专题13 空间中的平行与垂直（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 13页

专题13 空间中的平行与垂直（仿真押题）‎ ‎2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 ‎1．已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)‎ A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析：设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．‎ 答案：D ‎2．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；‎ ‎②若m∥l，且m∥α，则l∥α；‎ ‎③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；‎ ‎④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.‎ 其中正确命题的个数是(　　)‎ A．1　　　　　　　　　 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例证明，故选B.‎ 答案：B ‎3．如图所示，O为正方体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是(　　)‎ A．A1D B．AA1‎ C．A1D1 D．A1C1‎ 解析：由题意知，A1C1⊥平面DD1B1B，又OB1⊂面DD1B1B，所以A1C1⊥OB1，故选D.‎ 答案：D ‎4．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，给出下列命题：‎ ‎①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；‎ ‎②若m∥α，m∥β，则α∥β；‎ ‎③若m∥α，n∥α，则m∥n；‎ ‎④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.‎ 上述命题中，所有真命题的序号是(　　)‎ A．①④ B．②③‎ C．①③ D．②④‎ 解析：由线面垂直的性质定理知①④正确；平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故②错；平行于同一平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，故③错．选A.‎ 答案：A ‎5.如图，在三棱锥PABC中，不能证明AP⊥BC的条件是(　　)‎ A．AP⊥PB，AP⊥PC B．AP⊥PB，BC⊥PB C．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC D．AP⊥平面PBC ‎6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)‎ A．垂直 B．相交不垂直 C．平行 D．重合 解析：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.‎ 答案：C ‎7．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是(　　)‎ A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m ‎8．以下命题中真命题的个数是(　　)‎ ‎①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；‎ ‎②若直线a在平面α外，则a∥α；‎ ‎③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；‎ ‎④若直线a∥b，b⊂α，则a平行于平面α内的无数条直线．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 解析　①中l可以在平面α内；②中直线a可以与平面 α相交，故错误；③a可以在平面α内；④正确．‎ 答案　A ‎9．如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．直线AB与平面BEF所成的角为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎10． a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出六个命题：‎ ‎①⇒a∥b；②⇒a∥b；‎ ‎③⇒α∥β；④⇒α∥β；‎ ‎⑤⇒α∥a；⑥⇒a∥α.‎ 其中正确的命题是(　　)‎ A．①②③ B．①④⑤ C．①④ D．①③④‎ 解析　①④正确．②错，a、b可能相交或异面．③错，α与β可能相交．⑤⑥错，a可能在α内．‎ 答案　C ‎11．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，命题p：若m∥n，m∥β，则n∥β，命题q：“m⊥β，n⊥β，n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件，则下列结论正确的是(　　)‎ A．p∧(綈q)是真命题 B．(綈p)∨q是真命题 C．(綈p)∧q是假命题 D．p∨q是假命题 解析　对于命题p，若m∥n，m∥β，则n可能在平面β内，故命题p为假命题；对于命题q，若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则有m⊥α，故命题q是真命题，故綈p为真命题，綈q为假命题，故(綈p)∨q是真命题，选B.‎ 答案　B ‎12.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点，现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长，其中正确的是(　　)‎ A．①② B．①②③ C．① D．②③‎ ‎13. 如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是(　　) ‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析　∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，‎ ‎∴b⊥面ABC，‎ ‎∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．‎ 答案　B ‎14．在正三棱锥PABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．‎ 解析　如图，∵PABC为正三棱锥，‎ ‎∴PB⊥AC.‎ 又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，‎ AC⊄平面PDE，‎ ‎∴AC∥平面PDE.故①②正确．‎ 答案　①②‎ ‎15．给出命题：‎ ‎①在空间中，垂直于同一平面的两个平面平行；‎ ‎②设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；‎ ‎③已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；‎ ‎④在三棱锥SABC中，SA⊥BC，SB⊥AC，则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心；‎ ‎⑤a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一条平行．‎ 其中，正确的命题是________(只填序号)．‎ 解析　①错误，垂直于同一个平面的两个平面也可能相交；③错误，“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件；⑤错误，只有当异面直线a，b垂直时才可以作出满足要求的平面；易知②④正确．‎ 答案　②④‎ ‎16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：‎ ‎①AB⊥EF；‎ ‎②AB与CM所成的角为60°；‎ ‎③EF与MN是异面直线；‎ ‎④MN∥CD.‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ 解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体， 如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，故①③正确．‎ 答案　①③‎ ‎17．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________．‎ ‎①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒Ρ∈b.‎ 解析　a∩α＝P时，P∈a，P∈α，‎ 但a⊄α，∴①错；‎ a∩β＝P时，②错；如图，‎ ‎∵a∥b，P∈b，∴P∉a，‎ ‎∴直线a与点P确定唯一平面α，‎ 又a∥b，a与b确定唯一平面γ，‎ 但γ经过直线a与点P，由公理2，‎ ‎∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确；‎ 两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．‎ 答案　③④‎ ‎18．如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.‎ 解析　如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，‎ ‎∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，‎ ‎∴PQ∥AC.又∵AP＝，‎ ‎∴＝＝＝，∴PQ＝AC＝a.‎ 答案　a ‎19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是棱DD1 、C1D1的中点．‎ ‎ (1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值；‎ ‎(2)证明：B1F∥平面A1BE.‎ ‎(1)解　设G是AA1的中点，连接GE，BG.‎ ‎∵E为DD1的中点，ABCD－A1B1C1D1为正方体，‎ ‎∴GE∥AD，‎ 又∵AD⊥平面ABB1A1，∴GE⊥平面ABB1A1，且斜线BE在平面ABB1A1内的射影为BG，∴Rt△BEG中的∠EBG是直线BE和平面ABB1A1所成角，即∠EBG＝θ.设正方体的棱长为a，‎ ‎∴GE＝a，BG＝a，‎ BE＝＝a，‎ ‎∴直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值为：sin θ＝＝.‎ ‎20．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，E是棱CD上的一点．‎ ‎(1)求证：AD1⊥平面A1B1D；‎ ‎(2)求证：B1E⊥AD1；‎ ‎(3)若E是棱CD的中点，在棱AA1上是否存在点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，‎ 求出线段AP的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎(1)证明　在长方体ABCDA1B1C1D1中，‎ 因为A1B1⊥平面A1D1DA，AD1⊂平面A1D1DA，所以A1B1⊥AD1.‎ 在矩形A1D1DA中，‎ 因为AA1＝AD＝2，‎ 所以AD1⊥A1D.A1D∩A1B1＝A1，‎ 所以AD1⊥平面A1B1D.‎ ‎(2)证明　因为E∈CD，‎ 所以B1E⊂平面A1B1CD，‎ 由(1)可知，AD1⊥平面A1B1CD，‎ 所以B1E⊥AD1.‎ ‎(3)解　当点P是棱AA1的中点时，有DP∥平面B1AE.‎ 理由如下：‎ 在AB1上取中点M，连接PM，ME.‎ 因为P是棱AA1的中点，M是AB1的中点，‎ 所以PM∥A1B1，且PM＝A1B1.‎ 又DE∥A1B1，且DE＝A1B1，‎ 所以PM∥DE，且PM＝DE，‎ 所以四边形PMED是平行四边形，‎ 所以DP∥ME.‎ 又DP⊄平面B1AE，ME⊂平面B1AE，‎ 所以DP∥平面B1AE.‎ 此时，AP＝A1A＝1.‎ ‎21．如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC＝.‎ ‎(1)证明：平面ABEF⊥平面BCDE；‎ ‎(2)求三棱锥E－ABC的体积．‎ ‎(1)证明　正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点为G，‎ 易知AC⊥BE，且AG＝CG＝，‎ 在多面体中，由AC＝，知AG2＋CG2＝AC2，‎ 故AG⊥GC，‎ 又GC∩BE＝G，GC，BE⊂平面BCDE，‎ 故AG⊥平面BCDE, ‎ 又AG⊂平面ABEF，‎ 所以平面ABEF⊥平面BCDE.‎ ‎(2)解　连接AE、CE，则AG为三棱锥A－BCE的高，GC为△BCE的高．在正六边形ABCDEF中，BE＝2AF＝4，‎ 故S△BCE＝×4×＝2，‎ 所以VE－ABC＝VA－BCE＝×2×＝2.‎ ‎22．如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠BAD＝60°，E是AD的中点，点Q在侧棱PC上．‎ ‎(1)求证：AD⊥平面PBE；‎ ‎(2)若Q是PC的中点，求证：PA∥平面BDQ；‎ ‎(3)若VPBCDE＝2VQABCD，试求的值．‎ 解析：(1)证明：由E是AD的中点，PA＝PD可得AD⊥PE.‎ 又底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，‎ 所以AB＝BD，又因为E是AD的中点，所以AD⊥BE，‎ 又PE∩BE＝E，所以AD⊥平面PBE.‎ ‎(2)证明：连接AC(图略)，交BD于点O，连接OQ.‎ 因为O是AC的中点，‎ Q是PC的中点，‎ 所以OQ∥PA，‎ 又PA⊄平面BDQ，OQ⊂平面BDQ，‎ 所以PA∥平面BDQ.‎ ‎(3)设四棱锥PBCDE，QABCD的高分别为h1，h2.‎ 所以VPBCDE＝S四边形BCDEh1，‎ VQABCD＝S四边形ABCDh2.‎ 又因为VPBCDE＝2VQABCD，‎ 且S四边形BCDE＝S四边形ABCD，所以＝＝.‎ ‎23．一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，GH的中点为N.‎ ‎(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；‎ ‎(2)证明：直线MN∥平面BDH；‎ ‎(3)过点M，N，H的平面将正方体分割为两部分，求这两部分的体积比．‎ 解析：(1)点F，G，H的位置如图所示．‎ ‎ ‎ ‎(3)由(2)知，OM∥NH，OM＝NH，连接GM，MH，过点M，N，H的平面就是平面GMH，它将正方体分割为两个同高的棱柱，高都是GH，底面分别是四边形BMGF和三角形MGC，‎ 体积比等于底面积之比，即3∶1.‎ ‎ ‎ ‎ ‎