数学卷·2018届四川省成都市龙泉驿区高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版） 11页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年四川省成都市龙泉驿区高二（上）期末数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．直线x﹣2017=0的倾斜角为（　　）‎ A．0 B． C． D．不存在 ‎2．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（　　）‎ A．101 B．808 C．1212 D．2012‎ ‎3．已知p1：直线l1：x﹣y﹣1=0与直线l2：x+ay﹣2=0平行，q：a=﹣1，则p是q的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（　　）‎ A． B．2 C． D．1‎ ‎5．已知O，A，B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过的范围内对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若点A的坐标为（3，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为（　　）‎ A．（0，0） B． C． D．（2，2）‎ ‎7．某班对一模考试数学成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将70个同学按00，01，02，…，69进行编号，然后从随机数表第9行第9列的数开始向右读，则选出的第10个样本中第8个样本的编号是（　　） （注：如表为随机数表的第8行和第9行）‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．‎ A．07 B．44 C．38 D．51‎ ‎8．算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（　　）‎ A．一个算法只能含有一种逻辑结构 B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构 C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构 D．一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合 ‎9．如图，边长为a的正方形最长的网格中，设椭圆C1，C2，C3的离心率分别为e1，e2，e3，则（　　）‎ A．e1=e2＜e3 B．e1＜e2=e3 C．e1=e2＞e3 D．e2=e3＜e1‎ ‎10．下列说法错误的是（　　）‎ A．命题“若x2﹣5x﹣6=0”则“x=2”的逆否命题是“若x≠2”则“x2﹣5x﹣6≠0”‎ B．若命题p：存在，则￢p：对任意x∈R，x2+x+1≥0‎ C．若x，y∈R，则x=y是“”的充要条件 D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p和q中必一真一假 ‎11．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|=4|EF|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎13．若直线ax+2y+4=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值为　　．‎ ‎14．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=　　．‎ ‎15．如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=　　．‎ ‎16．下列结论：‎ ‎①一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；‎ ‎②设k＜3，k≠0，则与必有相同的焦点；‎ ‎③点P（m，3）在圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的外部；‎ ‎④已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by﹣c=0通过第一、三、四象限．‎ 其中正确的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（10分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：‎ ‎（1）顶点C的坐标；‎ ‎（2）直线BC的方程．‎ ‎18．（12分）“双节”期间，告诉公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在 B． C． D．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．．‎ ‎【解答】解：作出不等式对应的平面区域，‎ 则z=x2+y2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，‎ 则当动点P位于A时，OA的距离最大，‎ 当直线x+y=2与圆x2+y2=z相切时，距离最小，‎ 即原点到直线x+y=2的距离d=，即z的最小值为z=d2=2，‎ 由，解得，即A（3，2），‎ 此时z=x2+y2=32+22=9+4=13，‎ 即z的最大值为13，‎ 即2≤z≤13，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．‎ ‎　‎ ‎12．已知E，F为双曲线的左右焦点，抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，且与双曲线交于A、B不同两点，若5|AF|=4|EF|，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义求出|BE|=10a，|BF|=8a，结合抛物线的定义求出交点B的纵坐标，结合直角三角形的边角关系建立方程进行求解即可．‎ ‎【解答】解：根据双曲线和抛物线的对称性得|BF|=|AF|=|BE|，‎ ‎∵|BE|﹣|BF|=2a，‎ ‎∴|BE|﹣|BE|=|BE|=2a，‎ 则|BE|=10a，|BF|=8a，‎ ‎∵抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有公共的焦点F，‎ ‎∴=c，且x=﹣c是抛物线的准线，‎ 则|BD|=|BF|=8a，‎ 设B（x，y），则由抛物线的性质得x+c=8a，即x=8a﹣c，‎ 代入抛物线方程y2=2px=4cx得y2=4c（8a﹣c），‎ 则|DE|2=y2=4c（8a﹣c），‎ 在直角三角形BDE中，‎ BE2=DE2+BD2，‎ 即100a2=64a2+4c（8a﹣c），‎ 即36a2﹣32ac+4c2=0，‎ 即c2﹣8ac+9a2=0，‎ 解e2﹣8e+9=0，‎ 得e==4±，‎ ‎∵0＜a＜b，‎ ‎∴e==＞，‎ ‎∴e=4+，‎ 故选：A ‎【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的定义建立方程关系，求出a，c的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.‎ ‎13．若直线ax+2y+4=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，那么a的值为　﹣2　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：由于直线x+y﹣2=0的斜率存在，且直线ax+2y+4=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，‎ 则﹣1×（﹣）=﹣1，解得a=﹣2．‎ 故答案为﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知直线5x+12y+m=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则m=　8或﹣18　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．‎ ‎【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1‎ 故圆的圆心为（1，0），半径为1‎ 直线与圆相切 ‎∴圆心到直线的距离为半径 即=1，求得m=8或﹣18‎ 故答案为：8或﹣18‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．解题的过程充分利用数形结合的思想和直线与圆相切的性质．‎ ‎　‎ ‎15．如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=　4　．‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】计算循环中x，与i的值，当x＜1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．‎ ‎【解答】解：循环前x=3.5，不满足判断框条件，‎ 第1次循环，i=2，x=2.5，‎ 第2次判断后循环，i=3，x=1.5，‎ 第3次判断并循环i=4，x=0.5，满足判断框的条件退出循环，输出i=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．下列结论：‎ ‎①一次试验中不同的基本事件不可能同时发生；‎ ‎②设k＜3，k≠0，则与必有相同的焦点；‎ ‎③点P（m，3）在圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的外部；‎ ‎④已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by﹣c=0通过第一、三、四象限．‎ 其中正确的序号是　②③④　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①，基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的； ‎ ‎②，设k＜3，k≠0，当0＜k＜3，则0＜3﹣k＜3，表实轴为x轴的双曲线，a2+b2=3=c2．‎ 当k＜0时，﹣k＞0，且3﹣k＞﹣k，表实轴为x轴焦点在x轴上的椭圆．a2=3﹣k，b2=﹣k．‎ ‎③，（m﹣2）2+（3﹣1）2＞2，可判定 ‎④把直线的方程化为斜截式，判断斜率及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置 ‎【解答】解：对于①，∵基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生．故正确 ‎ 对于②，设k＜3，k≠0，当0＜k＜3，则0＜3﹣k＜3，‎ 表实轴为x轴的双曲线，a2+b2=3=c2．‎ ‎∴二曲线有相同焦点；当k＜0时，﹣k＞0，且3﹣k＞﹣k，表实轴为x轴焦点在x轴上的椭圆．a2=3﹣k，b2=﹣k．‎ ‎∴a2﹣b2=3=c2与已知椭圆有相同焦点．故正确；‎ 对于③，∵（m﹣2）2+（3﹣1）2＞2，∴点P（m，3）在圆（x﹣2）2+（y﹣1）2=2的外部，故正确；‎ 对于④，由ab＜0，bc＜0得，则直线ax+by﹣c=0的斜率k＞0，直线在y轴上的截距为，故直线第一、三、四象限，正确．‎ 故答案为：②③④‎ ‎【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及了大量的基础知识，属于基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ‎17．（10分）（2016秋•龙泉驿区期末）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0．AC边上的高BH所在直线为x﹣2y﹣5=0．求：‎ ‎（1）顶点C的坐标；‎ ‎（2）直线BC的方程．‎ ‎【考点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】（1）先求直线AC的方程，然后求出C的坐标．‎ ‎（2）设出B的坐标，求出M代入直线方程为2x﹣y﹣5=0，与直线为x﹣2y﹣5=0．联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程．‎ ‎【解答】解：直线AC的方程为：‎ y﹣1=﹣2（x﹣5），‎ 即2x+y﹣11=0，‎ 解方程组得则C点坐标为（4，3）．‎ 设B（m，n），‎ 则M（，），，‎ 整理得，‎ 解得则B点坐标为（﹣1，﹣3），‎ y﹣3=（x﹣4），‎ 即6x﹣5y﹣9=0．‎ ‎【点评】本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•龙泉驿区期末）“双节”期间，告诉公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；后得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；‎ ‎（2）若从车速在=0，‎ ‎∴（y1﹣2）（y2﹣2）=0或（y1+2）（y2+2）+16=0．‎ ‎∴n=2m﹣1或n=2m+5，∵△＞0恒成立，∴n=2m+5．‎ ‎∴直线PQ的方程为x﹣5=m（y+2），‎ ‎∴直线PQ过定点（5，﹣2）．‎ ‎（Ⅱ）解：假设存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，由第（Ⅰ）问可知，将n用2m+5代换得直线PQ的方程为x=my+2m+5．设点P、Q的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2，y2），直线方程代入抛物线方程，消x得y2﹣4my﹣8m﹣20=0．‎ ‎∴y1+y2=4m，y1•y2=﹣8m﹣20．‎ ‎∴PQ的中点坐标为（2m2+2m+5，2m）．‎ 由已知得，即m3+m2+3m﹣1=0．‎ 设g（m）=m3+m2+3m﹣1，则g′（m）=3m2+2m+3＞0，‎ ‎∴g（m）在R上是增函数．‎ 又g（0）=﹣1＜0，g（1）=4＞0，∴g（m）在（0，1）内有一个零点．‎ ‎∴函数g（m）在R上有且只有一个零点，即方程m3+m2+3m﹣1=0在R上有唯一实根．‎ 所以满足条件的等腰三角形有且只有一个．‎ ‎【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合问题．解决第一问的巧妙之处在于直线方程的设法．当直线的斜率不确定存在时，为避免讨论，常设直线方程为x=my+n的形式．‎ ‎　‎