数学（理）卷·2017届陕西省黄陵中学高三下学期（重点班）开学考试（2017 9页

黄陵中学高三开学考试理科重点班 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷共150分。考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．抛物线 2 4 1 xy  的准线方程是( ) A． 1y B． 1y C． 16 1-x D． 16 1x 2．若方程 x2+ky2=2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 ( ) A．(0，+∞) B．(0，2) C．(1，+∞) D．(0，1) 3．若双曲线 E： 1169 22  yx 的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P 在双曲线 E 上，且|PF1|=3， 则|PF2|等于 ( ) A．11 B．9 C．5 D．3 或 9 4．已知命题 p： x∈R，2x2+2x+ 2 1 <0，命题 q： x0∈R，sinx0-cosx0= 2 ，则下列判断中 正确的是 ( ) A．p 是真命题 B．q 是假命题 C．  p 是假命题 D．  q 是假命题 5．一动圆 P 过定点 M(-4，0)，且与已知圆 N：(x-4)2+y2=16 相切，则动圆圆心 P 的轨迹方 程是 ( ) A． )2(1124 22  xyx B． )2(1124 22  xyx C． 1124 22  yx D． 1124 22  xy 6．已知数列{ na }满足 * 3 3 1log 1 log ( )n na a n  N ，且 2 4 6 9a a a   ， 则 1 5 7 9 3 log ( )a a a  的值是（ ） A 1 5  B 5 C 5 D 1 5 7. — 空 间 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 此 空 间 几 何 体 的 直 观 图 为 （ ） 8. 设 为公比为q＞1的等比数列，若 和 是方程 的两根，则 + =（ ） A 18 B 10 C 25 D 9 9．已知 是实数，则函数 的图像可能是 ( ) A B C D 10.若点 P（cosα，sinα）在直线 y=﹣2x 上，则 的值等于（ ） A B C D 11.已知函数 )(xf 是定义在 ( , )  上的奇函数，若对于任意的实数 0x ，都有 )()2( xfxf  ，且当  2,0x 时， )1(log)( 2  xxf ，则 )2012()2011( ff  的值为 （ ） A -1 B -2 C 2 D 1 12.如图， 1F 、 2F 分别是双曲线 )0,0(12 2 2 2  ba b y a x 的两个焦点，以坐标原点O 为圆 心， 1FO 为半径的圆与该双曲线左支交于 A 、 B 两点，若△ ABF2 是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）. A 3 B 2 C 3 1 D 1 3 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二.填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 13.函数   3sin 2 3f x x      的图象为C ，如下结论中正确的是______．  na 2011a 0384 2  xx 2012a 2013a ( ) cosf x a axa 2y ax ①图象C 关于直线 11 12x  对称； ②函数  f x 在区间 5,12 12      内是增函数； ③图象C 关于点 2 ,03      对称； ④由 3 sin 2y x 图象向右平移 3 个单位可以得到图象C ． 14.已知函数 2( )f x x ax  的图象在点 (1, (1))A f 处的切线 l 与直线 3 2 0x y   垂直，若 数列 1{ }( )f n 的前 n 项和为 nS ，则 2017S 的值为------- 15.在矩形 ABCD 中， 2AB ， 1AD ，点 P 为矩形 ABCD 内一点，则使得 1 ACAP 的 概率为------- 16.过双曲线 2 2 2 2 1x y a b   ( 0, 0)a b  的左焦点 ( , 0) ( 0)F c c  ，作圆 2 2 2 4 ax y  的切 线，切点为 E ，延长 FE 交双曲线右支于点 P ，若 2OP OE OF    ，则双曲线的离心率是 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分 12 分）已知函数 ． （1）求 f（x）的周期和及其图象的对称中心； （2）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数 f（A）的取值范围． 18.（本题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形， PA  平面 ABCD ， / /EB PA， 4AB PA  ， 2EB  ， F 为 PD 的中点． （1）求证： AF PC ； （2）求证： / /BD 平面 PEC ； （3）求锐角三角形 D PC E  的余弦值． 19．（本题满分 12 分）某个体服装店经营某种服装，一周内获纯利 y(元)与该周每天销售这 种服装的件数 x 之间的一组数据如下： x 3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91 已知：        7 1 7 1 7 1 22 .3487,45309,280 i i i iiii yxyx (1)求 x ，y ； (2)纯利润 y 与每天销售件数 x 之间线性相关，求出线性回归方程． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： xbya xnx yxnyx b n i i n i ii           , 1 22 1 20．（本题满分12分）已知椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 的右焦点为F（1,0），M为椭圆的上 顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形. （1）求椭圆的方程； （2）是否存在直线l 交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？ 若l 存在，求出直线l 的方程；若l 不存在，请说明理由. 21. （本小题满分 12 分） 如图，已知 ABCD 是正方形，PD⊥平面 ABCD，PD=AD. (1)求二面角 A-PB-D 的大小； (2)在线段 PB 上是否存在一点 E,使 PC⊥平面 ADE?若存在, 确定 E 点的位置,若不存在,说明理由. 22．（本题满分 10 分）在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知 曲 线 )0(cos2sin: 2  aaC  ， 已 知 过 点 )4,2(P  的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 )( 2 24 2 22 为参数t ty tx         ，直线l 与曲线C 分别交于 ., NM （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程； （2）若 PN，，MNPM 成等比数列, 求 a 的值． 理科数学答案 一．ADBDC B A A CB A D 二、13①②③ 14 15 16 三．17. 15．（本小题共 13 分） 17．（12 分） ： 三角函数的周期性及其求法；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性． ： 计算题． ： （1）化简函数 f（x）的解析式为 sin（ + ）+1，故 f（x）的周期为 4π，由 ，故 f（x）图象的对称中心为 ． （2）利用正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，化简可得 ，从而得到 的范围，进而得到函数 f（A）的取 值范围． ： 解：（1）由 ，∴f（x）的周期为 4π． 由 ，故 f（x）图象的对称中心为 ． （2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC， ∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C） =sinA，且 sinA≠0， ∴ ．∴ ， 故函数 f（A）的取值范围是 ． 18．（本小题满分 12 分） （1）证明：依题意， PA  平面 ABCD ，如图，以 A 为原点，分别以 AD  、 AB  、 AP  的 方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系． 依题意，可得 (0,0,0)A ， (0,4,0)B ， (4,4,0)C ， (4,0,0)D ， (0,0,4)P ， (0,4,2)E ， (2,0,2)F ． ∵ (2,0,2)AF  ， (4,4, 4)PC   ， ∴ 8 0 ( 8) 0AF PC       ， ∴ AF PC . （2）证明：取 PC 的中点 M ，连接 EM ． ∵ (2,2,2)M ， (2, 2,0)EM   ， (4, 4,0)BD   ， ∴ 2BD EM  ， ∴ / /BD EM ． ∵ EM  平面 PEC ， BD  平面 PEC ， ∴ / /BD 平面 PEC ． （3）解：∵ AF PD ， AF PC ， PD PC P ， ∴ AF  平面 PCD，故 (2,0,2)AF  为平面 PCD的一个法向量． 设平面 PCE 的法向量为 ( , , )n x y z ， ∵ (4,4, 4)PC   ， (0,4, 2)PE   ， ∴ 0, 0, n PC n PE          即 4 4 4 0, 4 2 0, x y z y z       令 1y  ，得 1x  ， 2z  ，故 (1,1,2)n  ． ∴ 2 0 4 3cos , 22 2 6 AF n        ， ∴锐二面角 D PC E  的余弦值为 3 2 ． 19. 【解析】 (1) x ＝1 7 (3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6， y ＝1 7 (66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)≈79.86. LL6 分 (2)根据已知 ∑ 7 i＝1 x2 i＝280，∑ 7 i＝1 y2 i＝45 309， ∑ 7 i＝1 xiyi＝3 487， 利用已知数据可求得线性回归方程为y ^ ＝4.75x＋51.36. LL12 分 20.（本小题满分12分） 解：（1）由△OMF是等腰直角三角形得b=1，a = 22 b 故椭圆方程为 12 2 2  yx ……………………………………………………4分 （2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQM的垂心 设P（ 1x , 1y ）,Q（ 2x , 2y ） 因为M（0,1），F（1,0），故 1MFk ，故直线l的斜率 1k 于是设直线l的方程为 mxy  由      22 22 yx mxy 得 02243 22  mmxx --------------------6分 由题意知△＞0，即 2m ＜3，且 3 22,3 4 2 2121  mxxmxx ………8分 由题意应有 0 FQMP ，又 ),1(),1,( 2211 yxFQyxMP  故 0)1)((2 2 2121  mmmxxxx 0)1(3 4 3 222 2 2  mmmmm 解得 3 4m 或 1m -------------------10分 经检验，当 1m 时，△PQM不存在，故舍去 1m ； 当 3 4m 时，所求直线 3 4 xy 满足题意 综上，存在直线L，且直线L的方程为 0433  yx ………………………12分 21. （1）以向量 , ,DA DC DP    为正交基底，建立空间直角坐标系. 联结 AC,交 BD 于点 O,取 PA 中点 G,联结 DG. ∵ABCD 是正方形,∴AC⊥DB. 又 PD⊥平面 ABCD,AC 平面 ABCD, ∴AC⊥PD, ∴AC⊥平面 PBD. ∵PD⊥平面 ABCD，AB⊥AD，∴PA⊥AB. ∴AB⊥平面 PAD. ∵PD=AD,G 为 PA 中点, ∴GD⊥平面 PAB. 故向量 DGAC与 分别是平面 PBD 与平面 PAB 的法向量. 令 PD=AD=2，则 A(2，0，0)，C(0，2，0)，∴ AC =(-2，2，0). ∵P(0,0,2),A(2,0,0), ∴G(1,0,1),∴ DG =(1,0,1). ∴向量 DGAC与 的夹角余弦为 2 1 222 2cos      DGAC DGAC ， ∴ 0120 ,∴二面角 A-PB-D 的大小为 060 . （2）∵PD⊥平面 ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥PC. 设 E 是线段 PB 上的一点，令 )10(  PBPE . ∴ AP (-2,0,2), PB (2,2,-2), PC (0,2,-2).∴ )2,2,2(  PE . ∴ )22,2,22(   PEAPAE . 令 得,0 PCAE 2 22   ( 2 - 2 )=0,得 2 1 . ∴当 2 1 ,即点 E 是线段 PB 中点时,有 AE⊥PC. 22.解：（Ⅰ） 2 2 , 2y ax y x   . ……………..5 分 （Ⅱ）直线l 的参数方程为         ty tx 2 24 2 22 （t 为参数）, 代入 2 2y ax , 得到 2 2 2 (4 ) 8 (4 ) 0t a t a     ， ………………7 分 则有 1 2 1 22 2 (4 ), 8 (4 )t t a t t a      . 因为 2| | | | | |MN PM PN  ，所以 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4t t t t t t t t       . 解得 1a  . ………………10 分