数学卷·2018届青海省西宁五中高二上学期11月月考数学试卷（解析版） 18页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年青海省西宁五中高二（上）11月月考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．）‎ ‎1．下列命题正确的是（　　）‎ A．经过三点确定一个平面．‎ B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．‎ C．经过一条直线和一个点确定一个平面．‎ D．四边形确定一个平面．‎ ‎2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．不在同一平面内 D．A，B，C均有可能 ‎3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　）‎ A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 ‎4．异面直线是指（　　）‎ A．空间中两条不相交的直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 ‎5．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（　　）‎ A．α内所有的直线都与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内所有的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点 ‎6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（　　）条 A．8 B．6 C．4 D．3‎ ‎7．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 ‎8．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎9．下列命题的正确的是（　　）‎ A．若直线 l上有无数个点不在平面 α内，则 l∥α B．若直线 l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 C．如果两条平行直线中的一条与一个平面α平行，那么另一条也与这个平面平行．‎ D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点 ‎10．圆锥的底面半径为a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是（　　）‎ A．2πa2 B．4πa2 C．πa2 D．3πa2‎ ‎11．如图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（　　）‎ A．π B．3π C．2π D．‎ ‎12．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）‎ A． +π B． +π C． +π D．1+π ‎　‎ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.‎ ‎13．四棱锥8条棱所在的直线能祖成　　对异面直线．‎ ‎14．一个底面直径和高都是4的圆柱的侧面积为　　．‎ ‎15．球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的　　倍．‎ ‎16．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共80分）.‎ ‎17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求异面直线AD1与A1C1所成的角．‎ ‎18．如图四棱锥P﹣ABCD，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点，且PA=AB=PB．‎ ‎（1）求证：PA∥平面BDE；‎ ‎（2）求EO与AB所成的角．‎ ‎19．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的中点，且异面直线AC与BD所成的角为450，AC=6，BD=4．求四边形EFGH的面积．‎ ‎20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．‎ ‎21．已知空间四边形ABCD中，对角线AC=，BD=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=2，求异面直线AC与EF所成的角．‎ ‎22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PAD．‎ ‎（2）若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年青海省西宁五中高二（上）11月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题，第小题5分，共60分．）‎ ‎1．下列命题正确的是（　　）‎ A．经过三点确定一个平面．‎ B．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面．‎ C．经过一条直线和一个点确定一个平面．‎ D．四边形确定一个平面．‎ ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】根据不共线的三点确定一个平面，可判断A是否正确；‎ 根据两条相交直线确定一个平面α，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合时，也在α内，由此可判断B正确；‎ 根据当点在直线上时，不能确定平面来判断C是否正确；‎ 根据空间四边形四点不共面来判断D是否正确．‎ ‎【解答】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；‎ 对B，∵两条相交直线确定一个平面α，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合，则第三条直线也在α内，∴两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故B正确；‎ 对C，当点在直线上时，不能确定平面，故C错误；‎ 对D，∵空间四边形不在一个平面内，故D错误．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（　　）‎ A．平行 B．相交 C．不在同一平面内 D．A，B，C均有可能 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】结合公理及正方体模型可以判断：A，B，C均有可能，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．‎ ‎【解答】解：如图，在正方体AC1中，‎ ‎∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥BC，‎ 又∵AD∥BC，∴选项A有可能；‎ ‎∵A1A⊥平面ABCD，∴A1A⊥AD，A1A⊥AB ‎，又∵AD∩AB=A，∴选项B有可能；‎ ‎∵A1A⊥平面ABCD，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴A1A⊥AC，A1A⊥A1D1，‎ 又∵AC与A1D1不在同一平面内，∴选项C有可能．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　　）‎ A．一条直线不相交 B．两条直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 ‎【考点】直线与平面平行的性质．‎ ‎【分析】根据直线与平面平行的定义可知直线与平面无交点，从而直线与平面内任意直线都无交点，从而得到结论．‎ ‎【解答】解：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点 ‎∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α没有公共点 从而直线a与平面α内任意一直线都没有公共点，则不相交 故选：D ‎　‎ ‎4．异面直线是指（　　）‎ A．空间中两条不相交的直线 B．平面内的一条直线与平面外的一条直线 C．分别位于两个不同平面内的两条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线 ‎【考点】异面直线的判定．‎ ‎【分析】依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除．‎ ‎【解答】解：A 不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行．‎ B 不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交．‎ C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交．‎ D 正确，这就是异面直线的定义．‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎5．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（　　）‎ A．α内所有的直线都与a异面 B．α内不存在与a平行的直线 C．α内所有的直线都与a相交 D．直线a与平面α有公共点 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据空间线面关系，直线a与平面α不平行，包含两种位置关系；一是直线a在平面内，另一个是直线a与α相交；由此解答．‎ ‎【解答】解：因为直线a与平面α不平行，所以直线a在平面内，或者直线a于α相交，所以直线a与平面α至少有一个交点；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（　　）条 A．8 B．6 C．4 D．3‎ ‎【考点】异面直线的判定．‎ ‎【分析】分别在两个底面和4个侧面内找出与对角线AC1异面的棱，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图：与对角线AC1异面的棱有 A1D1、A1B1、DD1、BB1、BC、CD 共6条，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交．‎ ‎【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】此题为一三棱锥，且同一点出发的三条棱长度为1，可以以其中两条棱组成的直角三角形为底，另一棱为高，利用体积公式求得其体积．‎ ‎【解答】解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，‎ 右图为该三棱锥的直观图，‎ 并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC．‎ 则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，‎ 所以这个几何体的体积，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．下列命题的正确的是（　　）‎ A．若直线 l上有无数个点不在平面 α内，则 l∥α B．若直线 l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 C．如果两条平行直线中的一条与一个平面α平行，那么另一条也与这个平面平行．‎ D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】A．若直线与平面相交，则除了交点以外的任何一个点都不在平面内，这样的点有无数个；‎ B．若直线l平行平面α，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以l与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面；‎ C．此题需注意考虑直线是否有可能在平面内；‎ D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点，所以l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．‎ ‎【解答】解：A．若直线与平面相交，则除了交点以外的无数个点都不在平面内，故①错误；‎ B．若直线l平行平面α，则l与平面α内的任一条直线有两种位置关系：平行、异面，故②错误；‎ C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条与这个平面可能平行，也有可能就在面内，故③错误；‎ D．若直线l与平面α平行，则l与平面α没有公共点，故l与平面α内的任意一条直线都没有公共点，故④正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．圆锥的底面半径为a，侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是（　　）‎ A．2πa2 B．4πa2 C．πa2 D．3πa2‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】由已知中底面半径为2的圆锥的侧面展开图是半圆，根据侧面展开图角度与母线，半径的关系，可求出圆锥的母线，代入侧面积公式可得答案．‎ ‎【解答】解：若圆锥的侧面展开图是半圆，‎ 则圆锥的母线长为底面半径的2倍 ‎∵圆锥的底面半径为a，‎ 故圆锥的母线长为2a，‎ 故圆锥的侧面积S=πrl=2πa2．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．如图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（　　）‎ A．π B．3π C．2π D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图可知：该几何体为圆锥，底面半径为1，母线长为2．即可得出．‎ ‎【解答】解：由三视图可知：该几何体为圆锥，底面半径为1，母线长为2．‎ ‎∴这个几何体的表面积==3π．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为（　　）‎ A． +π B． +π C． +π D．1+π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，‎ 半球的直径为棱锥的底面对角线，‎ 由棱锥的底底面棱长为1，可得2R=．‎ 故R=，故半球的体积为： =π，‎ 棱锥的底面面积为：1，高为1，‎ 故棱锥的体积V=，‎ 故组合体的体积为： +π，‎ 故选：C ‎　‎ 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.‎ ‎13．四棱锥8条棱所在的直线能祖成　8　对异面直线．‎ ‎【考点】异面直线的判定．‎ ‎【分析】利用异面直线的定义求解．‎ ‎【解答】解：如图所示，在四棱锥S﹣ABCD中，‎ 异面直线有：AB和SC，AB和SD，BC和SD，BC和SA，CD和SA，CD和SB，AD和SB，AD和SC．‎ 故答案为8‎ ‎　‎ ‎14．一个底面直径和高都是4的圆柱的侧面积为　16π　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】利用圆柱的侧面积计算公式能求出结果．‎ ‎【解答】解：一个底面直径和高都是4的圆柱的侧面积：‎ S=4π×4=16π．‎ 故答案为：16π．‎ ‎　‎ ‎15．球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的　8　倍．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】设球原来的半径为 r，则扩大后的半径为 2r，求出球原来的体积和后来的体积，计算球后来的体积与球原来的体积之比．‎ ‎【解答】解：设球原来的半径为 r，则扩大后的半径为 2r，球原来的体积为，球后来的体积为 =，‎ 球后来的体积与球原来的体积之比为=8，‎ 故答案为8．‎ ‎　‎ ‎16．一个横放的圆柱形水桶，桶内的水占底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为　（π﹣2）：4π　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】直接求出水桶两种放置时，水的体积相等，即可得到水的高度与桶的高度的比值．‎ ‎【解答】解：横放时水桶底面在水内的面积为．V水=（）h，直立时V水=πR2x，∴x：h=（π﹣2）：4π 故答案为：（π﹣2）：4π ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共80分）.‎ ‎17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求异面直线AD1与A1C1所成的角．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】连接AC，由题意AC∥A1C1，从而∠D1AC是异面直线AD1与A1C1所成的角，由此能求出异面直线AD1与A1C1所成的角．‎ ‎【解答】解：连接AC，由题意AC∥A1C1，‎ 从而∠D1AC是异面直线AD1与A1C1所成的角，‎ ‎∵AC=AD1=D1C ‎∴∠D1AC=60°，‎ ‎∴异面直线AD1与A1C1所成的角为60°．‎ ‎　‎ ‎18．如图四棱锥P﹣ABCD，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点，且PA=AB=PB．‎ ‎（1）求证：PA∥平面BDE；‎ ‎（2）求EO与AB所成的角．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接OE，易证OE∥AP，得PA∥平面BDE ‎（2）作BC的中点M并且连接OM，得∠EOM（或补角）就是EO与AB所成的角，解△OME 即可，‎ ‎【解答】解：（1）证明：连接OE，∵O是正方形的中心，E是PC的中点，‎ 易证OE∥AP，OE⊂平面BDE，AP⊄平面BDE，得PA∥平面BDE；‎ ‎（2）作BC的中点M并且连接OM，‎ 得 AB∥OM，∴∠EOM（或补角）就是EO与AB所成的角；‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，PA=AB=PB，得△OME为等边三角形，‎ ‎∴∠EOM=60°‎ ‎ 则异面直线所成角为60°‎ ‎　‎ ‎19．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的中点，且异面直线AC与BD所成的角为450，AC=6，BD=4．求四边形EFGH的面积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】连接HG、GF、FE、EH，则HG∥AC∥EF，HE∥BD∥GF，由此能证明四边形EFGH为平行四边形，且HE=2 EF=3，又所给条件得∠HEF=135°或45°，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：分别连接HG、GF、FE、EH，则HG∥AC∥EF，HE∥BD∥GF，‎ 可得四边形EFGH为平行四边形，且HE=2 EF=3，‎ 又所给条件得∠HEF=135°或45°‎ 由面积公式可得四边形EFGH的面积为3‎ ‎　‎ ‎20．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】几何体为圆台挖去一个圆锥，求出圆台和圆锥的底面半径，高和母线，代入面积公式和体积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：作CE⊥AB于E，作DF⊥CE于F，‎ 则AE=AD=2，CE=4，BE=3，∴BC=5，‎ 四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥，‎ 其中，圆台的上下底面半径为r1=2，r2=5，高为4，母线l=5，‎ 圆锥的底面半径为2，高为2，母线l′=2，‎ ‎∴几何体的表面积S=25π+π×2×5+π×5×5+=60π+4π．‎ 几何体的体积V=（25π+4π+）×4﹣×4π×2=．‎ ‎　‎ ‎21．已知空间四边形ABCD中，对角线AC=，BD=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=2，求异面直线AC与EF所成的角．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】作AD的中点 并且连接MF、EM，在△EMF中可由余弦定理能求出异面直线所成的角．‎ ‎【解答】解：作AD的中点M，连接MF、EM，‎ ‎∵对角线AC=，BD=2，E、F分别是AB、CD的中点，EF=2，‎ ‎∴MF=，EM=1，∠EFM是异面直线AC与EF所成的角．‎ 在△EMF中可由余弦定理得：‎ cos∠EFM===，‎ ‎∴∠EFM=30°．‎ 即异面直线所成的角为30°．‎ ‎　‎ ‎22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形．‎ ‎（1）求证：MN∥平面PAD．‎ ‎（2）若PA=AD=2a，MN与PA所成的角为30°．求MN的长．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）取PD的中点E，连接EN、EA，推导出四边形ENMA为平行四边形，从而MN∥AE，由此能证明MN∥平面PAD．‎ ‎（2）推导出△PAD是等边三角形，MN=PE，由此能求出结果．‎ ‎【解答】证明：（1）取PD的中点E，连接EN、EA，‎ ‎∵M，N分别是AB，PC的中点，ABCD是平行四边形，‎ ‎∴ENAM，∴四边形ENMA为平行四边形 ‎∴MN∥AE，‎ ‎∵MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，‎ ‎∴MN∥平面PAD．‎ ‎（2）∵E是PD中点，PA=AD=2a，‎ ‎∴AE是∠PAD的平分线，‎ ‎∵MN与PA所成的角为30°，MN∥AE，∴∠PAE=30°，‎ ‎∴△PAD是等边三角形，‎ ‎∴MN=PE==a．‎