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  • 2021-06-15 发布

数学理·福建省三明市宁化一中2017届高三上学期8月段考数学试卷(理科)(a卷)+Word版含解析

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全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年福建省三明市宁化一中高三(上)8月段考数学试卷(理科)(A卷)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数z=+i5的共轭复数为(  )‎ A.1﹣2i B.1+2i C.i﹣1 D.1﹣i ‎2.在映射f:A→B中,A=B={(x,y)|x,y∈R},且f:(x,y)→(x﹣y,x+y),则与A中的元素(﹣1,2)对应的B中的元素为(  )‎ A.(﹣3,1) B.(1,3) C.(﹣1,﹣3) D.(3,1)‎ ‎3.下列说法正确的是(  )‎ A.“∃a∈R,方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R,方程ax2﹣2x+a=0有负实数”‎ B.命题“a、b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R,若a≠0,且b≠0,则a2+b2≠0”‎ C.命题p:若回归方程为﹣x=1,则y与x负相关;命题q:数据1,2,3,4的中位数是2或3,则命题p∨q为真命题 D.若X~N(1,4),则P(X<t2﹣1)=P(X>2t)成立的一个充分不必要条件t=1‎ ‎4.设a∈{﹣1,1,, },则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.函数f(x)=log2(x+2)﹣(x>0)的零点所在的大致区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)‎ ‎6.函数f(x)=asinx+bx﹣1,(a,b∈R),若f(lg)=2016,则f(lg2017)=(  )‎ A.﹣2016 B.2016 C.2018 D.﹣2018‎ ‎7.已知函数f(x)=,则图中的图象对应的函数在下列给出的四个解析式中,只可能是(  )‎ A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(﹣|x|) D.y=﹣f(|x|)‎ ‎8.甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛没有平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.则甲获第一名且丙获第二名的概率;(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.关于函数f(x)=(2x﹣)•x和实数m,n的下列结论中正确的是(  )‎ A.若﹣3≤m<n,则f(m)<f(n) B.若m<n≤0,则f(m)<f(n)‎ C.若f(m)<f(n),则m2<n2 D.若f(m)<f(n),则m3<n3‎ ‎10.如图,面积为8的平行四边形OABC,对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E,某指数函数y=ax(a>0,且a≠1),经过点E,B,则a=(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎11.已知函数f(x)=ex,g(x)=ln的图象分别与直线y=m交于A,B两点,则|AB|的最小值为(  )‎ A.2 B.2+ln2 C.e2 D.2e﹣ln ‎12.已知定义在R内的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当x∈[﹣1,3]时,f(x)=,则当t∈(,2]时,方程7f(x)﹣2x=0的不等实数根的个数是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},B={y|y=2x},则A∩B=  .‎ ‎14.某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有  .(用数字作答)‎ ‎15.已知函数y=cosx的图象与直线x=,x=以及x轴所围成的图形的面积为m,若x10=a0+a1(m﹣x)+a2(m﹣x)2+…+a10(m﹣x)10,则a8=  (用数字作答).‎ ‎16.设过曲线f(x)=﹣ex﹣x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在过曲线g(x)=ax+2cosx上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知(3x﹣)n的展开式中各项的系数之和为32.‎ ‎(1)求(3x﹣)n的展开式中含有x的项的系数.‎ ‎(2)求(x+)•(3x﹣)n展开式中的常数项.‎ ‎18.已知命题P:函数f(x)=x2+ax+3﹣a,若x∈[﹣2,2]时,则f(x)≥2恒成立.‎ ‎(1)当命题P为真命题时,求实数a的取值集合M;‎ ‎(2)当集合E={a|a∈M}∩Z(Z为整数集)时,求集合E的子集的个数.‎ ‎19.某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价,从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%,对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%,其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.‎ ‎(1)填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表:‎ 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计 问:是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、‎ ‎(2)若将频率视为概率,有4人参与了此次评价,设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X;‎ ‎①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列(概率用组合数算式表示);‎ ‎②求X的数学期望和方差.‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(K2=,其中n=a+b+c+d)‎ ‎20.已知函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.‎ ‎(1)求a、b的值;‎ ‎(2)若不等式f(2x)﹣k•2x≥0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)若f(|2k﹣1|)+k•﹣3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.‎ ‎21.设函数f(x)=ex﹣lnx﹣1,其中e是自然对数的底数 ‎(1)求证:函数f(x)存在极小值;‎ ‎(2)若∃x∈[,+∞),使得不等式﹣lnx﹣≤0成立,求实数m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.如图,AD,CF分别是△ABC的中线和高线,PB,PC是△ABC外接圆O的切线,点E是PA与圆O的交点.‎ ‎(1)求证:AC•CD=AF•PC;‎ ‎(2)求证:DC平分∠ADE.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(1+2sin2θ)=12,且曲线C的左焦点F在直线l上.‎ ‎(I)求实数m和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,求+的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知函数f(x)=|2x﹣1|.‎ ‎(1)若不等式f(x+)≥2m+1(m>0)的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),求实数m的值;‎ ‎(2)若不等式f(x)≤2y++|2x+3|,对任意的实数x,y∈R恒成立,求实数a的最小值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年福建省三明市宁化一中高三(上)8月段考数学试卷(理科)(A卷)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数z=+i5的共轭复数为(  )‎ A.1﹣2i B.1+2i C.i﹣1 D.1﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.‎ ‎【解答】解∵z=+i5=,‎ ‎∴,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2.在映射f:A→B中,A=B={(x,y)|x,y∈R},且f:(x,y)→(x﹣y,x+y),则与A中的元素(﹣1,2)对应的B中的元素为(  )‎ A.(﹣3,1) B.(1,3) C.(﹣1,﹣3) D.(3,1)‎ ‎【考点】映射.‎ ‎【分析】根据已知中映射f:A→B的对应法则,f:(x,y)→(x﹣y,x+y),将A中元素(﹣1,2)代入对应法则,即可得到答案.‎ ‎【解答】解:由映射的对应法则f:(x,y)→(x﹣y,x+y),‎ 故A中元素(﹣1,2)在B中对应的元素为(﹣1﹣2,﹣1+2)‎ 即(﹣3,1)‎ 故选A ‎ ‎ ‎3.下列说法正确的是(  )‎ A.“∃a∈R,方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R,方程ax2﹣2x+a=0有负实数”‎ B.命题“a、b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R,若a≠0,且b≠0,则a2+b2≠0”‎ C.命题p:若回归方程为﹣x=1,则y与x负相关;命题q:数据1,2,3,4的中位数是2或3,则命题p∨q为真命题 D.若X~N(1,4),则P(X<t2﹣1)=P(X>2t)成立的一个充分不必要条件t=1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】对4个命题分别进行判断,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:“∃a∈R,方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R,方程ax2﹣2x+a=0没有正实根”,故A不正确;‎ 命题“a、b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R,若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0”,故B不正确;‎ 命题p:若回归方程为﹣x=1,则y与x负相关,是假命题;命题q:数据1,2,3,4的中位数是2.5,是假命题,则命题p∨q为假命题,故C不正确;‎ 若X~N(1,4),则P(X<t2﹣1)=P(X>2t)成立可得t2﹣1+2t=2,∴t=1或3,∴P(X<t2﹣1)=P(X>2t)成立的一个充分不必要条件t=1,故D正确.‎ 故选D ‎ ‎ ‎4.设a∈{﹣1,1,, },则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数奇偶性的判断.‎ ‎【分析】分别根据幂函数的想结合定义域和奇偶性进行排除判断即可.‎ ‎【解答】解:当a=﹣1时函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0},不满足条件.定义域是R,‎ 当a=1时函数y=x的定义域为R,是奇函数,满足条件.‎ 当a=时函数y=x=的定义域为R,函数是奇函数,满足条件.,‎ 当a=时函数y=x=的定义域为R,函数为偶函数,不满足条件 故满足条件的a=1或,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎5.函数f(x)=log2(x+2)﹣(x>0)的零点所在的大致区间是(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(3,4)‎ ‎【考点】二分法求方程的近似解.‎ ‎【分析】分别求出f(1),f(2)的值,从而求出函数的零点所在的范围.‎ ‎【解答】解:∵f(1)=﹣3<0,f(2)=﹣=2﹣>0,‎ ‎∴函数f(x)=log2(x+2)﹣(x>0)的零点所在的大致区间是(1,2),‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.函数f(x)=asinx+bx﹣1,(a,b∈R),若f(lg)=2016,则f(lg2017)=(  )‎ A.﹣2016 B.2016 C.2018 D.﹣2018‎ ‎【考点】函数的值.‎ ‎【分析】令g(x)=asinx+b,得到g(x)是奇函数,求出g(lg)的值,从而求出g的值即可.‎ ‎【解答】解:令g(x)=asinx+b,则g(﹣x)=﹣g(x),x∈R,g(x)是奇函数,‎ ‎∴g(lg)=2016+1=2017,‎ ‎∴g(lg2017)=﹣g(lg)=﹣2017,‎ ‎∴f(lg2017)=﹣2017﹣1=﹣2018,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎7.已知函数f(x)=,则图中的图象对应的函数在下列给出的四个解析式中,只可能是(  )‎ A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(﹣|x|) D.y=﹣f(|x|)‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】画出分段函数的图象,结合给出的函数图象可得对应的解析式.‎ ‎【解答】解:作出函数f(x)=的图象如图,‎ 则 对应的函数解析式为y=f(﹣|x|).‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛没有平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为,甲胜丙的概率为,乙胜丙的概率为.则甲获第一名且丙获第二名的概率;(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式.‎ ‎【分析】甲获第一名且丙获第二名的情况为甲胜乙且甲胜丙且乙胜丙,由此能求出甲获第一名且丙获第二名的概率.‎ ‎【解答】解:设事件A表示“甲胜乙”,事件B表示“甲胜丙”,事件C表示“乙胜丙”,‎ 甲获第一名且丙获第二名的情况为甲胜乙且甲胜丙且乙胜丙,‎ ‎∴甲获第一名且丙获第二名的概率:‎ p=P(AB)=P(A)P(B)P()‎ ‎==.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.关于函数f(x)=(2x﹣)•x和实数m,n的下列结论中正确的是(  )‎ A.若﹣3≤m<n,则f(m)<f(n) B.若m<n≤0,则f(m)<f(n)‎ C.若f(m)<f(n),则m2<n2 D.若f(m)<f(n),则m3<n3‎ ‎【考点】指数函数单调性的应用.‎ ‎【分析】观察本题中的函数,可得出它是一个偶函数,由于所给的四个选项都是比较大小的,或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的,可先研究函数在(0,+∞)上的单调性,再由偶函数的性质得出在R上的单调性,由函数的单调性判断出正确选项 ‎【解答】解:∵‎ ‎∴函数是一个偶函数 又x>0时,与是增函数,且函数值为正,故函数在(0,+∞)上是一个增函数 由偶函数的性质知,函数在(﹣∞,0)上是一个减函数,此类函数的规律是:自变量离原点越近,函数值越小,即自变量的绝对值小,函数值就小,反之也成立 考察四个选项,A选项无法判断m,n离原点的远近;B选项m的绝对值大,其函数值也大,故不对;C选项是正确的,由f(m)<f(n),一定可得出m2<n2;D选项f(m)<f(n),可得出|m|<|n|,但不能得出m3<n3,不成立 综上知,C选项是正确的 故选C ‎ ‎ ‎10.如图,面积为8的平行四边形OABC,对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E,某指数函数y=ax(a>0,且a≠1),经过点E,B,则a=(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ ‎【考点】指数函数的图象与性质.‎ ‎【分析】首先设点E(t,at),则点B坐标为(2t,2at),又因为2at=a2t,所以at=2;然后根据平行四边形的面积是8,求出t的值,代入at=2,求出a的值即可.‎ ‎【解答】解:设点E(t,at),则点B坐标为(2t,2at),‎ 又因为2at=a2t,‎ 所以at=2;‎ 因为平行四边形OABC的面积=OC×AC=at×2t=4t,又平行四边形OABC的面积为8‎ 所以4t=8,t=2,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)=ex,g(x)=ln的图象分别与直线y=m交于A,B两点,则|AB|的最小值为(  )‎ A.2 B.2+ln2 C.e2 D.2e﹣ln ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用.‎ ‎【分析】由题意,A(lnm,m),B(2,m),其中2>lnm,且m>0,表示|AB|,构造函数,确定函数的单调性,即可求出|AB|的最小值.‎ ‎【解答】解:由题意,A(lnm,m),B(2,m),其中2>lnm,且m>0,‎ ‎∴|AB|=2﹣lnm,‎ 令y=﹣lnx(x>0),则y′=﹣,‎ ‎∴x=,‎ ‎∴0<x<时,y′<0;x>时,y′>0,‎ ‎∴y=﹣lnx(x>0)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,‎ ‎∴x=时,|AB|min=2+ln2.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.已知定义在R内的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当x∈[﹣1,3]时,f(x)=,则当t∈(,2]时,方程7f(x)﹣2x=0的不等实数根的个数是(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】题意可转化为函数y=f(x)与直线y=x的图象的交点的个数,从而解得.‎ ‎【解答】解:∵7f(x)﹣2x=0,∴f(x)=x,‎ 作函数y=f(x)与直线y=x的图象如下,‎ ‎,‎ 结合图象可知,‎ 函数y=f(x)与直线y=x的图象有5个交点,‎ 故方程7f(x)﹣2x=0的不等实数根的个数是5,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},B={y|y=2x},则A∩B= (0,2] .‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】求出A中不等式的解集确定出A,求出B中y的范围确定出B,找出A与B的交集即可.‎ ‎【解答】解:由A中不等式变形得:(x﹣2)(x+1)≤0,‎ 解得:﹣1≤x≤2,即A=[﹣1,2],‎ 由B中y=2x>0,得到B=(0,+∞),‎ 则A∩B=(0,2],‎ 故答案为:(0,2]‎ ‎ ‎ ‎14.某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生,平均分配甲、乙两家公司,其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司;另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有 36 .(用数字作答)‎ ‎【考点】计数原理的应用.‎ ‎【分析】分类讨论:①甲公司要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生;②甲公司要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生.分别求得这2个方案的方法数,再利用分类计数原理,可得结论.‎ ‎【解答】解:由题意可得,有2种分配方案:①甲公司要2个电脑特长学生,则有3种情况;英语成绩优秀学生的分配有2种可能;‎ 再从剩下的3个人中选一人,有3种方法.‎ 根据分步计数原理,共有3×2×3=18种分配方案.‎ ‎②甲公司要1个电脑特长学生,则方法有3种;英语成绩优秀学生的分配方法有2种;再从剩下的3个人种选2个人,方法有3种,‎ 共3×2×3=18种分配方案.‎ 由分类计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36种,‎ 故答案为:36.‎ ‎ ‎ ‎15.已知函数y=cosx的图象与直线x=,x=以及x轴所围成的图形的面积为m,若x10=a0+a1(m﹣x)+a2(m﹣x)2+…+a10(m﹣x)10,则a8= 180 (用数字作答).‎ ‎【考点】二项式定理的应用.‎ ‎【分析】根据定积分的意义和求法求得m=2,再根据x10=[﹣2+(2﹣x)]10,利用二项式定理可得a8的值.‎ ‎【解答】解:函数y=cosx的图象与直线x=,x=以及x轴所围成的图形的面积为m==﹣sinx=2,‎ 若x10=[﹣2+(2﹣x)]10=a0+a1(m﹣x)+a2(m﹣x)2+…+a10(m﹣x)10 =a0+a1(2﹣x)+a2(2﹣x)2+…+a10(2﹣x)10,‎ 令则a8=•(﹣2)2=180,‎ 故答案为:180.‎ ‎ ‎ ‎16.设过曲线f(x)=﹣ex﹣x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1,总存在过曲线g(x)=ax+2cosx上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,则实数a的取值范围为 [﹣1,2] .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】求出函数f(x)=﹣ex﹣x的导函数,进一步求得∈(0,1),再求出g(x)的导函数的范围,然后把过曲线f(x)=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1,总存在过曲线g(x)=ax+2cosx上一点处的切线l2,使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解.‎ ‎【解答】解:由f(x)=﹣ex﹣x,得f′(x)=﹣ex﹣1,‎ ‎∵ex+1>1,∴∈(0,1),‎ 由g(x)=ax+2cosx,得g′(x)=a﹣2sinx,‎ 又﹣2sinx∈[﹣2,2],‎ ‎∴a﹣2sinx∈[﹣2+a,2+a],‎ 要使过曲线f(x)=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1,‎ 总存在过曲线g(x)=ax+2cosx上一点处的切线l2,使得l1⊥l2,‎ 则,解得﹣1≤a≤2.‎ 即a的取值范围为﹣1≤a≤2.‎ 故答案为:[﹣1,2].‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共5小题,共70分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知(3x﹣)n的展开式中各项的系数之和为32.‎ ‎(1)求(3x﹣)n的展开式中含有x的项的系数.‎ ‎(2)求(x+)•(3x﹣)n展开式中的常数项.‎ ‎【考点】二项式定理的应用;二项式系数的性质.‎ ‎【分析】(1)(3x﹣)n的展开式中各项的系数之和为32.可得2n=32,解得n=5.令x=1,即可得出展开式中各项系数和.‎ ‎(2)由(1)知,(x+)•(3x﹣)n=,要求展开式的常数项,只需求展开式中含x与的项.利用通项公式即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)(3x﹣)n的展开式中各项的系数之和为32.∴2n=32,解得n=5.‎ 令x=1,则展开式中各项系数和为25=32.‎ ‎(2)由(1)知,(x+)•(3x﹣)n=,‎ 要求展开式的常数项,只需求展开式中含x与的项.‎ 由通项公式得:Tr+1=(3x)5﹣r=(﹣1)r35﹣rx5﹣2r,‎ 令5﹣2r=±1,得r=2或r=3.‎ 所以该展开式中的常数项为:﹣×32=180.‎ ‎ ‎ ‎18.已知命题P:函数f(x)=x2+ax+3﹣a,若x∈[﹣2,2]时,则f(x)≥2恒成立.‎ ‎(1)当命题P为真命题时,求实数a的取值集合M;‎ ‎(2)当集合E={a|a∈M}∩Z(Z为整数集)时,求集合E的子集的个数.‎ ‎【考点】交集及其运算;复合命题的真假.‎ ‎【分析】(1)当x∈[﹣2,2]时,f(x)≥2恒成立,即x2+ax+1﹣a≥0在[﹣2,2]上恒成立,分两种情况:若根的判别式小于等于0时满足题意;根的判别式大于0时,可得f(2)与f(﹣2)都大于等于0,且对称轴大于等于2或小于等于﹣2,求出a的范围即可确定出M;‎ ‎(2)求出M与整数集的交集确定出E,求出E子集个数即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数f(x)=x2+ax+3﹣a,当x∈[﹣2,2]时,f(x)≥2恒成立,‎ ‎∴x2+ax+1﹣a≥0在[﹣2,2]上恒成立,‎ ‎∵△=a2﹣4(1﹣a)≤0,‎ ‎∴﹣2﹣2≤a≤﹣2+2,‎ 或,‎ 解得:﹣5≤a<﹣2﹣2,‎ 则M={a|﹣5≤a≤2﹣2};‎ ‎(2)由(1)得:M={a|﹣5≤a≤2﹣2},‎ ‎∴E={a|a∈M}∩Z(Z为整数集)={﹣5,﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0},‎ 则集合E的子集个数为26=64.‎ ‎ ‎ ‎19.某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价,从该校学生中选出300人进行统计.其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%,对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%,其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人.‎ ‎(1)填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表:‎ 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计 问:是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、‎ ‎(2)若将频率视为概率,有4人参与了此次评价,设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X;‎ ‎①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列(概率用组合数算式表示);‎ ‎②求X的数学期望和方差.‎ P(K2≥k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(K2=,其中n=a+b+c+d)‎ ‎【考点】独立性检验的应用;离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】(1)根据题意,可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表,计算K2,验证K2是否大于10.828,即可得出结论;‎ ‎(2)①分别求出X所有可能取值的概率,得出X的分布列;‎ ‎②由于X~B(4,),即可计算数学期望和方差.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表:‎ 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 ‎120‎ ‎60‎ ‎180‎ 对教师教学水平不满意 ‎105‎ ‎15‎ ‎120‎ 合计 ‎225‎ ‎75‎ ‎300‎ ‎…2分 ‎ ‎,‎ ‎∴可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关; …5分 ‎(2)①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,其中;;;;,…8分 ‎ X 的分布列为:‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎…10分 ‎②由于X~B(4,),则,. …12分 ‎ ‎ ‎20.已知函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f(x)=.‎ ‎(1)求a、b的值;‎ ‎(2)若不等式f(2x)﹣k•2x≥0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数k的取值范围;‎ ‎(3)若f(|2k﹣1|)+k•﹣3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.‎ ‎【考点】函数恒成立问题;函数的零点与方程根的关系.‎ ‎【分析】(1)由函数g(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a,a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,故,由此解得a、b的值.‎ ‎(2)不等式可化为 2x+﹣2≥k•2x,故有 k≤t2﹣2t+1,t∈[,2],求出h(t)=t2﹣2t+1的最小值,从而求得k的取值范围.‎ ‎(3)方程f(|2k﹣1|)+k•﹣3k=0⇒|2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+(1+2k)=0,(|2x﹣1|≠0),令|2x﹣1|=t,则t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0),构造函数h(t)=t2﹣(2+3k)t+(1+2k),通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围.‎ ‎【解答】解:(1)函数g(x)=ax2﹣2ax+b+1=a(x﹣1)2+1+b﹣a,‎ 因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,‎ 故,‎ 即,‎ 解得.‎ ‎(2)由已知可得f(x)=x+﹣2,‎ 所以,不等式f(2x)﹣k•2x≥0可化为 2x+﹣2≥k•2x,‎ 可化为 1+()2﹣2•≥k,令t=,则 k≤t2﹣2t+1.‎ 因 x∈[﹣1,1],故 t∈[,2].故k≤t2﹣2t+1在t∈[,2]上恒成立.‎ 记h(t)=t2﹣2t+1,因为 t∈[,2],故 h(t)min=h(1)=0,‎ 所以k的取值范围是(﹣∞,0]. ‎ ‎(3)方程f(|2k﹣1|)+k•﹣3k=0可化为:‎ ‎|2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+(1+2k)=0,|2x﹣1|≠0,‎ 令|2x﹣1|=t,则方程化为 t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0),‎ ‎∵方程f(|2k﹣1|)+k•﹣3k=0有三个不同的实数解,‎ ‎∴由t=|2x﹣1|的图象知,‎ t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0),有两个根t1、t2,‎ 且0<t1<1<t2或0<t1<1,t2=1.‎ 记h(t)=t2﹣(2+3k)t+(1+2k),‎ 则,或 ‎∴k>0.‎ ‎ ‎ ‎21.设函数f(x)=ex﹣lnx﹣1,其中e是自然对数的底数 ‎(1)求证:函数f(x)存在极小值;‎ ‎(2)若∃x∈[,+∞),使得不等式﹣lnx﹣≤0成立,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】(1)求出(x>0),从而>0,进而函数f′(x)在(0,+∞)是增函数,由此利用导数性质能证明函数f(x)存在极小值.‎ ‎(2)∃x∈[,+∞),使得不等式﹣lnx﹣≤0成立,等价于∃x∈[,+∞),使得不等式m≥ex﹣xlnx成立,令h(x)=ex﹣xlnx,x∈[,+∞),则h′(x)=ex﹣lnx﹣1=f(x),由此利用导性质能求出实数m的取值范围.‎ ‎【解答】证明:(1)∵f(x)=ex﹣lnx﹣1,∴(x>0),‎ ‎∴>0,‎ ‎∴函数f′(x)在(0,+∞)是增函数,…‎ ‎∵f=﹣2<0,f′(1)=e﹣1>0,且函数f′(x)图象在(0,+∞)上不间断,‎ ‎∴∃x0∈(),使得f′(x0)=0,…‎ 结合函数f′(x)在(0,+∞)是增函数,有:‎ x ‎(0,x0)‎ ‎(x0,+∞)‎ f′(x)‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎∴函数f(x)存在极小值f(x0).‎ ‎(没体现单调区间扣1分) …‎ 解:(2)∃x∈[,+∞),使得不等式﹣lnx﹣≤0成立,‎ 等价于∃x∈[,+∞),使得不等式m≥ex﹣xlnx成立(*) …‎ 令h(x)=ex﹣xlnx,x∈[,+∞),‎ 则h′(x)=ex﹣lnx﹣1=f(x),‎ ‎∴结合(1)得:[h′(x)]min=,…‎ 其中,满足f′(x0)=0,即=0,‎ ‎∴,x0=﹣lnx0,‎ ‎∴[h′(x)]min=﹣lnx0﹣1=>2﹣1=1>0,…‎ ‎∴x∈[),h′(x)>0,‎ ‎∴h(x)在[)内单调递增,…‎ ‎∴[h(x)]min=h()=﹣=+,‎ 结合(*)有,‎ 即实数m的取值范围为[,+∞). …‎ ‎ ‎ ‎[选修4-1:几何证明选讲]‎ ‎22.如图,AD,CF分别是△ABC的中线和高线,PB,PC是△ABC外接圆O的切线,点E是PA与圆O的交点.‎ ‎(1)求证:AC•CD=AF•PC;‎ ‎(2)求证:DC平分∠ADE.‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段.‎ ‎【分析】(1)证明△AFC∽△CDP,即可证明AC•CD=AF•PC;‎ ‎(2)延长AD交圆O于点G,连结GE,BG,EC,证明,△BDG≌△CDE,可得∠BDG=∠CDE,∠ADC=∠BDG=∠CDE,即可证明:DC平分∠ADE.‎ ‎【解答】证明:(1)由PC为圆O切线,知∠CAF=∠DCP,‎ ‎∵PB,PC是圆O的切线,D为BC中点,‎ ‎∴O,D,P三点共线,且OP⊥BC,‎ ‎∴∠AFC=∠CDP=90°,△AFC∽△CDP,‎ ‎∴,即AC•CD=AF•CP.‎ ‎(2)∵CF⊥AB,D为BC中点,‎ ‎∴,∠DFB=∠DBF,‎ ‎∴,于是,‎ 又∵∠AFD=180°﹣∠DFB=180°﹣∠ABC=∠ACP,‎ ‎∴△AFD∽△ACP,‎ 延长AD交圆O于点G,连结GE,BG,EC,‎ 由△AFD∽△ACP,知∠DAF=∠PAC,‎ ‎∴BG=EC,∠CBG=∠BCE,‎ 又D为BC中点,DB=DC,∴△BDG≌△CDE,‎ ‎∴∠BDG=∠CDE,∠ADC=∠BDG=∠CDE,‎ ‎∴DC平分∠ADE.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23.已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2(1+2sin2θ)=12,且曲线C的左焦点F在直线l上.‎ ‎(I)求实数m和曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,求+的值.‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(I)曲线C: =1,左焦点为F(﹣2,0),代入直线l得m;‎ ‎(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数)代入椭圆方程得t2﹣2t﹣2=0,即可求+的值.‎ ‎【解答】解:(I) 因为曲线C: =1,左焦点为F(﹣2,0),代入直线l得m=﹣2;‎ ‎(Ⅱ)直线l的参数方程是(t为参数)代入椭圆方程得t2﹣2t﹣2=0,‎ 则+===.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知函数f(x)=|2x﹣1|.‎ ‎(1)若不等式f(x+)≥2m+1(m>0)的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),求实数m的值;‎ ‎(2)若不等式f(x)≤2y++|2x+3|,对任意的实数x,y∈R恒成立,求实数a的最小值.‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式.‎ ‎【分析】(1)求得不等式f(x+)≥2m+1(m>0)的解集,再结合不等式f(x+)≥2m+1(m>0)的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),求得m的值.‎ ‎(2)由题意可得g(x)=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+,再利用绝对值三角不等式求得g(x)的最小值为4,可得4≤2y+ 恒成立,再利用基本不等式求得2y+ 的最小值为2,可得2≥4,从而求得a的范围.‎ ‎【解答】解:(1)∵不等式f(x+)≥2m+1(m>0)的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞),‎ 即|2(x+)﹣1|≤2m+1 的解集为(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞).‎ 由|2x|≥2m+1,可得2x≥2m+1,或2x≤﹣2m﹣1,‎ 求得 x≥m+,或x≤﹣m﹣,‎ 故|2(x+)﹣1|≤2m+1 的解集为(﹣∞,﹣m﹣]∪[m+,+∞),‎ 故有m+=2,且﹣m﹣=﹣2,‎ ‎∴m=.‎ ‎(2)∵不等式f(x)≤2y++|2x+3|,对任意的实数x,y∈R恒成立,‎ ‎∴|2x﹣1|≤2y++|2x+3|恒成立,‎ 即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+ 恒成立,‎ 故g(x)=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+.‎ ‎∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣(2x+3)|=4,‎ ‎∴4≤2y+ 恒成立,‎ ‎∵2y+≥2,‎ ‎∴2≥4,‎ ‎∴a≥4,‎ 故实数a的最小值为4.‎ ‎ ‎ ‎2016年11月22日

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