数学卷·2019届江苏省如东高级中学高二4月月考（2018-04） 14页

‎2017-2018学年如东中学高二数学第二学期 ‎ 第一次学情调研2018.4.14‎ 班级 学号 姓名 ‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1. 若复数（为虚数单位），则的虚部为 ▲ ． ‎ ‎2． 用反证法证明某命题时，对结论“自然数中至多有2个偶数”的正确假设为“假设自然数 ‎ ▲ ”． ‎ ‎3. 若复数满足（为虚数单位），则 ▲ ． ‎ ‎4. 已知函数，则的值为 ▲ ． ‎ ‎5． 对大于的自然数的次方幂有如下分解方式： ，，，根据上述分解规律，的分解数中有一个是59，则的值是 ▲ ．‎ ‎6. 设点是曲线（为实常数）上任意一点，点处切线的倾斜角为，则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎7. 若复数（）是纯虚数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限．‎ ‎8. 已知函数，则过（1,1）的切线方程为 ▲ ． ‎ ‎9. 函数在区间上有极小值，则实数的取值范围为 ▲ ．‎ ‎10.已知函数，不等式的解集为 ▲ ． ‎ ‎11. 椭圆中有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上.类比上述结论，双曲线上斜率为1的弦的中点在直线 ▲ 上．‎ ‎12.已知函数图象上任意不同的两点的连线的斜率都大于，则实数的取值范围为 ▲ ． ‎ ‎13.已知函数，设关于的方程（）有4个不同的实数解，则的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎14.已知函数，，若两函数与的图像有三个不同的公共点，则的范围为 ▲ ． ‎ 二、解答题 ：（本大题共6小题，共90分.）‎ ‎15. （本题满分14分）‎ ‎ 已知复数，（是虚数单位，，）‎ ‎（1）若是实数，求的值；‎ ‎（2）在（1）的条件下，若，求实数的取值范围.‎ ‎16. （本题满分14分）‎ 已知函数（）‎ ‎（1）若函数在时取得极值，求实数的值；‎ ‎（2）若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.‎ ‎17. （本题满分14分）‎ 如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD 焊接而成，焊接点 D 把杆AC 分成 AD， CD 两段，其中两固定点A，B 间距离为1 米，AB 与杆 AC 的夹角为60° ，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆BD 成本是 3a 元/米. 设 ÐADB = a ，则制作整个支架的总成本记为 S 元.‎ ‎（1）求S关于a 的函数表达式，并求出a的取值范围；‎ ‎（2）问 段多长时，S最小？‎ ‎18. （本题满分16分）‎ 已知函数，（且）‎ ‎（1）若，求函数在处的切线方程.‎ ‎（2）对任意，总存在，使得（其中为的导数）成立，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数，（，）.‎ ‎（1）若，，求函数的单调减区间；‎ ‎（2）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当，时，记函数的导函数的两个零点是和（），求证：.‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知函数，‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间上有1个零点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）是否存在正整数，使得在上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．‎ ‎2017-2018学年如东中学高二数学第二学期 ‎ 第一次学情调研（加试）2018.4.14‎ ‎ 班级 学号 姓名 ‎ 解答题：本大题共4小题，共40分.‎ ‎21.曲线在处的切线与直线的距离为，求直线的方程．‎ ‎22. 用数学归纳法证明：.‎ ‎23.已知函数（）.‎ ‎（1）若为的极值点，求实数的值；‎ ‎（2）当时，方程有实根，求实数的最大值.‎ ‎24.已知函数，对任意正整数，有，求方程的所有解．‎ ‎2017-2018学年如东中学高二数学第二学期 第一次学情调研 一、填空题 ‎1. 1 2．均为偶数 3. 4. 5．8 6. 7.四 ‎8. 9. 10. 11. 12. ‎ ‎13. 或 14. ‎ 二、解答题 ：（本大题共6小题，共90分.）‎ ‎15. 解.（1）因为是实数，所以，解得：； ………………7分 ‎（2）由第（1）问可得：，因为，，‎ 所以，解得： ………………14分 ‎16. 解：‎ ‎（1）因为函数在时取得极值，所以，解得，‎ 当时，，在时取得极值，所以（未检验扣2分）………7分 ‎（2）因为函数在区间上是单调增函数 所以，在区间上恒成立，即：在区间上恒成立 记，则 ‎，因为，所以所以，在 上是增函数 所以，，解得 所以：实数的取值范围为 …………14分 ‎17.解：在△ABD中,由正弦定理得，‎ 所以，‎ 则，‎ 由题意得 （定义域错扣2分）…………7分 ‎（2）令，，设， …………9分 ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调递减 极大值 单调递增 ‎…………12分 所以当时，S最小，此时 ‎∴ 当时S最小. …………14分 ‎18. 解：（1）若，则若，，，‎ 所以曲线在处的切线方程为 ‎ …………6分 ‎（2）对任意总存在，使得成立 得 …………8分 ‎①当时在上单调递减，在单调递增，所以在上的最小值为，在上的最小值为 由得得 …………12分 ‎②当时在单调递减所以在上的最小值为 在上的最小值为 由得无解 …………15分 综上实数的取值范围为 …………16分 ‎19．解：（1）由题意：，，时，‎ 所以 令，得，因为，所以或 所以的单调减区间为 …………4分 ‎（2）时，，‎ 不等式在上恒成立即为：在区间上恒成立 令，则，令得：，‎ 因为时，，时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增 所以，所以 …………10分 ‎（3）方法一：因为，所以，从而（）‎ 由题意知，，是方程的两个根，故.‎ 记，则，因为，所以 ‎，所以，，且（，）.‎ 因为，所以，.‎ 令，.‎ 因为，所以在单调递增，‎ 所以，即. …………16分 方法二：因为，所以，从而（）.‎ 由题意知，，是方程的两个根.记，则 ‎，‎ 因为，所以，，‎ 所以，，且在上为减函数.‎ 所以.‎ 因为，故. …………16分 ‎20． 解：（1）当时，，． …………………1分 令，解得，令，解得，‎ ‎∴的单调增区间为，单调减区间为． …………………3分 ‎（2），‎ 当时，由，知，‎ 所以，在上是单调增函数，且图象不间断，‎ 又，∴当时，，‎ ‎∴函数在区间上没有零点，不合题意． …………………5分 当时，由，解得，‎ 若，则，故在上是单调减函数，‎ 若，则，故在上是单调增函数，‎ ‎∴当时，，‎ 又∵，在上的图象不间断，‎ ‎∴函数在区间上有1个零点，符合题意． ……………………7分 综上所述，的取值范围为． ………………………………………8分 ‎（3）假设存在正整数，使得在上恒成立，‎ 则由知，从而对恒成立（*） ……………9分 记，得， ……………………………10分 设，，‎ ‎∴在是单调增函数，‎ 又在上图象是不间断的，‎ ‎∴存在唯一的实数，使得， ……………………12分 ‎∴当时，在上递减，‎ 当时，在上递增，‎ ‎∴当时，有极小值，即为最小值，，…………………14分 又，∴，∴，‎ 由（*）知，，又，，∴的最大值为3，‎ 即存在最大的正整数，使得在上恒成立． ………………16分 加试 ‎1. 解　y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x, ‎ ‎∴y′|x＝0＝2.‎ ‎∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1. ………………5分 设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，‎ 根据题意，得＝，∴b＝6或－4.‎ ‎∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4. ………………10分 ‎ ‎2.证明：（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立 ‎（2）假设当时命题成立，即 那么，当时， ‎ 即时，命题成立 由（1）（2）知等式对任意的均成立 ………………10分 ‎3.解：（1）‎ 因为为的极值点，所以，即，解得 又当时，，从而为的极值点成立 ……………4分 ‎（2）若时，方程可化为，‎ 问题转化为在上有解，‎ 因为，令（），‎ 则 所以当，，从而在上为增函数，‎ 当，，从而在上为减函数，‎ 因此.而，故，因此当时，取得最大值0. …………10分 ‎4. 证明：（1）当时，，解得，‎ 又，故 是方程的解； ……2分 ‎（2）假设是的解，即，‎ 则时，‎ 综合（1），（2）可知是的解； ……4分 另一方面，当时，在上单调递减； ……6分 假设时，在上单调递减，‎ 则时，=‎ 在上单调递减，‎ 故时，在上单调递减， ……8分 所以，在上单调递减，则在上至多一解；‎ 综上：是的唯一解. ……10分