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- 2021-06-15 发布
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2018年高考数学讲练测【新课标版】【讲】第九章 解析几何
第三节 圆的方程
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
圆的方程
掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.
2013•新课标II. 11;
2015•新课标I. 14,23.
2016•新课标I.23;II.4, 23;
2017•新课标II. 22;III.20.
1.考查圆的标准方程、普通方程的互化..
2.待定系数法求圆的方程.
3.圆的综合问题.
4.备考重点:
(1)掌握两种形式圆的方程;
(2)掌握待定系数法.
【知识清单】
1 求圆的方程
1.圆的定义:在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.
2.圆的标准方程
(1) 若圆的圆心为C(a,b),半径为r,则该圆的标准方程为:.
(2) 方程表示圆心为C(a,b),半径为r的圆.
3.圆的一般方程
(1)任意一个圆的方程都可化为:.这个方程就叫做圆的一般方程.
(2) 对方程:.
①若,则方程表示以,为圆心,为半径的圆;
②若,则方程只表示一个点,;
③若,则方程不表示任何图形.
4.点与⊙C的位置关系
(1)|AC|r⇔点A在圆外⇔.
对点练习:
【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1,则a=( )
(A) (B) (C) (D)2
【答案】A
2 圆的方程综合应用
1. 圆的标准方程为:
2.圆的一般方程.:().
3.点到直线的距离:.
对点练习:
【2017天津,文12】设抛物线的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C
为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若,则圆的方程为 .
【答案】
【解析】
【考点深度剖析】
高考对圆的方程的考查,一般是以小题的形式出现,也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题.纵观近几年的高考试题,主要考查以下几个方面:一是考查圆的方程,要求利用待定系数法求出圆的方程,并结合圆的几何性质解决相关问题;二是考查直线与圆的位置关系,高考要求能熟练地解决圆的切线问题,弦长问题是高考热点,其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形,是求弦长问题的关键.三是判断圆与圆的位置关系,确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.
【重点难点突破】
考点1 求圆的方程
【1-1】【2016高考天津文数】已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点在圆C上,且圆心到直线的距离为,则圆C的方程为__________.
【答案】
【解析】设,则,故圆C的方程为
【1-2】已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.
【答案】
【解析】
(1)法一(待定系数法)、设圆的标准方程为:,则由题意得:
.
②-①得:…………………………………………④⑤⑥
③-④得:,代入④得:.
将代入①得:.
所以所求圆的标准方程为:.
【1-3】的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程.
【答案】
【解析】设所求圆的方程为:,则
,解之得.
所以所求圆的标准方程为:.
【领悟技法】
1.求圆的方程,采用待定系数法:
①若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程.
②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的一般方程.
2.在求圆的方程时,常用到圆的以下几何性质:
①圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
②圆心在任一弦的垂直平分线上.
【触类旁通】
【变式一】【2018届黑龙江省伊春市第二中学高三上第一次月考】已知圆:,圆与圆关于直线对称,则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】圆:,圆心为(-1,1)半径为1,圆与圆关于直线对称,则先找(-1,1)关于直线的对称点为(2,-2),所以圆的圆心为
(2,-2),半径为1,所以圆为,故选B.
【变式二】求圆心在直线上,且过点的圆的方程.
【答案】
【综合点评】
求圆的标准方程,可用待定系数法,也可直接求出圆心坐标和半径,然后直接写出圆的标准方程;求圆的一般方程,一般都用待定系数法.
考点2 圆的方程综合应用
【2-1】【2017届辽宁省辽南协作校一模】圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是( )
A. 18 B. 6 C. 5 D. 4
【答案】C
【解析】圆的方程即: ,
圆心到直线的距离为: ,
故直线与圆相交,最小距离为0,最大距离为,
综上可得:圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是.
本题选择C选项.
【2-2】在圆上移动,试求的最小值.
【答案】
【解析】由已知得,则,即()min.所以的最小值为.
【2-3】设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长之比为3:1;③圆心到直线的距离为,求该圆的方程.
【答案】或
【领悟技法】
1.确定圆的方程常用待定系数法,其步骤为:一根据题意选择标准方程或一般方程;二是根据题设条件列出方程组;三是由方程组求出待定的系数,代入所设的圆的方程;
2.在求圆的方程时,常用到圆的以下几个性质:一是圆心在过切点且与切线垂直的直线上;二是圆心在任一弦的中垂线上;
3.解方程组时,把所求的值代入检验一下是否正确.
【触类旁通】
【变式一】【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知圆的圆心坐标为,则( )
A. 8 B. 16 C. 12 D. 13
【答案】D
【解析】由圆的标准方程可知圆心为,即. 故选D.
【变式二】一束光线从点出发,经x轴反射到圆上的最短路径是 .
【答案】
【解析】先作出已知圆关于轴对称的圆,问题转化为求点到圆上的点的最短路径.结合图形可知,最短距离为点到圆心的距离与半径之差,即.
【综合点评】
在圆的综合性问题中,往往需要利用圆的方程来确定圆心坐标和半径,根据图形应用圆的几何性质.应用距离公式及基本不等式等,解决最值问题.
【易错试题常警惕】
易错典例:一条直线过点,且圆的圆心到该直线的距离为3,则该直线的方程为( )
A. B.
C. D.
易错分析:忽视斜率不存在而致误.
正确解析:圆的圆心为原点,显然原点到直线的距离为3.
当直线的斜率存在时,设直线的方程为:即.由点到直线的距离公式得:,平方得:,所以直线的方程为即.综上知,选C.
温馨提醒:
求解过定点的直线问题,首先要检验斜率不存在的直线是否符合题意,这是非常容易遗漏的问题.在处理相关问题时,也可根据图形判断所求直线的条数,进而避免此类失误.
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想
数形结合是一种重要的数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.
在解答三视图、直观图问题中,主要是通过图形的恰当转化,明确几何元素的数量关系,进行准确的计算.如:
【典例】【2017届山东菏泽一中宏志部高三上月考三】已知圆方程.
(1)求的取值范围;
(2)若圆与直线相交于两点,且(为坐标原点),求的值;
(3)在(2)的条件下,求以为直径的圆的方程.
【答案】(1);(2) ;(3).
(2)由题意,
把代入,得,
,,
∵得出:,
∴,
∴;
(3)圆心为,
,半径,
圆的方程.