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2016-2017学年河北省张家口市万全中学高二(下)期初数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.下列命题是真命题的是( )
A.a>b是ac2>bc2的充要条件 B.a>1,b>1是ab>1的充分条件
C.∃x0∈R,e≤0 D.若p∨q为真命题,则p∧q为真
2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )
A.1 B. C. D.2
3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )
A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.x±4y=0 D.4x±y=0
4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(﹣1,3) B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,)
6.在区间(0,2]里任取两个数x、y,分别作为点P的横、纵坐标,则点P到点A(﹣1,1)的距离小于的概率为( )
A. B. C. D.
7.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
8.过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=( )
A.8 B.10 C.14 D.16
9.若函数f(x)=﹣eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是( )
A.4 B.2 C.2 D.
10.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
11.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,A1A=2,则直线BC1到平面D1AC的距离为( )
A. B.1 C. D.
12.双曲线C:﹣=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是(,1),那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,共面,则λ= .
14.已知f(x)=x2+2xf′(0),则f′(2)= .
15.若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 .
16.∫sin2dx= .
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.已知命题p:关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根,命题q:函数f(x)=lg(mx2﹣x+m)的定义域为R,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
18.已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=AD=2,
E是SC的中点.
(Ⅰ)求异面直线DE与AC所成角;
(Ⅱ)求二面角B﹣SC﹣D的大小.
19.二次函数f(x)=ax2+2bx+1(a≠0).
(1)若a∈{﹣2,﹣1,2,3},b∈{0,1,2},求函数f(x)在(﹣1,0)内有且只有一个零点的概率;
(2)若a∈(0,1),b∈(﹣1,1),求函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数的概率.
20.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.
21.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,|AB|+|CD|=3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围.
22.已知函数f(x)=ln(x﹣1)+(a∈R)
(Ⅰ)若a=3,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)如果当x>1,且x≠2时,恒成立,求实数a的范围.
2016-2017学年河北省张家口市万全中学高二(下)期初数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.下列命题是真命题的是( )
A.a>b是ac2>bc2的充要条件 B.a>1,b>1是ab>1的充分条件
C.∃x0∈R,e≤0 D.若p∨q为真命题,则p∧q为真
【考点】复合命题的真假;特称命题.
【分析】利用复合命题的真假,充要条件以及特称命题判断结果即可.
【解答】解:对于A,a>b推不出ac2>bc2,说a>b是ac2>bc2的充要条件,不正确.
对于B,a>1,b>1⇒ab>1的充分条件,正确.
对于C,由指数函数的值域可知:∃x0∈R,e≤0是错误的.
对于D,若p∨q为真命题,则p∧q为真,有复合命题的真假判断,D不正确.
故选:B.
2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )
A.1 B. C. D.2
【考点】复数求模.
【分析】根据复数相等求出x,y的值,结合复数的模长公式进行计算即可.
【解答】解:∵(1+i)x=1+yi,
∴x+xi=1+yi,
即,解得,即|x+yi|=|1+i|=,
故选:B.
3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )
A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.x±4y=0 D.4x±y=0
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式,由离心率之积,求得a=2b,再由渐近线方程即可得到.
【解答】解:设椭圆C1: +=1的离心率为e1,则e1=,
设双曲线C2:﹣=1的离心率为e2,则e2=,
由C1与C2的离心率之积为,
即有e1e2=,
即=,
化简可得=,
则C2的渐近线方程为y=±x,
即为y=±x.
故选:A.
4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】
求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式,可得答案.
【解答】解:设小明到达时间为y,
当y在7:50至8:00,或8:20至8:30时,
小明等车时间不超过10分钟,
故P==,
故选:B
5.已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A.(﹣1,3) B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,)
【考点】双曲线的标准方程.
【分析】由已知可得c=2,利用4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得m2=1,又(m2+n)(3m2﹣n)>0,从而可求n的取值范围.
【解答】解:∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c=2,
当焦点在x轴上时,
可得:4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=1,
∵方程﹣=1表示双曲线,
∴(m2+n)(3m2﹣n)>0,可得:(n+1)(3﹣n)>0,
解得:﹣1<n<3,即n的取值范围是:(﹣1,3).
当焦点在y轴上时,
可得:﹣4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=﹣1,
无解.
故选:A.
6.在区间(0,2]里任取两个数x、y,分别作为点P的横、纵坐标,则点P到点A(﹣1,1)的距离小于的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】根据几何概型的概率公式求出对应事件的面积即可得到结论.
【解答】解:设P(x,y),
由|PA|得,
即(x+1)2+(y﹣1)2<2,对应的区域为以A为圆心半径为的圆及其内部,
作出对应的图象如图:
则弓形区域的面积S==,
则对应的概率P==,
故选:D
7.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标,进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0,进而求得椭圆的离心率e.
【解答】解:由题意知点P的坐标为(﹣c,)或(﹣c,﹣),
∵∠F1PF2=60°,
∴=,
即2ac=b2=(a2﹣c2).
∴e2+2e﹣=0,
∴e=或e=﹣(舍去).
故选B.
8.过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=( )
A.8 B.10 C.14 D.16
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】抛物线 y2=16x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+8,由此易得弦长值.
【解答】解:由题意,p=8,故抛物线的准线方程是x=﹣4,
∵抛物线 y2=16x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点
∴|AB|=x1+x2+8,
又x1+x2=6
∴∴|AB|=x1+x2+8=14
故选C.
9.若函数f(x)=﹣eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是( )
A.4 B.2 C.2 D.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求函数的导数,求出切线方程根据直线和圆相切得到a,b的关系式,利用换元法即可得到结论.
【解答】解:函数的f(x)的导数f′(x)=,
在x=0处的切线斜率k=f′(0)=,
∵f(0)=﹣,∴切点坐标为(0,﹣),
则在x=0处的切线方程为y+=x,
即切线方程为ax+by+1=0,
∵切线与圆x2+y2=1相切,
∴圆心到切线的距离d=,
即a2+b2=1,
∵a>0,b>0,
∴设a=sinx,则b=cosx,0<x<,
则a+b=sinx+cosx=sin(x),
∵0<x<,
∴<x<,
即当x=时,a+b取得最大值为,
故选:D
10.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】用定积分计算阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式求出概率.
【解答】解:由题意,y=lnx与y=ex关于y=x对称,
∴阴影部分的面积为2(e﹣ex)dx=2(ex﹣ex)=2,
∵边长为e(e为自然对数的底数)的正方形的面积为e2,
∴落到阴影部分的概率为.
故选:C.
11.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,A1A=2,则直线BC1到平面D1AC的距离为( )
A. B.1 C. D.
【考点】点、线、面间的距离计算.
【分析】利用线面平行的判定定理,判断直线BC1∥平面ACD1,直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离,利用等体积,即可求出直线BC1到平面D1AC的距离.
【解答】解:∵几何体为长方体ABCD﹣A1B1C1D1,
∴AB∥C1D1,AB=C1D1,
∴AD1∥BC1,
∵AD1⊂平面ACD1,BC1⊄平面ACD1,
∴直线BC1∥平面ACD1;
直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h,
考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得V==,
而D1AC中,AC=D1C=,D1A=,故=.
∴,
∴h=,即直线BC1到平面D1AC的距离为.
故选:C.
12.双曲线C:﹣=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是(,1),那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由题意求A1、A2的坐标,设出点P的坐标,代入求斜率,进而求PA1斜率的取值范围.
【解答】解:由椭圆的标准方程可知,
左右顶点分别为A1(﹣2,0)、A2(2,0),
设点P(a,b)(a≠±2),则﹣=1…①,
=, =;
则=•=,
由①式可得=,
代入得=,
∵∈(,1),
∴∈(,).
故选D.
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
13.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,共面,则λ= 3 .
【考点】共线向量与共面向量.
【分析】由于向量,共面,利用向量共面定理可得:存在唯一一对实数m,n使得,解出即可.
【解答】解:∵向量,共面,
∴存在唯一一对实数m,n使得,
∴,解得.
故答案为:3.
14.已知f(x)=x2+2xf′(0),则f′(2)= 4 .
【考点】导数的运算.
【分析】求函数的导数,令x=0,先求出f′(0)的值,即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)=x2+2x f′(0),
∴f′(x)=2x+2f′(0),
令x=0,则f′(0)=2f′(0)
即f′(0)=0,
则f′(x)=2x,
则f′(2)=2×2=4,
故答案为:4
15.若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 (﹣ln2,2) .
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】先设P(x,y),对函数求导,由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行,求出x,最后求出y.
【解答】解:设P(x,y),则y=e﹣x,
∵y′=﹣e﹣x,在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行,
∴﹣e﹣x=﹣2,解得x=﹣ln2,
∴y=e﹣x=2,故P(﹣ln2,2).
故答案为:(﹣ln2,2).
16.∫sin2dx= .
【考点】定积分.
【分析】根据函数的积分公式,即可得到结论.
【解答】解:∫sin2dx=∫=(﹣)|=,
故答案为: ,
三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)
17.已知命题p:关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根,命题q:函数f(x)=lg(mx2﹣x+m)的定义域为R,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.
【考点】复合命题的真假.
【分析】先将命题p,q化简,然后由“p或q为真命题,p且q为假命题”得p和q一真一假,分类讨论即可.
【解答】解:∵方程x2+2x+m=0没有实数根,
∴△=4﹣4m<0,解得m>1,即命题p:m>1,
∵函数f(x)=lg(mx2﹣x+m)的定义域为R,
∴mx2﹣x+m>0对x∈R恒成立,即,解得m>2,即命题q:m>2,
又∵若p或q为真命题,p且q为假命题,∴p和q一真一假,
若p真q假,则1<m≤2,
若p假q真,则m≤1且m>2,无解,
综上,实数m的取值范围是1<m≤2.
18.已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=AD=2,
E是SC的中点.
(Ⅰ)求异面直线DE与AC所成角;
(Ⅱ)求二面角B﹣SC﹣D的大小.
【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.
【分析】(Ⅰ)以点A为坐标原点,AB,AD,AS所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出异面直线DE与AC对应的向量,利用向量的数量积求解即可;
(Ⅱ)求出平面BSC的法向量,平面SCD的法向量,利用向量的数量积求二面角B﹣SC﹣D的大小.
【解答】解:(Ⅰ)SA⊥底面ABCD,所以SA⊥AD,SA⊥AB
底面ABCD是正方形,所以AB⊥AD…
以点A为坐标原点,AB,AD,AS所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),S(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,1,1)…
所以,,
所以异面直线DE与AC所成角为90°.…
(Ⅱ)由题意可知,,
设平面BSC的法向量为,则,
令z1=1,则,…
,
设平面SCD的法向量为,则,
令y2=1,则…
设二面角B﹣SC﹣D的平面角为α,则.
显然二面角B﹣SC﹣D的平面角为α为钝角,所以α=120°
即二面角B﹣SC﹣D的大小为120°.…
19.二次函数f(x)=ax2+2bx+1(a≠0).
(1)若a∈{﹣2,﹣1,2,3},b∈{0,1,2},求函数f(x)在(﹣1,0)内有且只有一个零点的概率;
(2)若a∈(0,1),b∈(﹣1,1),求函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数的概率.
【考点】几何概型;二次函数的性质.
【分析】(1)由题意可得所有的(a,b)共有4×
3=12个,而满足条件的(a,b)有6个,从而求得所求事件的概率.
(2)由函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数,求得b≤a.而所有的点(a,b)构成的区域为{(a,b)|0<a<1,且﹣1<b<1},再根据函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数的概率为,计算求得结果.
【解答】解:(1)由题意可得所有的(a,b)共有4×3=12个,根据f(x)在(﹣1,0)内有且只有一个零点,且f(0)=1,
故有f(﹣1)=a﹣2b+1<0,即 a<2b﹣1,故满足条件的(a,b)有(﹣2,0)、(﹣2,﹣1)、(﹣2,2)、
(﹣1,1)、(﹣1,2)、(2,2),共计6个,
∴所求事件的概率为 =.
(2)若a∈(0,1),b∈(﹣1,1),函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数,即﹣≥﹣1,求得b≤a.
而所有的点(a,b)构成的区域为{(a,b)|0<a<1,且﹣1<b<1},如图所示:
故函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数的概率为==.
20.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠
ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;
(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.
【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.
【分析】(1)证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明,即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直,即可证明线面垂直.
(2)建立空间坐标系,根据坐标表示出两个平面的法向量,结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式,再利用函数的有关知识求出余弦的范围.
【解答】解:(I)证明:在梯形ABCD中,
∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,
∴AB=2
∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3
∴AB2=AC2+BC2
∴BC⊥AC
∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD
∴BC⊥平面ACFE
(II)由(I)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系,
令,则,B(0,1,0),M(λ,0,1)
∴
设为平面MAB的一个法向量,
由得
取x=1,则,
∵是平面FCB的一个法向量
∴
∵∴当λ=0时,cosθ有最小值,
当时,cosθ有最大值.
∴.
21.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,|AB|+|CD|=3.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围.
【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)利用椭圆的离心率,以及,|AB|+|CD|=3.求出a、b,即可求椭圆的方程;
(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,直接求出面积.
②当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),且设直线AB的方程为y=k(x﹣1),与椭圆方程联立,利用韦达定理以及弦长公式,求出AB,CD即可求解面积的表达式,通过基本不等式求出面积的最值.
【解答】解:(Ⅰ)由题意知,,则,
∴,
所以c=1.所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,
由题意知;
②当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
且设直线AB的方程为y=k(x﹣1),
则直线CD的方程为.
将直线AB的方程代入椭圆方程中,并整理得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
所以.
同理,.
所以=,
∵当且仅当k=±1时取等号
∴
综合①与②可知,
22.已知函数f(x)=ln(x﹣1)+(a∈R)
(Ⅰ)若a=3,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)如果当x>1,且x≠2时,恒成立,求实数a的范围.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)通过对函数f(x)求导,进而转化为判断二次函数y=x2﹣2ax+2a的正负问题,再对a分类讨论即可.
(Ⅱ)当x>1,且x≠2时,恒成立问题,转化为当x>1,且x≠2时 [f(x)﹣a]>0恒成立问题,只要利用(ⅠⅠ)的结论对a及x进行分类讨论f(x)﹣a及x﹣2的符号即可.
【解答】解:(Ⅰ)当a=3时f′(x)=>0,即x2﹣6x+6>
0,又定义域为(1,+∞),
解得1<x<3﹣或x>3+,由f′(x)<0,解得3﹣<x<3+.
所以单调增区间为(1,3﹣)和(3+,+∞);单调减区间为(3﹣,3);
(Ⅱ)可化为 [ln(x﹣1)+﹣a]>0(※)
设h(x)=f(x)﹣a,由题意可知函数h(x)的定义域为(1,+∞),
h′(x)=﹣=,
设g(x)=x2﹣2ax+2a,△=4a2﹣8a=4a(a﹣2),
①当a≤2时,h(x)在(1,+∞)上是增函数,
若x∈(1,2)时,h(x)<h(2)=0;所以h(x)>0,
若x∈(2,+∞)时,h(x)>h(2)=0.所以h(x)>0,
所以,当a≤2时,※式成立;
②当a>2时,x1=a﹣>1,
h(x)在(x1,2)是减函数,所以h(x)>h(2)=0,※式不成立.
综上,实数a的取值范围是(﹣∞,2].