数学理·福建省三明市宁化一中2017届高三上学期8月段考数学试卷（理科）（a卷）+Word版含解析 21页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省三明市宁化一中高三（上）8月段考数学试卷（理科）（A卷）‎ ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数z=+i5的共轭复数为（　　）‎ A．1﹣2i B．1+2i C．i﹣1 D．1﹣i ‎2．在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（3，1）‎ ‎3．下列说法正确的是（　　）‎ A．“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有负实数”‎ B．命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R，若a≠0，且b≠0，则a2+b2≠0”‎ C．命题p：若回归方程为﹣x=1，则y与x负相关；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2或3，则命题p∨q为真命题 D．若X～N（1，4），则P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立的一个充分不必要条件t=1‎ ‎4．设a∈{﹣1，1，， }，则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数f（x）=log2（x+2）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）‎ ‎6．函数f（x）=asinx+bx﹣1，（a，b∈R），若f（lg）=2016，则f（lg2017）=（　　）‎ A．﹣2016 B．2016 C．2018 D．﹣2018‎ ‎7．已知函数f（x）=，则图中的图象对应的函数在下列给出的四个解析式中，只可能是（　　）‎ A．y=f（|x|） B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|） D．y=﹣f（|x|）‎ ‎8．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．则甲获第一名且丙获第二名的概率；（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（　　）‎ A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n） B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）‎ C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2 D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3‎ ‎10．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=ax（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a=（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎11．已知函数f（x）=ex，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）‎ A．2 B．2+ln2 C．e2 D．2e﹣ln ‎12．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=　　．‎ ‎14．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有　　．（用数字作答）‎ ‎15．已知函数y=cosx的图象与直线x=，x=以及x轴所围成的图形的面积为m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，则a8=　　（用数字作答）．‎ ‎16．设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知（3x﹣）n的展开式中各项的系数之和为32．‎ ‎（1）求（3x﹣）n的展开式中含有x的项的系数．‎ ‎（2）求（x+）•（3x﹣）n展开式中的常数项．‎ ‎18．已知命题P：函数f（x）=x2+ax+3﹣a，若x∈[﹣2，2]时，则f（x）≥2恒成立．‎ ‎（1）当命题P为真命题时，求实数a的取值集合M；‎ ‎（2）当集合E={a|a∈M}∩Z（Z为整数集）时，求集合E的子集的个数．‎ ‎19．某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人．‎ ‎（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：‎ 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计 问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、‎ ‎（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X；‎ ‎①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；‎ ‎②求X的数学期望和方差．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（K2=，其中n=a+b+c+d）‎ ‎20．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．‎ ‎21．设函数f（x）=ex﹣lnx﹣1，其中e是自然对数的底数 ‎（1）求证：函数f（x）存在极小值；‎ ‎（2）若∃x∈[，+∞），使得不等式﹣lnx﹣≤0成立，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AD，CF分别是△ABC的中线和高线，PB，PC是△ABC外接圆O的切线，点E是PA与圆O的交点．‎ ‎（1）求证：AC•CD=AF•PC；‎ ‎（2）求证：DC平分∠ADE．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．‎ ‎（I）求实数m和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求+的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．‎ ‎（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；‎ ‎（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省三明市宁化一中高三（上）8月段考数学试卷（理科）（A卷）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数z=+i5的共轭复数为（　　）‎ A．1﹣2i B．1+2i C．i﹣1 D．1﹣i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ ‎【解答】解∵z=+i5=，‎ ‎∴，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．在映射f：A→B中，A=B={（x，y）|x，y∈R}，且f：（x，y）→（x﹣y，x+y），则与A中的元素（﹣1，2）对应的B中的元素为（　　）‎ A．（﹣3，1） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（3，1）‎ ‎【考点】映射．‎ ‎【分析】根据已知中映射f：A→B的对应法则，f：（x，y）→（x﹣y，x+y），将A中元素（﹣1，2）代入对应法则，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由映射的对应法则f：（x，y）→（x﹣y，x+y），‎ 故A中元素（﹣1，2）在B中对应的元素为（﹣1﹣2，﹣1+2）‎ 即（﹣3，1）‎ 故选A ‎　‎ ‎3．下列说法正确的是（　　）‎ A．“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有负实数”‎ B．命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R，若a≠0，且b≠0，则a2+b2≠0”‎ C．命题p：若回归方程为﹣x=1，则y与x负相关；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2或3，则命题p∨q为真命题 D．若X～N（1，4），则P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立的一个充分不必要条件t=1‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：“∃a∈R，方程ax2﹣2x+a=0有正实根”的否定为“∀a∈R，方程ax2﹣2x+a=0没有正实根”，故A不正确；‎ 命题“a、b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”的逆否命题是“a、b∈R，若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”，故B不正确；‎ 命题p：若回归方程为﹣x=1，则y与x负相关，是假命题；命题q：数据1，2，3，4的中位数是2.5，是假命题，则命题p∨q为假命题，故C不正确；‎ 若X～N（1，4），则P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立可得t2﹣1+2t=2，∴t=1或3，∴P（X＜t2﹣1）=P（X＞2t）成立的一个充分不必要条件t=1，故D正确．‎ 故选D ‎　‎ ‎4．设a∈{﹣1，1，， }，则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】分别根据幂函数的想结合定义域和奇偶性进行排除判断即可．‎ ‎【解答】解：当a=﹣1时函数y=x﹣1的定义域为{x|x≠0}，不满足条件．定义域是R，‎ 当a=1时函数y=x的定义域为R，是奇函数，满足条件．‎ 当a=时函数y=x=的定义域为R，函数是奇函数，满足条件．，‎ 当a=时函数y=x=的定义域为R，函数为偶函数，不满足条件 故满足条件的a=1或，‎ 故选：C ‎　‎ ‎5．函数f（x）=log2（x+2）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（　　）‎ A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）‎ ‎【考点】二分法求方程的近似解．‎ ‎【分析】分别求出f（1），f（2）的值，从而求出函数的零点所在的范围．‎ ‎【解答】解：∵f（1）=﹣3＜0，f（2）=﹣=2﹣＞0，‎ ‎∴函数f（x）=log2（x+2）﹣（x＞0）的零点所在的大致区间是（1，2），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=asinx+bx﹣1，（a，b∈R），若f（lg）=2016，则f（lg2017）=（　　）‎ A．﹣2016 B．2016 C．2018 D．﹣2018‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】令g（x）=asinx+b，得到g（x）是奇函数，求出g（lg）的值，从而求出g的值即可．‎ ‎【解答】解：令g（x）=asinx+b，则g（﹣x）=﹣g（x），x∈R，g（x）是奇函数，‎ ‎∴g（lg）=2016+1=2017，‎ ‎∴g（lg2017）=﹣g（lg）=﹣2017，‎ ‎∴f（lg2017）=﹣2017﹣1=﹣2018，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．已知函数f（x）=，则图中的图象对应的函数在下列给出的四个解析式中，只可能是（　　）‎ A．y=f（|x|） B．y=|f（x）| C．y=f（﹣|x|） D．y=﹣f（|x|）‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】画出分段函数的图象，结合给出的函数图象可得对应的解析式．‎ ‎【解答】解：作出函数f（x）=的图象如图，‎ 则 对应的函数解析式为y=f（﹣|x|）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为．则甲获第一名且丙获第二名的概率；（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】甲获第一名且丙获第二名的情况为甲胜乙且甲胜丙且乙胜丙，由此能求出甲获第一名且丙获第二名的概率．‎ ‎【解答】解：设事件A表示“甲胜乙”，事件B表示“甲胜丙”，事件C表示“乙胜丙”，‎ 甲获第一名且丙获第二名的情况为甲胜乙且甲胜丙且乙胜丙，‎ ‎∴甲获第一名且丙获第二名的概率：‎ p=P（AB）=P（A）P（B）P（）‎ ‎==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．关于函数f（x）=（2x﹣）•x和实数m，n的下列结论中正确的是（　　）‎ A．若﹣3≤m＜n，则f（m）＜f（n） B．若m＜n≤0，则f（m）＜f（n）‎ C．若f（m）＜f（n），则m2＜n2 D．若f（m）＜f（n），则m3＜n3‎ ‎【考点】指数函数单调性的应用．‎ ‎【分析】观察本题中的函数，可得出它是一个偶函数，由于所给的四个选项都是比较大小的，或者是由函数值的大小比较自变量的大小关系的，可先研究函数在（0，+∞）上的单调性，再由偶函数的性质得出在R上的单调性，由函数的单调性判断出正确选项 ‎【解答】解：∵‎ ‎∴函数是一个偶函数 又x＞0时，与是增函数，且函数值为正，故函数在（0，+∞）上是一个增函数 由偶函数的性质知，函数在（﹣∞，0）上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值小，函数值就小，反之也成立 考察四个选项，A选项无法判断m，n离原点的远近；B选项m的绝对值大，其函数值也大，故不对；C选项是正确的，由f（m）＜f（n），一定可得出m2＜n2；D选项f（m）＜f（n），可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，不成立 综上知，C选项是正确的 故选C ‎　‎ ‎10．如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y=ax（a＞0，且a≠1），经过点E，B，则a=（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】指数函数的图象与性质．‎ ‎【分析】首先设点E（t，at），则点B坐标为（2t，2at），又因为2at=a2t，所以at=2；然后根据平行四边形的面积是8，求出t的值，代入at=2，求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：设点E（t，at），则点B坐标为（2t，2at），‎ 又因为2at=a2t，‎ 所以at=2；‎ 因为平行四边形OABC的面积=OC×AC=at×2t=4t，又平行四边形OABC的面积为8‎ 所以4t=8，t=2，‎ 所以．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=ex，g（x）=ln的图象分别与直线y=m交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）‎ A．2 B．2+ln2 C．e2 D．2e﹣ln ‎【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．‎ ‎【分析】由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2＞lnm，且m＞0，表示|AB|，构造函数，确定函数的单调性，即可求出|AB|的最小值．‎ ‎【解答】解：由题意，A（lnm，m），B（2，m），其中2＞lnm，且m＞0，‎ ‎∴|AB|=2﹣lnm，‎ 令y=﹣lnx（x＞0），则y′=﹣，‎ ‎∴x=，‎ ‎∴0＜x＜时，y′＜0；x＞时，y′＞0，‎ ‎∴y=﹣lnx（x＞0）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，‎ ‎∴x=时，|AB|min=2+ln2．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】题意可转化为函数y=f（x）与直线y=x的图象的交点的个数，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵7f（x）﹣2x=0，∴f（x）=x，‎ 作函数y=f（x）与直线y=x的图象如下，‎ ‎，‎ 结合图象可知，‎ 函数y=f（x）与直线y=x的图象有5个交点，‎ 故方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是5，‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=　（0，2]　．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可．‎ ‎【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，‎ 解得：﹣1≤x≤2，即A=[﹣1，2]，‎ 由B中y=2x＞0，得到B=（0，+∞），‎ 则A∩B=（0，2]，‎ 故答案为：（0，2]‎ ‎　‎ ‎14．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有　36　．（用数字作答）‎ ‎【考点】计数原理的应用．‎ ‎【分析】分类讨论：①甲公司要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲公司要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲公司要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；‎ 再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．‎ 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．‎ ‎②甲公司要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有3种，‎ 共3×2×3=18种分配方案．‎ 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，‎ 故答案为：36．‎ ‎　‎ ‎15．已知函数y=cosx的图象与直线x=，x=以及x轴所围成的图形的面积为m，若x10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10，则a8=　180　（用数字作答）．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】根据定积分的意义和求法求得m=2，再根据x10=[﹣2+（2﹣x）]10，利用二项式定理可得a8的值．‎ ‎【解答】解：函数y=cosx的图象与直线x=，x=以及x轴所围成的图形的面积为m==﹣sinx=2，‎ 若x10=[﹣2+（2﹣x）]10=a0+a1（m﹣x）+a2（m﹣x）2+…+a10（m﹣x）10 =a0+a1（2﹣x）+a2（2﹣x）2+…+a10（2﹣x）10，‎ 令则a8=•（﹣2）2=180，‎ 故答案为：180．‎ ‎　‎ ‎16．设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为　[﹣1，2]　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．‎ ‎【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，‎ ‎∵ex+1＞1，∴∈（0，1），‎ 由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，‎ 又﹣2sinx∈[﹣2，2]，‎ ‎∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，‎ 要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，‎ 总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，‎ 则，解得﹣1≤a≤2．‎ 即a的取值范围为﹣1≤a≤2．‎ 故答案为：[﹣1，2]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知（3x﹣）n的展开式中各项的系数之和为32．‎ ‎（1）求（3x﹣）n的展开式中含有x的项的系数．‎ ‎（2）求（x+）•（3x﹣）n展开式中的常数项．‎ ‎【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质．‎ ‎【分析】（1）（3x﹣）n的展开式中各项的系数之和为32．可得2n=32，解得n=5．令x=1，即可得出展开式中各项系数和．‎ ‎（2）由（1）知，（x+）•（3x﹣）n=，要求展开式的常数项，只需求展开式中含x与的项．利用通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）（3x﹣）n的展开式中各项的系数之和为32．∴2n=32，解得n=5．‎ 令x=1，则展开式中各项系数和为25=32．‎ ‎（2）由（1）知，（x+）•（3x﹣）n=，‎ 要求展开式的常数项，只需求展开式中含x与的项．‎ 由通项公式得：Tr+1=（3x）5﹣r=（﹣1）r35﹣rx5﹣2r，‎ 令5﹣2r=±1，得r=2或r=3．‎ 所以该展开式中的常数项为：﹣×32=180．‎ ‎　‎ ‎18．已知命题P：函数f（x）=x2+ax+3﹣a，若x∈[﹣2，2]时，则f（x）≥2恒成立．‎ ‎（1）当命题P为真命题时，求实数a的取值集合M；‎ ‎（2）当集合E={a|a∈M}∩Z（Z为整数集）时，求集合E的子集的个数．‎ ‎【考点】交集及其运算；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥2恒成立，即x2+ax+1﹣a≥0在[﹣2，2]上恒成立，分两种情况：若根的判别式小于等于0时满足题意；根的判别式大于0时，可得f（2）与f（﹣2）都大于等于0，且对称轴大于等于2或小于等于﹣2，求出a的范围即可确定出M；‎ ‎（2）求出M与整数集的交集确定出E，求出E子集个数即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）=x2+ax+3﹣a，当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥2恒成立，‎ ‎∴x2+ax+1﹣a≥0在[﹣2，2]上恒成立，‎ ‎∵△=a2﹣4（1﹣a）≤0，‎ ‎∴﹣2﹣2≤a≤﹣2+2，‎ 或，‎ 解得：﹣5≤a＜﹣2﹣2，‎ 则M={a|﹣5≤a≤2﹣2}；‎ ‎（2）由（1）得：M={a|﹣5≤a≤2﹣2}，‎ ‎∴E={a|a∈M}∩Z（Z为整数集）={﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0}，‎ 则集合E的子集个数为26=64．‎ ‎　‎ ‎19．某学校为了对教师教学水平和教师管理水平进行评价，从该校学生中选出300人进行统计．其中对教师教学水平给出好评的学生人数为总数的60%，对教师管理水平给出好评的学生人数为总数的75%，其中对教师教学水平和教师管理水平都给出好评的有120人．‎ ‎（1）填写教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：‎ 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 对教师教学水平不满意 合计 问：是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关、‎ ‎（2）若将频率视为概率，有4人参与了此次评价，设对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数为随机变量X；‎ ‎①求对教师教学水平和教师管理水平全好评的人数X的分布列（概率用组合数算式表示）；‎ ‎②求X的数学期望和方差．‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（K2=，其中n=a+b+c+d）‎ ‎【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）根据题意，可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表，计算K2，验证K2是否大于10.828，即可得出结论；‎ ‎（2）①分别求出X所有可能取值的概率，得出X的分布列；‎ ‎②由于X～B（4，），即可计算数学期望和方差．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得关于教师教学水平和教师管理水平评价的2×2列联表：‎ 对教师管理水平好评 对教师管理水平不满意 合计 对教师教学水平好评 ‎120‎ ‎60‎ ‎180‎ 对教师教学水平不满意 ‎105‎ ‎15‎ ‎120‎ 合计 ‎225‎ ‎75‎ ‎300‎ ‎…2分 ‎ ‎，‎ ‎∴可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为教师教学水平好评与教师管理水平好评有关； …5分 ‎（2）①对教师教学水平和教师管理水平全好评的概率为，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，其中；；；；，…8分 ‎ X 的分布列为：‎ ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ P ‎…10分 ‎②由于X～B（4，），则，． …12分 ‎　‎ ‎20．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上有最大值4和最小值1．设f（x）=．‎ ‎（1）求a、b的值；‎ ‎（2）若不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；‎ ‎（3）若f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】（1）由函数g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值．‎ ‎（2）不等式可化为 2x+﹣2≥k•2x，故有 k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，从而求得k的取值范围．‎ ‎（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0⇒|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，则t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），构造函数h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通过数形结合与等价转化的思想即可求得k的范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，‎ 因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，‎ 故，‎ 即，‎ 解得．‎ ‎（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，‎ 所以，不等式f（2x）﹣k•2x≥0可化为 2x+﹣2≥k•2x，‎ 可化为 1+（）2﹣2•≥k，令t=，则 k≤t2﹣2t+1．‎ 因 x∈[﹣1，1]，故 t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．‎ 记h（t）=t2﹣2t+1，因为 t∈[，2]，故 h（t）min=h（1）=0，‎ 所以k的取值范围是（﹣∞，0]． ‎ ‎（3）方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0可化为：‎ ‎|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0，‎ 令|2x﹣1|=t，则方程化为 t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），‎ ‎∵方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k=0有三个不同的实数解，‎ ‎∴由t=|2x﹣1|的图象知，‎ t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），有两个根t1、t2，‎ 且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．‎ 记h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），‎ 则，或 ‎∴k＞0．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=ex﹣lnx﹣1，其中e是自然对数的底数 ‎（1）求证：函数f（x）存在极小值；‎ ‎（2）若∃x∈[，+∞），使得不等式﹣lnx﹣≤0成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出（x＞0），从而＞0，进而函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，由此利用导数性质能证明函数f（x）存在极小值．‎ ‎（2）∃x∈[，+∞），使得不等式﹣lnx﹣≤0成立，等价于∃x∈[，+∞），使得不等式m≥ex﹣xlnx成立，令h（x）=ex﹣xlnx，x∈[，+∞），则h′（x）=ex﹣lnx﹣1=f（x），由此利用导性质能求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】证明：（1）∵f（x）=ex﹣lnx﹣1，∴（x＞0），‎ ‎∴＞0，‎ ‎∴函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，…‎ ‎∵f=﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，且函数f′（x）图象在（0，+∞）上不间断，‎ ‎∴∃x0∈（），使得f′（x0）=0，…‎ 结合函数f′（x）在（0，+∞）是增函数，有：‎ x ‎（0，x0）‎ ‎（x0，+∞）‎ f′（x）‎ ‎﹣‎ ‎+‎ ‎∴函数f（x）存在极小值f（x0）．‎ ‎（没体现单调区间扣1分） …‎ 解：（2）∃x∈[，+∞），使得不等式﹣lnx﹣≤0成立，‎ 等价于∃x∈[，+∞），使得不等式m≥ex﹣xlnx成立（*） …‎ 令h（x）=ex﹣xlnx，x∈[，+∞），‎ 则h′（x）=ex﹣lnx﹣1=f（x），‎ ‎∴结合（1）得：[h′（x）]min=，…‎ 其中，满足f′（x0）=0，即=0，‎ ‎∴，x0=﹣lnx0，‎ ‎∴[h′（x）]min=﹣lnx0﹣1=＞2﹣1=1＞0，…‎ ‎∴x∈[），h′（x）＞0，‎ ‎∴h（x）在[）内单调递增，…‎ ‎∴[h（x）]min=h（）=﹣=+，‎ 结合（*）有，‎ 即实数m的取值范围为[，+∞）． …‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图，AD，CF分别是△ABC的中线和高线，PB，PC是△ABC外接圆O的切线，点E是PA与圆O的交点．‎ ‎（1）求证：AC•CD=AF•PC；‎ ‎（2）求证：DC平分∠ADE．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（1）证明△AFC∽△CDP，即可证明AC•CD=AF•PC；‎ ‎（2）延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC，证明，△BDG≌△CDE，可得∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，即可证明：DC平分∠ADE．‎ ‎【解答】证明：（1）由PC为圆O切线，知∠CAF=∠DCP，‎ ‎∵PB，PC是圆O的切线，D为BC中点，‎ ‎∴O，D，P三点共线，且OP⊥BC，‎ ‎∴∠AFC=∠CDP=90°，△AFC∽△CDP，‎ ‎∴，即AC•CD=AF•CP．‎ ‎（2）∵CF⊥AB，D为BC中点，‎ ‎∴，∠DFB=∠DBF，‎ ‎∴，于是，‎ 又∵∠AFD=180°﹣∠DFB=180°﹣∠ABC=∠ACP，‎ ‎∴△AFD∽△ACP，‎ 延长AD交圆O于点G，连结GE，BG，EC，‎ 由△AFD∽△ACP，知∠DAF=∠PAC，‎ ‎∴BG=EC，∠CBG=∠BCE，‎ 又D为BC中点，DB=DC，∴△BDG≌△CDE，‎ ‎∴∠BDG=∠CDE，∠ADC=∠BDG=∠CDE，‎ ‎∴DC平分∠ADE．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]‎ ‎23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=12，且曲线C的左焦点F在直线l上．‎ ‎（I）求实数m和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求+的值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（I）曲线C： =1，左焦点为F（﹣2，0），代入直线l得m；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数）代入椭圆方程得t2﹣2t﹣2=0，即可求+的值．‎ ‎【解答】解：（I） 因为曲线C： =1，左焦点为F（﹣2，0），代入直线l得m=﹣2；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数）代入椭圆方程得t2﹣2t﹣2=0，‎ 则+===．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知函数f（x）=|2x﹣1|．‎ ‎（1）若不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求实数m的值；‎ ‎（2）若不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）求得不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集，再结合不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），求得m的值．‎ ‎（2）由题意可得g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+，再利用绝对值三角不等式求得g（x）的最小值为4，可得4≤2y+ 恒成立，再利用基本不等式求得2y+ 的最小值为2，可得2≥4，从而求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵不等式f（x+）≥2m+1（m＞0）的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），‎ 即|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．‎ 由|2x|≥2m+1，可得2x≥2m+1，或2x≤﹣2m﹣1，‎ 求得 x≥m+，或x≤﹣m﹣，‎ 故|2（x+）﹣1|≤2m+1 的解集为（﹣∞，﹣m﹣]∪[m+，+∞），‎ 故有m+=2，且﹣m﹣=﹣2，‎ ‎∴m=．‎ ‎（2）∵不等式f（x）≤2y++|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，‎ ‎∴|2x﹣1|≤2y++|2x+3|恒成立，‎ 即|2x﹣1|﹣|2x+3|≤2y+ 恒成立，‎ 故g（x）=|2x﹣1|﹣|2x+3|的最小值小于或等于2y+．‎ ‎∵|2x﹣1|﹣|2x+3|≤|2x﹣1﹣（2x+3）|=4，‎ ‎∴4≤2y+ 恒成立，‎ ‎∵2y+≥2，‎ ‎∴2≥4，‎ ‎∴a≥4，‎ 故实数a的最小值为4．‎ ‎　‎ ‎2016年11月22日