2018-2019学年四川省成都石室中学高二10月月考数学（文）试题（Word版） 13页

‎19（12分）‎ 成都石室中学2018～2019学年度上期高2020届10月月考 文科数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：)，‎ 可得这个几何体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.设椭圆：的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知双曲线 的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个 交点为 ，则此双曲线为 （ ）‎ ‎　 A. B. C. D.‎ ‎9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( )‎ A. B. C． D. ‎ ‎10.已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，，，则的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为  ．‎ ‎14. 直线：过双曲线： 的右焦点 且与双曲线只有一个公共点，则的离心率为  ．‎ ‎15.已知圆和点,是圆上一点，线段的垂直平分线交 于点，则点的轨迹方程是  ．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，点为圆上的一动点，直线与直线相交于点．则当实数变化时，线段长的最大值是  ．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和. ‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在中，内角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，边上的中线的长为，求的面积．‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 直角坐标系中，椭圆：的焦距为，过点 .‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，不经过原点的直线与椭圆相交于两点，线段被直线平分，且.求直线的方程.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左、右两个焦点的距离之和是.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左、右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.‎ 高二数学文科 ‎1.已知集合 （ A ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ D ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.己知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：)，‎ 可得这个几何体的体积是（ B ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ A ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.当曲线与直线有两个相异的交点时,实数的取值范围是 （ C ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ C ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.设椭圆：的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（ D ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知双曲线 的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则此双曲线为 （ B ）‎ ‎　A. B. C. D.‎ ‎9.平行四边形内接于椭圆，直线的斜率，则直线的斜率( B )‎ A. B. C． D. ‎ ‎10.已知双曲线： ，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为，且满足，若为双曲线的中心，，则的离心率为（　B　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.数学家欧拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，若其欧拉线的方程为，则顶点的坐标为（A ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为（ D ）‎ A. B. C. D.‎ ‎13.等比数列中，为其前项和，若，则实数的值为 ‎ ‎14. 直线：过双曲线： 的右焦点 且与双曲线只有一个公共点，则的离心率为  ．‎ ‎15.已知圆和点,是圆上一点，线段的垂直平分线交 于点，则点的轨迹方程是__________．‎ ‎16.在平面直角坐标系中，点为圆上的一动点，直线与直线相交于点．则当实数变化时，线段长的最大值是 . ‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知公差不为的等差数列的前三项和为，且成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和. ‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为.依题意有 即 由，解得 所以. ………………………6分 ‎（Ⅱ）所以.‎ 因为，……………8分 ‎ 所以数列是以4为首项，4为公比的等比数列.‎ ‎ 所以. ………………10分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 已知曲线上的动点满足到定点的距离与到定点距离之比为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程．‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ……2分 故 ……3分 ‎ 化简得：（或）即为所求． ……5分 ‎（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，‎ ‎ 将代入方程得，‎ ‎ 所以，满足题意。 ……8分 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 由圆心到直线的距离 ……10分 解得，此时直线的方程为 综上所述，满足题意的直线的方程为：或. ……12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D 如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱底面．已知是的中点，．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅲ）求三棱锥的体积．‎ ‎（Ⅰ）证明：由已知为正三角形，且是的中点，‎ 所以．‎ ‎ 因为侧棱底面，，‎ 所以底面．‎ ‎ 又因为底面，所以.‎ A C B B1‎ C1‎ A1‎ D E ‎ 而,‎ 所以平面．‎ 因为平面，所以平面平面．……………………4分 ‎（Ⅱ）证明：连接，设，连接．‎ 由已知得，四边形为正方形，则为的中点.‎ 因为是的中点，‎ 所以．‎ 又因为平面，‎ 平面，‎ 所以∥平面． ……………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∥平面，‎ 所以与到平面的距离相等，‎ 所以．‎ 由题设及，得，且．‎ 所以，‎ 所以三棱锥的体积为． ………………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 如图，在中，内角的对边分别为，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，边上的中线的长为，求的面积．‎ 解：（Ⅰ）由．‎ 正弦定理，可得 即 可得：‎ 则…………………（6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知． ‎ 则．‎ 设，则，‎ 在中利用余弦定理：可得．‎ 即，可得，‎ 故得的面积．…………………（12分）‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 直角坐标系中，椭圆：的焦距为，过点 .‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，不经过原点的直线与椭圆相交于两点，线段被直线平分，且 ‎.求直线的方程.‎ 解： ‎ ‎（Ⅰ）设椭圆方程为，代入点，得，‎ 故椭圆方程为. ……………4分 ‎ ‎（Ⅱ）由条件知：，‎ 设： 代入得 ‎ ‎ ‎ ，………………6分 中点在直线上 ，‎ ‎ ， ………………8分 此时，‎ ‎， ‎ ‎ ‎ 解得，满足，‎ 故所求直线方程为. ………………12分 ‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.‎ ‎ 解：（Ⅰ）依题意，，‎ 因为，所以，‎ 所以椭圆方程为；……………4分 ‎（Ⅱ）设 ，‎ 则由，可得，‎ 即，‎ ‎，……………6分 又因为，所以四边形是平行四边形，‎ 设平面四边形的面积为，‎ 则……………10分 设，则，‎ 所以，因为，所以，所以，‎ 所以四边形面积的最大值为.……………12分