数学理·山东省潍坊市青州三中2017届高三上学期9月月考数学试卷（理科） Word版含解析 19页

‎2016-2017学年山东省潍坊市青州三中高三（上）9月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁RB）∩A=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．（﹣∞，0] D．以上都不对 ‎2．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（　　）‎ A．y=（）2 B．y= C．y= D．y=‎ ‎3．设a=log3π，b=log2，c=log3，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a ‎4．由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是（　　）‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 ‎5．．函数f（x）=|x|﹣k有两个零点，则（　　）‎ A．k=0 B．k＞0 C．0≤k＜1 D．k＜0‎ ‎6．若0＜x＜y＜1，则（　　）‎ A．3y＜3x B．logx3＜logy3 C．log4x＞log4y D．（）x＞（）y ‎7．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）‎ ‎9．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：‎ ‎①x1f（x1）＞x2f（x2）；‎ ‎②x1f（x1）＜x2f（x2）；‎ ‎③＞；‎ ‎④＜．‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．②③‎ ‎10．已知函数f（x）=log（4x﹣2x+1+1）的值域是[0，+∞），则它的定义域可以是（　　）‎ A．（0，1] B．（0，1） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，0]‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）‎ ‎11．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎12．已知对不同的a值，函数f（x）=2+ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是　　．‎ ‎13．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f的长度为x2﹣x1．已知函数y=|log0.5x|定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为　　．‎ ‎15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时f（x）=（）1﹣x，则 ‎①2是函数f（x）的周期；‎ ‎②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；‎ ‎③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3．‎ 其中所有正确命题的序号是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分）‎ ‎16．对定义在实数集上的函数f（x），若存在实数x0，使得f（x0）=x0，那么称x0为函数f（x）的一个不动点．‎ ‎（1）已知函数f（x）=ax2+bx﹣b（a≠0）有不动点（1，1）、（﹣3，﹣3），求a、b；‎ ‎（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+bx﹣b （a≠0）总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．‎ ‎17．已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式f（x）=﹣（a∈R）．‎ ‎（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；‎ ‎（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．‎ ‎18．已知函数f（x）=2x﹣．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；‎ ‎（Ⅱ）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎19．已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若g（x）=f（x）+，g（x）在区间（0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．‎ ‎20．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80﹣2t（件），价格近似满足f（t）=20﹣|t﹣10|（元）．‎ ‎（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数关系表达式；‎ ‎（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．‎ ‎21．对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．‎ ‎（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；‎ ‎（2）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；‎ ‎（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省潍坊市青州三中高三（上）9月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）‎ ‎1．已知集合A={x|y=lg（2x﹣x2）}，B={y|y=2x，x＞0}，R是实数集，则（∁RB）∩A=（　　）‎ A．[0，1] B．（0，1] C．（﹣∞，0] D．以上都不对 ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】集合A为对数函数的定义域，集合B为指数函数的值域，分别解出再进行运算即可．‎ ‎【解答】解：由2x﹣x2＞0，得x（x﹣2）＞0，即0＜x＜2，故A={x|0＜x＜2}，‎ 由x＞0，得2x＞1，故B={y|y＞1}，∁RB={y|y≤1}，‎ 则（∁RB）∩A=（0，1]‎ 故选B ‎　‎ ‎2．下列四个函数中，与y=x表示同一函数的是（　　）‎ A．y=（）2 B．y= C．y= D．y=‎ ‎【考点】判断两个函数是否为同一函数．‎ ‎【分析】逐一检验各个选项中的函数与已知的函数是否具有相同的定义域、值域、对应关系，只有这三者完全相同时，两个函数才是同一个函数．‎ ‎【解答】解：选项A中的函数的定义域与已知函数不同，故排除选项A；‎ 选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系，故是同一个函数，故选项B满足条件；‎ 选项C中的函数与已知函数的值域不同，故不是同一个函数，故排除选项C；‎ 选项D中的函数与已知函数的定义域不同，故不是同一个函数，故排除选项D；‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎3．设a=log3π，b=log2，c=log3，则（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】利用对数函数y=logax的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，‎ 如果底a不相同时可利用1做为中介值．‎ ‎【解答】解：∵‎ ‎∵，故选A ‎　‎ ‎4．由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）上是（　　）‎ A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】先利用分类讨论的方法对x，y的取值进行讨论，化去绝对值符号，化简曲线的方程，再结合方程画出图形，由图观察即得．‎ ‎【解答】解：①当x≥0且y≥0时，x2+y2=1，‎ ‎②当x＞0且y＜0时，x2﹣y2=1，‎ ‎③当x＜0且y＞0时，y2﹣x2=1，‎ ‎④当x＜0且y＜0时，无意义．‎ 由以上讨论作图如右，易知是减函数．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎5．．函数f（x）=|x|﹣k有两个零点，则（　　）‎ A．k=0 B．k＞0 C．0≤k＜1 D．k＜0‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】由题意可得，函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点，数形结合可得k的范围．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=|x|﹣k有两个零点，∴函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点，如图所示：‎ 数形结合可得，当k＞0时，函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点，故k的范围是 （0，+∞），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．若0＜x＜y＜1，则（　　）‎ A．3y＜3x B．logx3＜logy3 C．log4x＞log4y D．（）x＞（）y ‎【考点】函数单调性的性质．‎ ‎【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，可得结论．‎ ‎【解答】解：根据指数函数的单调性，可得3y＞3x，（）x＞（）y，‎ 根据对数函数的单调性，可得logx3＞logy3，log4x＜log4y，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】对数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数，当x=1时，函数值为0，可进一步确定选项．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，‎ 所以排除A，B 当x=1时，f（x）=0排除C 故选D ‎　‎ ‎8．若函数f（x）=，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）‎ ‎【考点】对数值大小的比较．‎ ‎【分析】由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．‎ ‎【解答】解：由题意．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．已知幂函数f（x）的图象经过点（，），P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：‎ ‎①x1f（x1）＞x2f（x2）；‎ ‎②x1f（x1）＜x2f（x2）；‎ ‎③＞；‎ ‎④＜．‎ 其中正确结论的序号是（　　）‎ A．①② B．①③ C．②④ D．②③‎ ‎【考点】幂函数的性质．‎ ‎【分析】设f（x）=xα，把点（，）代入函数的解析式求出α，得到 f（x）=，‎ 利用函数在其定义域[0，+∞）内单调 递增，且增长速度越来越慢，结合函数图象作答．‎ ‎【解答】解析：依题意，设f（x）=xα，则有（）α=，即（）α=，所以，α=，于是f（x）=．‎ 由于函数f（x）=在定义域[0，+∞）内单调递增，‎ 所以当x1＜x2时，必有f（x1）＜f（x2），从而有x1f（x1）＜x2f（x2），故②正确；‎ 又因为，分别表示直线OP、OQ的斜率，结合函数图象，‎ 容易得出直线OP的斜率大于直线OQ的斜率，故＞，所以③正确，‎ 故选 D．‎ ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=log（4x﹣2x+1+1）的值域是[0，+∞），则它的定义域可以是（　　）‎ A．（0，1] B．（0，1） C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，0]‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】根据对数函数的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=log（4x﹣2x+1+1）的值域是[0，+∞），‎ ‎∴设t=2x，则y=4x﹣2x+1+1=t2﹣2t+1=（t﹣1）2．‎ 则只要保证y=（t﹣1）2∈（0，1]，即可，‎ 故当x∈（0，1]，满足条件，‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）‎ ‎11．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是　（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．‎ ‎【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0‎ ‎∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个不等实根 ‎∴△=（a﹣1）2﹣4＞0‎ ‎∴a＜﹣1或a＞3‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）‎ ‎　‎ ‎12．已知对不同的a值，函数f（x）=2+ax﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是　（1，3）　．‎ ‎【考点】指数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点P的坐标 ‎【解答】解：由指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点 而要得到函数y=2+ax﹣1（a＞0，a≠1）的图象，‎ 可将指数函数y=ax（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位．‎ 则（0，1）点平移后得到（1，3）点．‎ 则P点的坐标是（1，3）‎ 故答案为（1，3）‎ ‎　‎ ‎13．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f转化为f（1）的值代入解析式求出值．‎ ‎【解答】解：当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）；‎ 所以有f（x﹣1）=f（x﹣2）﹣f（x﹣3）；‎ 所以f（x）=﹣f（x﹣3）；所以f（x）=f（x﹣6）；‎ 所以f（x）的周期为6；‎ 所以f=f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1；‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎　‎ ‎14．定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2﹣x1．已知函数y=|log0.5x|定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值为　　．‎ ‎【考点】对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．‎ ‎【分析】先由函数值域求出函数定义域的取值范围，然后求出区间[a，b]的长度的最大值．‎ ‎【解答】解：函数y=|log0.5x|的值域为[0，2]，那么0≤log0.5x≤2 或﹣2≤log0.5x＜0，‎ 即：log0.51＜≤log0.5x≤log0.5（0.5）2或log0.5（0.5）﹣2≤log0.5x＜log0.51，‎ 由于函数log0.5x是减函数，那么或1＜x≤4．‎ 这样就求出函数y=|log0.5x|的定义域为[，4]，所以函数定义域区间的长度为 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时f（x）=（）1﹣x，则 ‎①2是函数f（x）的周期；‎ ‎②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；‎ ‎③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3．‎ 其中所有正确命题的序号是　①②④　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】根据条件求出函数的周期，即可判定①的真假，根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，以及在（0，1）上的单调性，可判定②的真假，根据单调性和周期性可求出函数的最值，可判定③的真假，最后求出函数在x∈[3，4]时的解析式即可判定④的真假 ‎【解答】解：∵对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），‎ ‎∴f（x+2）=f（x）则f（x）的周期为2，故①正确；‎ ‎∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，‎ ‎∴函数f（x）在（0，1）上是增函数，函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，故②正确；‎ ‎∴函数f（x）的最大值是f（1）=1，最小值为f（0）=，故③不正确；‎ 设x∈[3，4]，则4﹣x∈[0，1]，f（4﹣x）=（）x﹣3=f（﹣x）=f（x），故④正确 故答案为：①②④‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共75分）‎ ‎16．对定义在实数集上的函数f（x），若存在实数x0，使得f（x0）=x0，那么称x0为函数f（x）的一个不动点．‎ ‎（1）已知函数f（x）=ax2+bx﹣b（a≠0）有不动点（1，1）、（﹣3，﹣3），求a、b；‎ ‎（2）若对于任意实数b，函数f（x）=ax2+bx﹣b （a≠0）总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（1）利用函数f（x）的不动点为1与﹣3，建立方程组，即可求a，b；‎ ‎（2）函数f（x）总有两个相异的不动点，等价于方程ax2+（b﹣1）x﹣b=0（a≠0）有两个相异实根，利用判别式，即可求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解　（1）∵函数f（x）的不动点为1与﹣3，‎ ‎∴，∴a=1，b=3．…‎ ‎（2）∵函数f（x）总有两个相异的不动点 ‎∴方程ax2+（b﹣1）x﹣b=0（a≠0）有两个相异实根，‎ ‎∴△＞0，即（b﹣1）2+4ab＞0对b∈R恒成立…‎ ‎∞△1＜0，即（4a﹣2）2﹣4＜0…‎ ‎∴0＜a＜1．…‎ ‎　‎ ‎17．已知f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，当x∈[﹣1，0]时，函数解析式f（x）=﹣（a∈R）．‎ ‎（1）写出f（x）在[0，1]上的解析式；‎ ‎（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出a=1；设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]，利用条件，即可写出f（x）在[0，1]上的解析式；‎ ‎（Ⅱ）利用换元法求f（x）在[0，1]上的最大值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）为定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（x）在x=0处有意义，‎ ‎∴f（0）=0，即f（0）=﹣=1﹣a=0．‎ ‎∴a=1．…‎ 设x∈[0，1]，则﹣x∈[﹣1，0]．‎ ‎∴f（﹣x）=﹣=4x﹣2x．‎ 又∵f（﹣x）=﹣f（x）‎ ‎∴﹣f（x）=4x﹣2x．‎ ‎∴f（x）=2x﹣4x．…‎ ‎（Ⅱ）当x∈[0，1]，f（x）=2x﹣4x=2x﹣（2x）2，‎ ‎∴设t=2x（t＞0），则f（t）=t﹣t2．‎ ‎∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．‎ 当t=1时，取最大值，最大值为1﹣1=0．…‎ ‎　‎ ‎18．已知函数f（x）=2x﹣．‎ ‎（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；‎ ‎（Ⅱ）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】指数函数综合题．‎ ‎【分析】（I）当x≤0时得到f（x）=0而f（x）=2，所以无解；当x＞0时解出f（x）=2求出x即可；‎ ‎（II）由 t∈[1，2]时，2tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=，代入得到m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，‎ 当x＞0时，，‎ 有条件可得，，‎ 即22x﹣2×2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．‎ ‎（Ⅱ）当t∈[1，2]时，，‎ 即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．‎ ‎∵t∈[1，2]，∴﹣（1+22t）∈[﹣17，﹣5]，‎ 故m的取值范围是[﹣5，+∞）．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）的图象与函数h（x）=x++2的图象关于点A（0，1）对称．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）若g（x）=f（x）+，g（x）在区间（0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），利用点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（﹣x，2﹣y）在h（x）的图象上，结合函数解析式，即可求得结论；‎ ‎（Ⅱ）题意可转化为（x∈（0，2]）恒成立，利用分离参数法，再求出函数的最值，从而可求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设f（x）图象上任一点坐标为（x，y），点（x，y）关于点A（0，1）的对称点（﹣x，2﹣y）在h（x）的图象上…‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴…‎ ‎（Ⅱ）由题意，∴‎ ‎∵x∈（0，2]，∴a+1≥x（6﹣x），即a≥﹣x2+6x﹣1，…‎ 令q（x）=﹣x2+6x﹣1=﹣（x﹣3）2+8（x∈（0，2]），‎ ‎∴x∈（0，2]时，q（x）max=7…‎ ‎∴a≥7…‎ ‎　‎ ‎20．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80﹣2t（件），价格近似满足f（t）=20﹣|t﹣10|（元）．‎ ‎（1）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数关系表达式；‎ ‎（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．‎ ‎【考点】分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（1）根据y=g（t）•f（t），可得该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；‎ ‎（2）分段求最值，可求该种商品的日销售额y的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，可得：‎ ‎，‎ 所以；‎ ‎（2）当0≤t≤10时，y=（30+t）（40﹣t）=﹣（t﹣5）2+1225，‎ y的取值范围是[1200，1225]，在t=5时，y取得最大值为1225；‎ 当10＜t≤20时，=（50﹣t）（40﹣t）=（t﹣45）2﹣25，‎ y的取值范围是[600，1200），在t=20时，y取得最小值为600．‎ 综上所述，第五天日销售额y最大，最大为1225元；‎ 第20天日销售额y最小，最小为600元．‎ ‎　‎ ‎21．对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，都有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，则称函数f（x）为理想函数．‎ ‎（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；‎ ‎（2）判断函数g（x）=2x﹣1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；‎ ‎（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x0∈[0，1]，使得f（x0）∈[0，1]，且f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0．‎ ‎【考点】函数的值；抽象函数及其应用．‎ ‎【分析】（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．‎ ‎（2）g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．‎ ‎（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x0）=x0．‎ ‎【解答】解：（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0．‎ 又由条件①f（0）≥0，故f（0）=0．‎ ‎（2）显然g（x）=2x﹣1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；‎ 也满足条件②g（1）=1．‎ 若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，‎ 则=，即满足条件③，‎ 故g（x）理想函数．‎ ‎（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n﹣m∈[0，1]，‎ ‎∴f（n）=f（n﹣m+m）≥f（n﹣m）+f（m）≥f（m）．‎ 若x0＜f（x0），则f（x0）≤f[f（x0）]=x0，前后矛盾；‎ 若x0＞f（x0），则f（x0）≥f[f（x0）]=x0，前后矛盾．‎ 故x0=f（x0）．‎ ‎　‎ ‎2016年10月25日