，所以.‎ 在中，，所以，所以.‎ ‎，‎ 如图2所示，连接，易知，又，所以平面，所以是几何体的高，所以， .‎ 所以.‎ ‎ ………… 12分 ‎19.【解析】‎ ‎（Ⅰ）由表可知第3组，第4组的人数分别为，，再根据直方图可知第1组、第2组的人数也为人，且抽样总人数.‎ 所以第5组的人数为，‎ 且 ，，，，. ………… 4分 ‎（Ⅱ）因为第1，2，3组喜欢地方戏曲的人数比为，那么用分层抽样的方法从这三组中抽取6人，第1组应抽取1人，第2组应抽取2人，第3组应抽取3人. ………… 8分 ‎（Ⅲ）记第1组抽取的1人为A，第2组抽取的2人分别为B1，B2，第3组抽取的3人分别为C1，C2，C3.‎ 从这6人中随机抽取2人的情形有： ‎ A，B1 ； A，B2 ； A，C1 ； A，C2 ； A，C3 ； ‎ B1，B2 ； B1，C1 ；B1，C2； B1，C3；B2，C1 ；‎ B2，C2； B2，C3； C1，C2； C1，C3； C2，C3 共15种.‎ 其中没有第3组人的情形有：‎ A，B1 ； A，B2 ；B1，B2 共3种.‎ 所以这2人中没有第3组人的概率为. ………… 12分 ‎20.【解析】‎ ‎（Ⅰ）依题意有 ，得，，所以 ‎ 所以椭圆的方程为. ………… 4分 ‎（Ⅱ）根据题意可设直线的方程为，代入，‎ 整理得.‎ 设 ，，，‎ 则 ，.‎ 又易知，所以直线的方程为：，直线的方程为：，从而得，.‎ 所以 ‎.‎ 所以当，即或时，.‎ 故在轴上是存在定点或，使得. ………… 12分 ‎21.【解析】‎ ‎（Ⅰ）（）.‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ ‎………… 4分 ‎（Ⅱ）“函数在区间上有且仅有一个零点”等价于“函数的图象与直线在区间上有且仅有一个交点”.‎ 由（Ⅰ）可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以当时，函数有最小值.‎ ‎ 又，，.‎ 所以在区间附近，函数的大致图象如图所示.‎ 由图可知，所以当且仅当或时，函数的图象与直线在区间上有且仅有一个交点，从而函数在区间上有且仅有一个零点. ………… 12分 ‎22.【解析】‎ ‎（Ⅰ）将方程的两边同乘以，得，所以，，即为所求的曲线的直角坐标方程. ‎ 直线 （为参数，）.‎ 当，时，直线的普通方程是；‎ 当，时，消去参数，得直线的普通方程是.‎ ‎………… 4分 ‎（Ⅱ）将 代入，整理得 ‎.‎ 设两点、对应的参数分别为、，则 所以.‎ 设直线的参数方程为 （为参数，为直线的倾斜角）.‎ 同理可得.‎ 因为,所以，那么.‎ 所以.‎ 所以四边形面积为.‎ 因为 .故.‎ 四边形面积的最大值为. ………… 10分 ‎23. 【解析】‎ ‎（Ⅰ）证法一、由，可得 ‎.‎ 又，所以.‎ 从而. ………… 5分 证法二、根据柯西不等式，有. 又，‎ 所以. ‎ 因为，所以 ‎.‎ 证法三、因为，所以，所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，所以“‎ 若至少存在一个实数，使得成立”，则.‎ 因为，所以，所以，得.‎ 所以.‎ 故所求的的取值范围是. ………… 10分