宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第7次周练卷数学（理）试题 6页

‎2019-2020学年高三年级第二学期数学（理）第7次周测 时间：2020年5月11日 16:25—17:05 命题人 ‎ 班级 _____________ 姓名 ___________ 得分___________‎ 温馨提示：从每道题中选做一题完成即可。‎ ‎1.4-4已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）求直线被曲线截得的弦长．来源.Com]‎ ‎ 4-5已知x,y均为正数,且x>y,求证2x+≥2y+3‎ ‎2．4-4在极坐标系中，点的极坐标是，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线经过点．‎ ‎（Ⅰ）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线和曲线相交于两点，求的值．‎ ‎4-5已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].‎ ‎(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.‎ ‎3．4-4在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为，两点的极坐标分别为、．‎ ‎（Ⅰ）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）点是圆上任一点，求面积的最小值．‎ ‎4-5已知x+y>0,且xy≠0.‎ ‎(1)求证:x3+y3≥x2y+y2x; (2)如果恒成立,试求实数m的取值范围.‎ ‎4．4-4已知曲线：，直线： （为参数）.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.‎ ‎4-5设函数f(x)=|x+2|-|x-2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)≥2;(2)当x∈R,00,y>0,x-y>0,‎ 所以2x+-2y=2(x-y)+‎ ‎=(x-y)+(x-y)+‎ ‎≥3=3‎ ‎,‎ 所以2x+≥2y+3.‎ ‎2．【解析】（Ⅰ）由曲线的极坐标方程，‎ 可得，化为直角坐标方程为，‎ 点的直角坐标为， 直线的倾斜角为， ‎ 所以直线的参数方程为（为参数）；‎ ‎（Ⅱ）将代入，得，‎ 设对应参数分别为，则，，‎ 根据直线参数方程的几何意义，得：‎ ‎.‎ ‎4-5解(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1,‎ ‎∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.‎ ‎∵其解集为[0,4],‎ ‎∴解得m=3.‎ ‎(2)由(1)知a+b=3.‎ ‎(方法一:利用基本不等式)‎ ‎∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),‎ ‎∴a2+b2≥,‎ ‎∴a2+b2的最小值为.‎ ‎(方法二:利用柯西不等式)‎ ‎∵(a2+b2)·(12+12)≥(a×1+b×1)2‎ ‎=(a+b)2=9,‎ ‎∴a2+b2≥,‎ ‎∴a2+b2的最小值为.‎ ‎(方法三:消元法求二次函数的最值)‎ ‎∵a+b=3,∴b=3-a.‎ ‎∴a2+b2=a2+(3-a)2‎ ‎=2a2-6a+9=2,‎ ‎∴a2+b2的最小值为.‎ ‎3．【解析】（Ⅰ）由，消去参数，得 ‎， 所以圆的普通方程为．‎ 由，化简得，即，‎ 则直线的直角坐标方程为；‎ ‎（Ⅱ）将、化为直角坐标为、， 所以 设点的坐标为（，），则点到直线的距离为 ,‎ 则，所以面积的最小值是4．‎ ‎4-5(1)证明因为x3+y3-(x2y+y2x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x+y)(x-y)2,且x+y>0,(x-y)2≥0,‎ 所以x3+y3-(x2y+y2x)≥0,‎ 故x3+y3≥x2y+y2x.‎ ‎(2)解①若xy<0,则等价于.‎ 又因为=-3,‎ 即<-3,‎ 因此m>-6.‎ ‎②若xy>0,则等价于.‎ 因为=1,即≥1(当且仅当x=y时,等号成立),故m≤2.‎ 综上所述,实数m的取值范围是(-6,2].‎ ‎4．【解析】（Ⅰ）对于曲线C：，可令， 故曲线C的参数方程为(为参数)，‎ 直线： （为参数）消去整理得直线的普通方程为：；‎ ‎（Ⅱ）设曲线C上任意一点，‎ 到直线的距离为，‎ 则，（为锐角）‎ 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为．‎ ‎4-5(1)解由已知可得,f(x)=‎ 故f(x)≥2的解集为{x|x≥1}.‎ ‎(2)证明由(1)知,|x+2|-|x-2|‎ ‎≤|(x+2)-(x-2)|=4.‎ ‎∵0