数学理卷·2017届云南省楚雄市高三下学期统测（2017 10页

‎2017年高中毕业生第一次复习统一检测试题 ‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎ 1．本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上．‎ ‎ 2．回答第1卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．‎ ‎ 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎ 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 若集合A={y|y=2x+2}，B={x|﹣x2+x+2≥0}，则 ‎ A．A⊆B B．A∪B=R C．A∩B={2} D．A∩B=∅‎ ‎2. 已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=‎ A．2 B．2 C． D．‎ ‎3. 若等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若∀n∈N*，都有Sn≤S10，则 ‎ A．∀n∈N*，都有an＜an﹣1 B．a9•a10＞0‎ ‎ C．S2＞S17 D．S19≥0‎ ‎4. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是 A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎5. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎6. 已知随机变量x服从正态分布N（3，σ2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=‎ ‎ A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16‎ ‎7. 使（x2+）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是 A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎8.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在l上的射影为A1．若|AB|=|A1B|，则直线AB的斜率为 ‎ A．±3 B．±2 C．±2 D．±‎ ‎ ‎ ‎9. 已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2的正四棱锥S﹣ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1拼接而成，则球O的表面积为（　　）‎ A． B．64π C．100π D．‎ ‎10.已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11. 已知曲线f（x）=ex﹣与直线y=kx有且仅有一个公共点，则实数k的最大值是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎12.公差不为0的等差数列{an}的部分项an1，a，a，…构成等比数列{a}，且n2=2，n3=6，n4=22，则下列项中是数列{a}中的项是 ‎ A．a46 B．a89 C．a342 D．a387‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分）‎ ‎13. 已知向量=（x﹣z，1），=（2，y+z），且，若变量x，y满足约束条件，则z的最大值为　　‎ ‎14.抛物线y2=﹣12x的准线与双曲线﹣=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于______ ‎ ‎15.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．‎ ‎16．在等比数列{an}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=　　‎ 三、解答题（本大题满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．‎ ‎（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；‎ ‎（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．‎ ‎18. （本题满分12分）‎ 某单位利用周末时间组织员工进行一次“健康之路，携手共筑”徒步走健身活动，有n人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为25，30），30，35]，35，40），40，45），45，50），50，55]六组，其频率分布直方图如图所示．已知35，40）之间的参加者有8人．‎ ‎（1）求n的值并补全频率分布直方图；‎ ‎（2）已知30，40）岁年龄段中采用分层抽样的方法抽取5人作为活动的组织者，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在30，35）岁的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）．‎ ‎19.（本题满分12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．‎ ‎（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；‎ ‎（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求二面角B﹣AC﹣A1的余弦值．‎ ‎20.（本题满分12分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．‎ ‎21.（本题满分12分）已知函数f（x）=e﹣x﹣ax（x∈R）．‎ ‎（Ⅰ） 当a=﹣1时，求函数f（x）的最小值；‎ ‎（Ⅱ） 若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 请考生在第22、23两题中选定一题作答，多答按所答第一题评分.作答时使用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑 22. ‎（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 ‎ 在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求圆C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲．‎ ‎ 设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．‎ ‎2017届高中毕业生第一次复习统一检测 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B D B C B C B C C D C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎3‎ ‎9‎ 三、解答题（本大题满分70分）‎ ‎17.解：1）由正弦定理得： =，即=，‎ ‎ 所以BC=4sinθ．‎ ‎ 又∵∠C=π﹣﹣θ，‎ ‎ ∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．‎ ‎ ∴=即=，‎ ‎ ∴AB=4sin（+θ）． ----------------------------------------------------------------------------6分 ‎（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，‎ ‎ 所以，8sin（+θ）×=6，‎ ‎ 整理，得sin（+θ）=．‎ ‎ ∵0＜+θ＜π， ∴+θ=或+θ=，‎ ‎ ∴θ=，或θ=．‎ ‎ ∴△ABC是直角三角形． -------------------------------------------------------------12分 ‎18. 解：解：（1）年龄在35，40）之间的频率为0.04×5=0.2，‎ ‎∵=0.2，∴n==40，‎ ‎∵第二组的频率为：‎ ‎1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5=0.3，‎ ‎∴第二组的矩形高为： =0.06，‎ ‎∴频率分布直方图如右图所示． -------------------------6分 ‎（2）由（1）知，30，35）之间的人数为0.06×5×40=12，‎ 又35，40）之间的人数为8，‎ ‎∵30，35）岁年龄段人数与35，40）岁年龄段人数的比值为12：8=3：2，‎ ‎∴采用分层抽样抽取5人，其中30，35）岁中有3人，35，40）岁中有2人，‎ 由题意，随机变量ξ的甩有可能取值为1，2，3，‎ P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， P（ξ=3）==，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ‎ ξ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P Eξ==． ------------------------------------------------------------12分 ‎19．解：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连CO，OA1，A1B，‎ ‎∵AB=AA1，∠BAA1=60°，‎ ‎∴△A1AB为正三角形，‎ ‎∴A1O⊥AB，‎ ‎∵CA=CB，∴CO⊥AB，‎ ‎∵CO∩A1O=O，‎ ‎∴AB⊥平面COA1，‎ ‎∵A1C⊂平面COA1，‎ ‎∴AB⊥A1C．‎ ‎（Ⅱ）解：∵AB=CB=2，AB=AA1，CA=CB，∠BAA1=60°，‎ ‎∴CO=A1O==，‎ ‎∵A1C=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴OC⊥A1O，‎ ‎∵OC∩AB=O，∴A1O⊥平面ABC， ---------------------------------------------------5分 建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，‎ O（0，0，0），A（1，0，0），，C（0，0，），‎ 设平面AA1C的法向量为，‎ 则，，‎ ‎∴，‎ ‎∴=（，1，1），‎ 平面向量ACB的法向量=（0，1，0），‎ cos＜＞==．‎ ‎∴二面角B﹣AC=A1的余弦值为．----------------------------------------------------------12分 ‎20．解：（1）由离心率为，得=，‎ 即c=a，①‎ 又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，‎ 且与直线相切，‎ 所以，代入①得c=2，‎ 所以b2=a2﹣c2=2．‎ 所以椭圆C的标准方程为+=1．--------------------------------------------------------4分 ‎（2）由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，‎ ‎△=144k4﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 所以x1+x2=，x1x2=，‎ 根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），‎ 使得为定值，‎ 则有=（x1﹣m，y1）•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）•（x2﹣m）+y1y2‎ ‎=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）‎ ‎=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）‎ ‎=（k2+1）•﹣（2k2+m）•+（4k2+m2）‎ ‎=，‎ 要使上式为定值，即与k无关，则应3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），‎ 即，此时=为定值，定点E为． -----------------12分 ‎21．解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=e﹣x+x，‎ 则． ---------------------------------------------------------------------------1分 令f'（x）=0，得x=0．‎ 当x＜0时，f'（x）＜0； 当x＞0时，f'（x）＞0．…2分 ‎∴函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，在区间（0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴当x=0时，函数f（x）取得最小值，其值为f（0）=1． ------------------------------3分 ‎（Ⅱ）若x≥0时，f（﹣x）+ln（x+1）≥1，‎ 即ex+ax+ln（x+1）﹣1≥0．（*）‎ 令g（x）=ex+ax+ln（x+1）﹣1，‎ 则．‎ ‎①若a≥﹣2，由（Ⅰ）知e﹣x+x≥1，即e﹣x≥1﹣x，故ex≥1+x．‎ ‎∴．------------4分 ‎∴函数g（x）在区间0，+∞）上单调递增．‎ ‎∴g（x）≥g（0）=0．‎ ‎∴（*）式成立．…5分 ‎②若a＜﹣2，令，‎ 则．‎ ‎∴函数φ（x）在区间0，+∞）上单调递增．‎ 由于φ（0）=2+a＜0，‎ ‎．-----------------------------6分 故∃x0∈（0，﹣a），使得φ（x0）=0．…7分 则当0＜x＜x0时，φ（x）＜φ（x0）=0，即g'（x）＜0．‎ ‎∴函数g（x）在区间（0，x0）上单调递减．‎ ‎∴g（x0）＜g（0）=0，即（*）式不恒成立．…8分 综上所述，实数a的取值范围是﹣2，+∞）．…9分 ‎（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当a=﹣2时，‎ g（x）=ex﹣2x+ln（x+1）﹣1在0，+∞）上单调递增．‎ 则，即 ---------------------------------------10分 ‎∴．…11分 ‎∴，即．----------------------------------------------------------------------12分 ‎22．选修4－4：坐标系与参数方程．‎ 解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，‎ 所以x2+y2=4x+4y﹣6，‎ 所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，‎ 即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…‎ 所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）． -----------------------------5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…‎ 当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6． --------------10分 ‎23.选修4－5：不等式选讲 解：1）函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|=，故函数的减区间为（﹣∞，]，增区间为（，+∞），‎ 故当x=时，函数f（x）取得最小值为a=． ----------------------------------------------5分 ‎（2）已知m，n＞0，m+n=a=，∴=（+）•= 1+++4]= +（+）‎ ‎≥+•2=6，当且仅当=时，取等号，‎ 故的最小值为6．-------------------------------------------------------------------------------10分