2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十一双曲线新人教B版 0 14页

核心素养测评五十一 双曲线 ‎(30分钟　60分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1.已知双曲线的方程为-=1,则下列关于双曲线说法正确的是 (　　)‎ A.虚轴长为4　‎ B.焦距为2‎ C.离心率为　‎ D.渐近线方程为2x±3y=0‎ ‎【解析】选D.根据题意,依次分析选项:‎ 对于A,双曲线的方程为-=1,其中b=3,虚轴长为6,则A错误;‎ 对于B,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c==,则焦距为2,则B错误;对于C,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则c==,则离心率为e==,则C错误;‎ 对于D,双曲线的方程为-=1,其中a=2,b=3,则渐近线方程为2x±3y=0,则D正确.‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若=,则△PFO的面积为 (　　)‎ 14‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【解析】选A.由双曲线的方程-=1可得一条渐近线方程为y=x;‎ 在△PFO中,|PO|=|PF|,过点P作PH⊥OF,垂足为H,‎ 因为tan∠POF=得到PH=;‎ 所以S△PFO=××=.‎ ‎3.(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则=(　　)‎ A. B.3 C.2 D.4‎ ‎【解析】选B.渐近线方程为-y2=0,‎ 即y=±x,所以∠MON=.‎ 因为△OMN为直角三角形,假设∠ONM=,如图,‎ 则kMN=,所以直线MN方程为y=(x-2).‎ 14‎ 联立解得 所以N,即ON=,‎ 因为∠MON=,所以|MN|=3.‎ ‎4.(2020·山东新高考模拟)已知双曲线C过点(3,)且渐近线为y=±x,则下列结论正确的是 (　　)‎ A.C的方程为-y2=1‎ B.C的离心率为 C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点 D.直线x-y-1=0与C有两个公共点 ‎【解析】选AC.对于选项A:‎ ‎(方法一)设所求双曲线方程为-=1,由所给条件知=,又双曲线C过点(3,),从而-=1,解得a=,b=1,c=2,所以选项A正确;‎ ‎(方法二)由已知y=±x,可得y2=x2,从而设所求双曲线方程为x2-y2=λ,又由双曲线C过点(3,),从而×32-()2=λ,即λ=1,从而选项A正确;‎ 14‎ 对于选项B:由双曲线方程可知a=,b=1,c=2,从而离心率为e===,所以B选项错误;‎ 对于选项C:双曲线的右焦点坐标为(2,0),满足y=ex-2-1,从而选项C正确;‎ 对于选项D:联立整理,‎ 得y2-2y+2=0,由Δ=(-2)2-4×2=0,且直线斜率大于渐近线斜率,知直线与双曲线C只有一个交点,选项D错误.‎ ‎5.(2020·杭州模拟)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与双曲线C2:-=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且∠F1PF2=60°,若椭圆e1=,则双曲线C2的离心率e2= (　　)‎ A.　 B.　 C.3　 D.4‎ ‎【解析】选B.设|PF1|=s,|PF2|=t,P为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s-t=2m,解得s=a+m,t=a-m,在△F1PF2中,∠F1PF2=60°,可得4c2=s2+t2-2stcos 60°=a2+m2+2am+a2+m2-2am-(a2-m2),即有a2+3m2=4c2,可得+=4,即+=4,由e1=,可得e2=.‎ 二、填空题(每小题5分,共15分)‎ ‎6.双曲线+=1的焦距为________. ‎ ‎【解析】由题意可得(25-k)(9-k)<0,‎ 解得90,9-k<0,‎ 14‎ 双曲线方程为-=1,‎ 由c2=a2+b2=(25-k)+(k-9)=16,即c=4,所以2c=8.‎ 答案:8‎ ‎7.设m>0,双曲线M:-y2=1与圆N:x2+(y-m)2=5相切,A(-,0),B(,0),若圆N上存在一点P满足|PA|-|PB|=4,则点P到x轴的距离为________.  ‎ ‎【解析】由题意得,双曲线中a=2,c=,易知点A,B为双曲线的左、右焦点,又点P满足|PA|-|PB|=4=2a,所以点P是双曲线与圆的切点,且在双曲线的右支上,由圆方程可知其圆心为N(0,m),半径为,‎ 由 ‎ 得5y2-2my+m2-1=0,‎ 由Δ=(-2m)2-4×5×(m2-1)=0,‎ 又m>0,解得m=,‎ 则5y2-2·y+-1=0,‎ 解得y=,即所求距离为.‎ 答案:‎ ‎8.已知双曲线-=1,过点M(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于A,B两点.若△AOB是锐角三角形(O为坐标原点),则实数m的取值范围是________.  ‎ 14‎ ‎【解析】由题意得A,‎ Bm,-2,‎ 所以=,=m,-2,‎ 因为△AOB是锐角三角形,‎ 所以∠AOB是锐角,即与的夹角为锐角,‎ 所以·>0,即m2-+4>0,‎ 解得-2.‎ 故实数m的取值范围是(-2,-)∪(,2).‎ 答案:(-2,-)∪(,2)‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎9.(2020·济宁模拟)已知双曲线两个焦点分别是F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线上.‎ ‎(1)求双曲线的标准方程;‎ ‎(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为60°的直线与双曲线交于A,B两点,‎ 求△F1AB的周长.‎ ‎【解析】(1)由F1(-,0),F2(,0),点P(,1)在双曲线上,‎ 得c=,2a=|PF1|-|PF2|=-=2,‎ 所以a=1,则b2=c2-a2=1,‎ 所以双曲线的标准方程为x2-y2=1.‎ 14‎ ‎(2)双曲线的右焦点F2(,0),直线AB的斜率为,‎ 则直线方程为y=(x-),‎ 联立得2x2-6x+7=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=3,x1x2=.‎ 所以|AB|=·=4.‎ 因为|AF1|-|AF2|=2,|BF1|-|BF2|=2,‎ 所以|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4,‎ 则|AF1|+|BF1|=4+|AB|=8,‎ 所以△F1AB的周长为12.‎ ‎10.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点P(4,-).‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: MF1⊥MF2.‎ ‎【解析】(1)因为e=,‎ 所以可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).‎ 因为双曲线过点(4,-),所以16-10=λ,即λ=6.‎ 所以双曲线的方程为x2-y2=6,即-=1.‎ ‎(2)方法一:由(1)可知,a=b=,所以c=2,‎ 所以F1(-2,0),F2(2,0),‎ 14‎ ‎=(-2-3,-m),=(2-3,-m),‎ 所以·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,‎ 因为点M(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,即m2-3=0,所以·=0.‎ 所以MF1⊥MF2.‎ 方法二:由(1)可知,a=b=,‎ 所以c=2,所以F1(-2,0),F2(2,0),‎ 所以=,=,‎ ‎·==-.‎ 因为点M(3,m)在双曲线上,所以9-m2=6,m2=3,‎ 故·=-1,所以MF1⊥MF2.‎ ‎(15分钟　35分)‎ ‎1.(5分)-=2表示的曲线方程为 (　　)‎ A.x2-y2=1(x≤-1) 　　 B.x2-y2=1(x≥-1)‎ C.y2-x2=1(y≤-1) 　　 D.y2-x2=1(y≥1)‎ ‎【解析】选C.可看作动点(x,y)到点(0,)的距离,可看作动点(x,y)到点(0,-)的距离,则-=2表示动点(x,y)到(0,)和(0,-)的距离之差为2,符合双曲线的定义,且双曲线焦点在y轴上,又动点到(0,)的距离大于到(0,-)的距离,所以动点(x,y)的轨迹为双曲线的下支,则c=,a=1,所以b2=c2-a2=1,所以曲线方程为y2-x2=1(y≤-1).‎ ‎【变式备选】‎ 已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (　　)‎ 14‎ A.-=1(x≥)‎ B.-=1(x≤-)‎ C.+=1(x≥)‎ D.+=1(x≤-)‎ ‎【解析】选A.设动圆的半径为r,‎ 由题意可得|MC1|=r+,|MC2|=r-,所以|MC1|-|MC2|=2=2a,‎ 故由双曲线的定义可知动点M在以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点,实轴长为2a=2的双曲线的右支上,即a=,c=4⇒b2=16-2=14,故其标准方程为-=1(x≥).‎ ‎2.(5分)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,与双曲线的两条渐近线交于C,D两点,若|AB|≥|CD|,则双曲线离心率的取值范围为 (　　)‎ A.　 B.‎ C. D.‎ 14‎ ‎【解析】选B.将x=c代入-=1,‎ 得y=±,不妨取A,B,‎ 则|AB|=,将x=c代入y=±x,‎ 得y=±,不妨取C,D,‎ 则|CD|=.因为|AB|≥|CD|,所以≥×,即b≥c,则b2≥c2,‎ 又c2-a2=b2,‎ 所以c2-a2≥c2,即c2≥a2,‎ 则e2≥,则e≥.‎ ‎【变式备选】‎ ‎(2020·武汉模拟)已知A,B,C是双曲线-=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且2|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率是(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选B.设左焦点为F′,|AF|=m,连接AF′,CF′,则|FC|=2m,|AF′|=2a+m,‎ 14‎ ‎|CF′|=2a+2m,|FF′|=2c,‎ 因为BF⊥AC,且AB经过原点O,‎ 所以四边形FAF′B为矩形,‎ 在Rt△AF′C中,|AF′|2+|AC|2=|F′C|2,代入(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2,‎ 化简得m=,所以在Rt△AF′F中,‎ ‎|AF′|2+|AF|2=|F′F|2,‎ 代入+=(2c)2,‎ 化简得= ,即e=.‎ ‎3.(5分)P是双曲线C:x2-y2=2左支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线,P在l上的射影为Q,F2是双曲线C的右焦点,则|PF2|+|PQ|的最小值为 (　　)‎ A.　 B.‎ C.3　 D.2+‎ ‎【解析】选C.由题知|PF2|-|PF1|=2a=2,则|PF2|+|PQ|=|PF1|+|PQ|+2,由对称性,当F1,P,Q在同一直线上时|PF1|+|PQ|最小,由渐近线方程y=x,|F1O|=2知|F1Q|=,则|PF2|+|PQ|的最小值为3.‎ ‎4.(10分)(2019·福州模拟)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±x,‎ 14‎ 过点P.‎ ‎(1)求双曲线C的标准方程.‎ ‎(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线l的方程;如果不存在,请说明理由. ‎ ‎【解析】(1)双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=±x,‎ 设双曲线方程为x2-=λ(λ≠0),‎ 过点P,代入可得λ=1,‎ 所求双曲线方程为x2-=1.‎ ‎(2)假设直线l存在.设B(1,1)是弦MN的中点,‎ 且M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.因为M,N在双曲线上,‎ 所以 所以2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,‎ 所以4(x1-x2)=2(y1-y2),所以k==2,‎ 所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,‎ 联立方程组 ,得2x2-4x+3=0,‎ 因为Δ=16-4×3×2=-8<0,‎ 所以直线l与双曲线无交点,所以直线l不存在.‎ 14‎ ‎5.(10分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为且过点(,2). ‎ ‎(1)求双曲线的标准方程.‎ ‎(2)过点(0,1)且斜率为k的直线l与双曲线C相交于A,B两点,O为坐标原点,已知△OAB的面积为,求直线的斜率k.‎ ‎【解析】(1)依题意可得 ‎ 解得a=1,b=2,c=,‎ 所以双曲线的标准方程为x2-=1.‎ ‎(2)直线l的方程为y=kx+1,‎ 由可得(4-k2)x2-2kx-5=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),由Δ>0,可得k∈(-,),‎ 由根与系数的关系可得x1+x2=,x1·x2=,‎ ‎|AB|=·‎ ‎=·‎ ‎=4·,‎ 14‎ O到直线l的距离d=,‎ 所以S△OAB=|AB|·d=2,‎ 由S△OAB=得4k4-23k2+19=0,‎ 解得k=±,±1∈(-,),‎ 所以直线的斜率k=±,±1.‎ 14‎