高中数学选修2-2教学课件1_3_1 函数的单调性与导数 27页

1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具 . 那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷 . 过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用吧！ 1. 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理 . （重点） 2. 利用导数判断函数单调性 . （难点） 3. 掌握利用导数判断函数单调性的方法 . 图 (1) 表示高台跳水运动员的高 度 随时间 t 变化的函数 的图 象 , 图 (2) 表示高台跳水运动员 的速度 随时间 t 变化的函 数 的图象 . 运 动员从起跳到最高点 , 以及从 最高点到入水这两段时间的运 动状态有什么区别 ? a a b b t t v h O O (1) (2) 探究：函数的单调性与其导函数的关系 a a b b t t v h O O ① 运动员从起跳到最高点 , 离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加 , 即 h(t) 是增函数 . 相应地 , ② 从最高点到入水 , 运动员离水面的高 度 h 随时间 t 的增加 而减小 , 即 h(t) 是 减函数 . 相应地 , (1) (2) O O O O 例 1 已知导函数 的下列信息 : 当 1 < x < 4 时 , 当 x > 4 , 或 x < 1 时 , 当 x = 4 , 或 x = 1 时 , 试画出函数 f （ x ）图象的大致形状 . 解 : 当 1 < x < 4 时 , 可知 在此区间内单调递增 ; 当 x > 4 , 或 x < 1 时 , 可知 在这两个区间内单调递减 ; 当 x = 4 , 或 x = 1 时 , 综上 , 函数 图象的大致形状如图所示 . x y O 1 4 y= 例 2 判断下列函数的单调性 , 并求出单调区间 : 解 : (1) 因为 , 所以 因此 , 函数 在 上单调递增 . 如图 (1) 所示 单调递减 单调递增 单调递减 根据导数确定函数的单调性步骤： 1. 确定函数 f(x) 的定义域 . 2. 求出函数的导数 . 3. 解不等式 f ´ (x)>0, 得函数单调增区间 ; 解不等式 f´(x)<0, 得函数单调减区间 . 总结提升 例 4 已知函数 f(x) ＝ ax 3 ＋ 3x 2 － x ＋ 1 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是减函数，求实数 a 的取值范围． 【 解析 】 f′(x) ＝ 3ax 2 ＋ 6x － 1 ， 由题意得 3ax 2 ＋ 6x － 1≤0 在 ( － ∞ ，＋ ∞) 上恒成立． 当 a ＝ 0 时， 6x － 1≤0 ， x≤ 不满足题意，∴ a≠0. 当 a≠0 时，由题意得， 解得 a≤ － 3. 综上可知，实数 a 的取值范围是 a≤ － 3. 1. 函数 y=3x － x 3 的单调增区间是 ( ) A.(0 ， +∞) B.( －∞，－ 1) C.( － 1 ， 1) D.(1 ， +∞) C 2. （ 2014 ·新课标全国 2 ）若函数 在区间 单调递增，则 k 的取值范围是 ( ) A . B. C. D. D 3 ．函数 y=xlnx 在区间 (0 ， 1) 上是 ( ) A. 单调增函数 B. 单调减函数 C. 在 (0, ) 上是减函数，在 ( , 1) 上是增函数 D. 在 ( , 1) 上是减函数，在 (0, ) 上是增函数 C 4 ．函数 y = x 2 ( x +3) 的单调递减区间是 ， 单调递增区间是 . ( － 2 ， 0) ( －∞，－ 2),(0 ， +∞) 5 ．函数 f ( x )=cos 2 x 的单调递减区间是 . ( k π, k π+ ), k ∈Z 1. 求可导函数 f(x) 单调区间的步骤： (1) 求 (2) 解不等式 >0( 或 <0) (3) 确认并指出递增区间（或递减区间） 2. 证明可导函数 f(x) 在 (a,b) 内的单调性的方法： (1) 求 (2) 确认 在 (a,b) 内的符号 (3) 作出结论 古之成大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志也 .