2017-2018学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版 8页

大庆实验中学2017-2018学年度下学期期末考试 高二数学（理）试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数 (　　)‎ A． 　B． C． D．‎ ‎2．设集合，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎3．自然数是整数，是自然数，所以是整数．以上三段论推理(　　)‎ A．正确 B．推理形式不正确 C．两个“自然数”概念不一致 D．“两个整数”概念不一致 ‎4．二项式 的展开式中常数项为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎5.在同一坐标系中画出函数的图像，可能正确的是( )‎ ‎6．用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 (　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎8．随机变量的概率分布规律为，其中为常数，则 的值为 (　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．观察下列各式：，，，，，…，则(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎10.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的必要不充分条件．‎ C．命题“使得”的否定是：“ 均有”．‎ D．．命题“若，则”的逆否命题为真命题．‎ ‎11．盒子中装有形状、大小完全相同的个红球和个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到次时停止取球．那么取球次数恰为次的概率是 (　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎12．如下四个结论中，正确的有（ ）个 ‎①当实数时，恒成立 ‎②存在实数使得方程有两个不等实根 ‎③存在实数使得：当时，；时，‎ ‎④存在实数使得函数有最大值 A． B． C． D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设，且，，则的值是__________． ‎ ‎14．若函数为偶函数，则__________．‎ ‎15．函数的单调增区间为____________． ‎ ‎16．设集合，选择的两个非空子集和，使得中最大的数不大于 中最小的数，则可组成不同的子集对__________个．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上．‎ ‎(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．‎ ‎18．(本小题满分12分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分, 未中奖则不得分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.‎ ‎(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；‎ ‎(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 设直角坐标系原点与极坐标极点重合， x轴非负半轴与极轴重合，若已知曲线C的极坐标方程为，点F1、F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为 ‎ （I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎ （II）求曲线C上的动点P到直线l的最大距离。‎ ‎20.（12分）已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．‎ ‎(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间.‎ ‎21.(本小题满分12分)某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).‎ ‎(1)应收集多少位女生样本数据? ‎ ‎(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],‎ ‎(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.‎ ‎(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附:K2‎=‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，其导函数为.‎ （1） 求的最小值；‎ （2） 证明：对任意的和实数且，总有 ‎；‎ （3） 若满足：且，‎ 求的最小值.‎ 参考答案：‎ ‎1-5 C A A B D 6-10 B C D C D 11-12 B A ‎13. 4＋3i 14. 1 15. 16. 49‎ ‎17.解：(1)由点A在直线ρcos＝a上，可得a＝.‎ 所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，‎ 从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ ‎(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 所以圆C的圆心为(1,0)，半径r＝1，‎ 因为圆心C到直线l的距离d＝＝<1，‎ 所以直线l与圆C相交．‎ ‎18.解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．‎ 记“这2人的累计得分X≤‎3”‎的事件为A，‎ 则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，‎ 因为P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，‎ P(X＝2)＝×(1－)＝，‎ P(X＝3)＝(1－)×＝，‎ 所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，‎ 即这2人的累计得分X≤3的概率为.‎ ‎(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1、X2的分布列如下：‎ X1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P X2‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ P 所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，‎ E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.‎ 因为E(X1)>E(X2)，‎ 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．‎ ‎19．解：（I）直线l普通方程为 …………3分 椭圆C的普通方程为 …………6分 ‎ （II）由椭圆的普通方程可以得到其参数方程为 则动点的距离为 ‎………8分 由于 …………10分 ‎20.解：(1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，‎ 所以2－＝0.所以a＝4.‎ 此时f′(x)＝x－＝＝.‎ 因为f(x)的定义域是{x|x>0}，‎ 所以当02时，f′(x)>0.‎ 所以当a＝4时，x＝2是f(x)的极小值点．所以a＝4.‎ ‎(2)因为f′(x)＝x－，‎ 所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．‎ 当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，‎ 令f′(x)>0有x>，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；‎ 令f′(x)<0有03.841.‎ 在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.‎ ‎22解：（1），‎ 当时，，即在区间上为减函数；‎ 当时，，即在区间上为增函数；‎ 于是的最小值为.‎ ‎（2）不妨设，构造函数（）‎ 则有 则 由（1）知在区间上为增函数，于是 即，于是 即.‎ ‎（3）先证对任意的和实数且，总有 令，有 当且时，有 ‎.‎