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  • 2021-06-15 发布

数学卷·2018届河北省张家口市万全中学高二下学期期初数学试卷(理科)(解析版)

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‎2016-2017学年河北省张家口市万全中学高二(下)期初数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ ‎1.下列命题是真命题的是(  )‎ A.a>b是ac2>bc2的充要条件 B.a>1,b>1是ab>1的充分条件 C.∃x0∈R,e≤0 D.若p∨q为真命题,则p∧q为真 ‎2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(  )‎ A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.x±4y=0 D.4x±y=0‎ ‎4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,3) B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,)‎ ‎6.在区间(0,2]里任取两个数x、y,分别作为点P的横、纵坐标,则点P到点A(﹣1,1)的距离小于的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=(  )‎ A.8 B.10 C.14 D.16‎ ‎9.若函数f(x)=﹣eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是(  )‎ A.4 B.2 C.2 D.‎ ‎10.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,A1A=2,则直线BC1到平面D1AC的距离为(  )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎12.双曲线C:﹣=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是(,1),那么直线PA1斜率的取值范围是(  )‎ A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ ‎13.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,共面,则λ=  .‎ ‎14.已知f(x)=x2+2xf′(0),则f′(2)=  .‎ ‎15.若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是  .‎ ‎16.∫sin2dx=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)‎ ‎17.已知命题p:关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根,命题q:函数f(x)=lg(mx2﹣x+m)的定义域为R,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎18.已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=AD=2,‎ E是SC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求异面直线DE与AC所成角;‎ ‎(Ⅱ)求二面角B﹣SC﹣D的大小.‎ ‎19.二次函数f(x)=ax2+2bx+1(a≠0).‎ ‎(1)若a∈{﹣2,﹣1,2,3},b∈{0,1,2},求函数f(x)在(﹣1,0)内有且只有一个零点的概率;‎ ‎(2)若a∈(0,1),b∈(﹣1,1),求函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数的概率.‎ ‎20.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;‎ ‎(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,|AB|+|CD|=3.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围.‎ ‎22.已知函数f(x)=ln(x﹣1)+(a∈R)‎ ‎(Ⅰ)若a=3,求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)如果当x>1,且x≠2时,恒成立,求实数a的范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年河北省张家口市万全中学高二(下)期初数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ ‎1.下列命题是真命题的是(  )‎ A.a>b是ac2>bc2的充要条件 B.a>1,b>1是ab>1的充分条件 C.∃x0∈R,e≤0 D.若p∨q为真命题,则p∧q为真 ‎【考点】复合命题的真假;特称命题.‎ ‎【分析】利用复合命题的真假,充要条件以及特称命题判断结果即可.‎ ‎【解答】解:对于A,a>b推不出ac2>bc2,说a>b是ac2>bc2的充要条件,不正确.‎ 对于B,a>1,b>1⇒ab>1的充分条件,正确.‎ 对于C,由指数函数的值域可知:∃x0∈R,e≤0是错误的.‎ 对于D,若p∨q为真命题,则p∧q为真,有复合命题的真假判断,D不正确.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎2.设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【考点】复数求模.‎ ‎【分析】根据复数相等求出x,y的值,结合复数的模长公式进行计算即可.‎ ‎【解答】解:∵(1+i)x=1+yi,‎ ‎∴x+xi=1+yi,‎ 即,解得,即|x+yi|=|1+i|=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为(  )‎ A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.x±4y=0 D.4x±y=0‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】运用椭圆和双曲线的离心率公式,由离心率之积,求得a=2b,再由渐近线方程即可得到.‎ ‎【解答】解:设椭圆C1: +=1的离心率为e1,则e1=,‎ 设双曲线C2:﹣=1的离心率为e2,则e2=,‎ 由C1与C2的离心率之积为,‎ 即有e1e2=,‎ 即=,‎ 化简可得=,‎ 则C2的渐近线方程为y=±x,‎ 即为y=±x.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】‎ 求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式,可得答案.‎ ‎【解答】解:设小明到达时间为y,‎ 当y在7:50至8:00,或8:20至8:30时,‎ 小明等车时间不超过10分钟,‎ 故P==,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎5.已知方程﹣=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,3) B.(﹣1,) C.(0,3) D.(0,)‎ ‎【考点】双曲线的标准方程.‎ ‎【分析】由已知可得c=2,利用4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得m2=1,又(m2+n)(3m2﹣n)>0,从而可求n的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵双曲线两焦点间的距离为4,∴c=2,‎ 当焦点在x轴上时,‎ 可得:4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=1,‎ ‎∵方程﹣=1表示双曲线,‎ ‎∴(m2+n)(3m2﹣n)>0,可得:(n+1)(3﹣n)>0,‎ 解得:﹣1<n<3,即n的取值范围是:(﹣1,3).‎ 当焦点在y轴上时,‎ 可得:﹣4=(m2+n)+(3m2﹣n),解得:m2=﹣1,‎ 无解.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.在区间(0,2]里任取两个数x、y,分别作为点P的横、纵坐标,则点P到点A(﹣1,1)的距离小于的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】根据几何概型的概率公式求出对应事件的面积即可得到结论.‎ ‎【解答】解:设P(x,y),‎ 由|PA|得,‎ 即(x+1)2+(y﹣1)2<2,对应的区域为以A为圆心半径为的圆及其内部,‎ 作出对应的图象如图:‎ 则弓形区域的面积S==,‎ 则对应的概率P==,‎ 故选:D ‎ ‎ ‎7.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标,进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0,进而求得椭圆的离心率e.‎ ‎【解答】解:由题意知点P的坐标为(﹣c,)或(﹣c,﹣),‎ ‎∵∠F1PF2=60°,‎ ‎∴=,‎ 即2ac=b2=(a2﹣c2).‎ ‎∴e2+2e﹣=0,‎ ‎∴e=或e=﹣(舍去).‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎8.过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那么|AB|=(  )‎ A.8 B.10 C.14 D.16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】抛物线 y2=16x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点,故|AB|=x1+x2+8,由此易得弦长值.‎ ‎【解答】解:由题意,p=8,故抛物线的准线方程是x=﹣4,‎ ‎∵抛物线 y2=16x 的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)B(x2,y2)两点 ‎∴|AB|=x1+x2+8,‎ 又x1+x2=6‎ ‎∴∴|AB|=x1+x2+8=14‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎9.若函数f(x)=﹣eax(a>0,b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切,则a+b的最大值是(  )‎ A.4 B.2 C.2 D.‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】求函数的导数,求出切线方程根据直线和圆相切得到a,b的关系式,利用换元法即可得到结论.‎ ‎【解答】解:函数的f(x)的导数f′(x)=,‎ 在x=0处的切线斜率k=f′(0)=,‎ ‎∵f(0)=﹣,∴切点坐标为(0,﹣),‎ 则在x=0处的切线方程为y+=x,‎ 即切线方程为ax+by+1=0,‎ ‎∵切线与圆x2+y2=1相切,‎ ‎∴圆心到切线的距离d=,‎ 即a2+b2=1,‎ ‎∵a>0,b>0,‎ ‎∴设a=sinx,则b=cosx,0<x<,‎ 则a+b=sinx+cosx=sin(x),‎ ‎∵0<x<,‎ ‎∴<x<,‎ 即当x=时,a+b取得最大值为,‎ 故选:D ‎ ‎ ‎10.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】用定积分计算阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式求出概率.‎ ‎【解答】解:由题意,y=lnx与y=ex关于y=x对称,‎ ‎∴阴影部分的面积为2(e﹣ex)dx=2(ex﹣ex)=2,‎ ‎∵边长为e(e为自然对数的底数)的正方形的面积为e2,‎ ‎∴落到阴影部分的概率为.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=4,AD=2,A1A=2,则直线BC1到平面D1AC的距离为(  )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算.‎ ‎【分析】利用线面平行的判定定理,判断直线BC1∥平面ACD1,直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离,利用等体积,即可求出直线BC1到平面D1AC的距离.‎ ‎【解答】解:∵几何体为长方体ABCD﹣A1B1C1D1,‎ ‎∴AB∥C1D1,AB=C1D1,‎ ‎∴AD1∥BC1,‎ ‎∵AD1⊂平面ACD1,BC1⊄平面ACD1,‎ ‎∴直线BC1∥平面ACD1;‎ 直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为h,‎ 考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得V==,‎ 而D1AC中,AC=D1C=,D1A=,故=.‎ ‎∴,‎ ‎∴h=,即直线BC1到平面D1AC的距离为.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.双曲线C:﹣=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是(,1),那么直线PA1斜率的取值范围是(  )‎ A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】由题意求A1、A2的坐标,设出点P的坐标,代入求斜率,进而求PA1斜率的取值范围.‎ ‎【解答】解:由椭圆的标准方程可知,‎ 左右顶点分别为A1(﹣2,0)、A2(2,0),‎ 设点P(a,b)(a≠±2),则﹣=1…①,‎ ‎=, =;‎ 则=•=,‎ 由①式可得=,‎ 代入得=,‎ ‎∵∈(,1),‎ ‎∴∈(,).‎ 故选D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ ‎13.已知=(2,﹣1,2),=(﹣1,3,﹣3),=(13,6,λ),若向量,共面,则λ= 3 .‎ ‎【考点】共线向量与共面向量.‎ ‎【分析】由于向量,共面,利用向量共面定理可得:存在唯一一对实数m,n使得,解出即可.‎ ‎【解答】解:∵向量,共面,‎ ‎∴存在唯一一对实数m,n使得,‎ ‎∴,解得.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎14.已知f(x)=x2+2xf′(0),则f′(2)= 4 .‎ ‎【考点】导数的运算.‎ ‎【分析】求函数的导数,令x=0,先求出f′(0)的值,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=x2+2x f′(0),‎ ‎∴f′(x)=2x+2f′(0),‎ 令x=0,则f′(0)=2f′(0)‎ 即f′(0)=0,‎ 则f′(x)=2x,‎ 则f′(2)=2×2=4,‎ 故答案为:4‎ ‎ ‎ ‎15.若曲线y=e﹣x上点P的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是 (﹣ln2,2) .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】先设P(x,y),对函数求导,由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行,求出x,最后求出y.‎ ‎【解答】解:设P(x,y),则y=e﹣x,‎ ‎∵y′=﹣e﹣x,在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行,‎ ‎∴﹣e﹣x=﹣2,解得x=﹣ln2,‎ ‎∴y=e﹣x=2,故P(﹣ln2,2).‎ 故答案为:(﹣ln2,2).‎ ‎ ‎ ‎16.∫sin2dx=  .‎ ‎【考点】定积分.‎ ‎【分析】根据函数的积分公式,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:∫sin2dx=∫=(﹣)|=,‎ 故答案为: ,‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)‎ ‎17.已知命题p:关于x的一元二次方程x2+2x+m=0没有实数根,命题q:函数f(x)=lg(mx2﹣x+m)的定义域为R,若p或q为真命题,p且q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】先将命题p,q化简,然后由“p或q为真命题,p且q为假命题”得p和q一真一假,分类讨论即可.‎ ‎【解答】解:∵方程x2+2x+m=0没有实数根,‎ ‎∴△=4﹣4m<0,解得m>1,即命题p:m>1,‎ ‎∵函数f(x)=lg(mx2﹣x+m)的定义域为R,‎ ‎∴mx2﹣x+m>0对x∈R恒成立,即,解得m>2,即命题q:m>2,‎ 又∵若p或q为真命题,p且q为假命题,∴p和q一真一假,‎ 若p真q假,则1<m≤2,‎ 若p假q真,则m≤1且m>2,无解,‎ 综上,实数m的取值范围是1<m≤2.‎ ‎ ‎ ‎18.已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=AD=2,‎ E是SC的中点.‎ ‎(Ⅰ)求异面直线DE与AC所成角;‎ ‎(Ⅱ)求二面角B﹣SC﹣D的大小.‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】(Ⅰ)以点A为坐标原点,AB,AD,AS所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,求出异面直线DE与AC对应的向量,利用向量的数量积求解即可;‎ ‎(Ⅱ)求出平面BSC的法向量,平面SCD的法向量,利用向量的数量积求二面角B﹣SC﹣D的大小.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)SA⊥底面ABCD,所以SA⊥AD,SA⊥AB 底面ABCD是正方形,所以AB⊥AD…‎ 以点A为坐标原点,AB,AD,AS所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),S(0,0,2),C(2,2,0),D(0,2,0),E(1,1,1)…‎ 所以,,‎ 所以异面直线DE与AC所成角为90°.…‎ ‎(Ⅱ)由题意可知,,‎ 设平面BSC的法向量为,则,‎ 令z1=1,则,…‎ ‎,‎ 设平面SCD的法向量为,则,‎ 令y2=1,则…‎ 设二面角B﹣SC﹣D的平面角为α,则.‎ 显然二面角B﹣SC﹣D的平面角为α为钝角,所以α=120°‎ 即二面角B﹣SC﹣D的大小为120°.…‎ ‎ ‎ ‎19.二次函数f(x)=ax2+2bx+1(a≠0).‎ ‎(1)若a∈{﹣2,﹣1,2,3},b∈{0,1,2},求函数f(x)在(﹣1,0)内有且只有一个零点的概率;‎ ‎(2)若a∈(0,1),b∈(﹣1,1),求函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数的概率.‎ ‎【考点】几何概型;二次函数的性质.‎ ‎【分析】(1)由题意可得所有的(a,b)共有4×‎ ‎3=12个,而满足条件的(a,b)有6个,从而求得所求事件的概率.‎ ‎(2)由函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数,求得b≤a.而所有的点(a,b)构成的区域为{(a,b)|0<a<1,且﹣1<b<1},再根据函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数的概率为,计算求得结果.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得所有的(a,b)共有4×3=12个,根据f(x)在(﹣1,0)内有且只有一个零点,且f(0)=1,‎ 故有f(﹣1)=a﹣2b+1<0,即 a<2b﹣1,故满足条件的(a,b)有(﹣2,0)、(﹣2,﹣1)、(﹣2,2)、‎ ‎(﹣1,1)、(﹣1,2)、(2,2),共计6个,‎ ‎∴所求事件的概率为 =.‎ ‎(2)若a∈(0,1),b∈(﹣1,1),函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数,即﹣≥﹣1,求得b≤a.‎ 而所有的点(a,b)构成的区域为{(a,b)|0<a<1,且﹣1<b<1},如图所示:‎ 故函数f(x)在(﹣∞,﹣1)上为减函数的概率为==.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠‎ ABC=60°,四边形ACFE为矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.‎ ‎(Ⅰ)求证:BC⊥平面ACFE;‎ ‎(Ⅱ)点M在线段EF上运动,设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ(θ≤90°),试求cosθ的取值范围.‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法.‎ ‎【分析】(1)证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明,即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直,即可证明线面垂直.‎ ‎(2)建立空间坐标系,根据坐标表示出两个平面的法向量,结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式,再利用函数的有关知识求出余弦的范围.‎ ‎【解答】解:(I)证明:在梯形ABCD中,‎ ‎∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,‎ ‎∴AB=2‎ ‎∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3‎ ‎∴AB2=AC2+BC2‎ ‎∴BC⊥AC ‎∵平面ACFE⊥平面ABCD,平面ACFE∩平面ABCD=AC,BC⊂平面ABCD ‎∴BC⊥平面ACFE ‎(II)由(I)可建立分别以直线CA,CB,CF为x轴,y轴,z轴的如图所示空间直角坐标系,‎ 令,则,B(0,1,0),M(λ,0,1)‎ ‎∴‎ 设为平面MAB的一个法向量,‎ 由得 取x=1,则,‎ ‎∵是平面FCB的一个法向量 ‎∴‎ ‎∵∴当λ=0时,cosθ有最小值,‎ 当时,cosθ有最大值.‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时,|AB|+|CD|=3.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)求由A,B,C,D四点构成的四边形的面积的取值范围.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用椭圆的离心率,以及,|AB|+|CD|=3.求出a、b,即可求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,直接求出面积.‎ ‎②当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),且设直线AB的方程为y=k(x﹣1),与椭圆方程联立,利用韦达定理以及弦长公式,求出AB,CD即可求解面积的表达式,通过基本不等式求出面积的最值.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意知,,则,‎ ‎∴,‎ 所以c=1.所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)①当两条弦中一条斜率为0时,另一条弦的斜率不存在,‎ 由题意知; ‎ ‎②当两弦斜率均存在且不为0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 且设直线AB的方程为y=k(x﹣1),‎ 则直线CD的方程为.‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程中,并整理得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,‎ 所以. ‎ 同理,. ‎ 所以=,‎ ‎∵当且仅当k=±1时取等号 ‎ ‎∴‎ 综合①与②可知,‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数f(x)=ln(x﹣1)+(a∈R)‎ ‎(Ⅰ)若a=3,求f(x)的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)如果当x>1,且x≠2时,恒成立,求实数a的范围.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(Ⅰ)通过对函数f(x)求导,进而转化为判断二次函数y=x2﹣2ax+2a的正负问题,再对a分类讨论即可.‎ ‎(Ⅱ)当x>1,且x≠2时,恒成立问题,转化为当x>1,且x≠2时 [f(x)﹣a]>0恒成立问题,只要利用(ⅠⅠ)的结论对a及x进行分类讨论f(x)﹣a及x﹣2的符号即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)当a=3时f′(x)=>0,即x2﹣6x+6>‎ ‎0,又定义域为(1,+∞),‎ 解得1<x<3﹣或x>3+,由f′(x)<0,解得3﹣<x<3+.‎ 所以单调增区间为(1,3﹣)和(3+,+∞);单调减区间为(3﹣,3);‎ ‎(Ⅱ)可化为 [ln(x﹣1)+﹣a]>0(※)‎ 设h(x)=f(x)﹣a,由题意可知函数h(x)的定义域为(1,+∞),‎ h′(x)=﹣=,‎ 设g(x)=x2﹣2ax+2a,△=4a2﹣8a=4a(a﹣2),‎ ‎①当a≤2时,h(x)在(1,+∞)上是增函数,‎ 若x∈(1,2)时,h(x)<h(2)=0;所以h(x)>0,‎ 若x∈(2,+∞)时,h(x)>h(2)=0.所以h(x)>0,‎ 所以,当a≤2时,※式成立;‎ ‎②当a>2时,x1=a﹣>1,‎ h(x)在(x1,2)是减函数,所以h(x)>h(2)=0,※式不成立.‎ 综上,实数a的取值范围是(﹣∞,2].‎