【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版2-4幂函数与二次函数学案 14页

‎§2.4　幂函数与二次函数 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解幂函数的概念．‎ ‎2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．‎ ‎3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．‎ ‎4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.‎ 以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.‎ ‎1．幂函数 ‎(1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝‎ y＝x－1‎ 图象 性 质 定义域 R R R ‎{x|x≥0}‎ ‎{x|x≠0}‎ 值域 R ‎{y|y≥0}‎ R ‎{y|y≥0}‎ ‎{y|y≠0}‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 ‎(1,1)‎ ‎2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减；‎ 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；‎ 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 概念方法微思考 ‎1．二次函数的解析式有哪些常用形式？‎ 提示　(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ ‎(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；‎ ‎(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎2．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f(x)≥0恒成立的条件．‎ 提示　a>0且Δ≤0.‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)‎ ‎(2)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．‎ ‎(　√　)‎ ‎(3)函数y＝是幂函数．(　×　)‎ ‎(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)‎ ‎(5)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ 答案　C 解析　由幂函数的定义，知 ‎∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.‎ ‎3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)‎ A．a≥3 B．a≤3‎ C．a<－3 D．a≤－3‎ 答案　D 解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，‎ ‎∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 答案　C 解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，‎ f(x)＝(a∈Z)为偶函数，‎ 且在区间(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，‎ 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.‎ ‎5．已知函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，则y的最小值是______．‎ 答案　－1‎ 解析　函数y＝2x2－6x＋3的图象的对称轴为x＝>1，∴函数y＝2x2－6x＋3在[－1,1]上单调递减，‎ ‎∴ymin＝2－6＋3＝－1.‎ ‎6．设二次函数f(x)＝x2－x＋a(a>0)，若f(m)<0，则f(m－1)________0.(填“>”“<”或“＝”)‎ 答案　>‎ 解析　f(x)＝x2－x＋a图象的对称轴为直线x＝，且f(1)>0，f(0)>0，而f(m)<0，∴m∈(0,1)，∴m－1<0，∴f(m－1)>0.‎ 题型一　幂函数的图象和性质 ‎1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)‎ C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)‎ 答案　D 解析　设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.‎ ‎2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)‎ A．d>c>b>a B．a>b>c>d C．d>c>a>b D．a>b>d>c 答案　B 解析　由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a>b>c>d，故选B.‎ ‎3．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)‎ A．－3 B．1 C．2 D．1或2‎ 答案　B 解析　由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.‎ ‎4．(2018·阜新模拟)若(a＋1)<(3－2a)，则实数a的取值范围是____________．‎ 答案　(－∞，－1)∪ 解析　不等式(a＋1)<(3－2a)等价于a＋1>3－2a>0或3－2a0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.‎ 命题点2　二次函数的单调性 例3 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－3,0) B．(－∞，－3]‎ C．[－2,0] D．[－3,0]‎ 答案　D 解析　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．‎ 当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，‎ 由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知 解得－3≤a<0.综上，a的取值范围为[－3,0]．‎ 引申探究 若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.‎ 答案　－3‎ 解析　由题意知f(x)必为二次函数且a<0，‎ 又＝－1，∴a＝－3.‎ 命题点3　二次函数的最值 例4 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．‎ 解　f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.‎ ‎(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；‎ ‎(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；‎ ‎(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.‎ 综上可知，a的值为或－3.‎ 引申探究 将本例改为：求函数f(x)＝x2＋2ax＋1在区间[－1,2]上的最大值．‎ 解　f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，‎ ‎∴f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝－a.‎ ‎(1)当－a<即a>－时，f(x)max＝f(2)＝4a＋5，‎ ‎(2)当－a≥即a≤－时，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，‎ 综上，f(x)max＝ 命题点4　二次函数中的恒成立问题 例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，若不等式f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，则实数m的取值范围为____________．‎ 答案　(－∞，－1)‎ 解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1，又f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x，所以a＝1，b＝－1，所以f(x)＝x2－x＋1.f(x)>2x＋m在区间[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2－3x＋1－m＝2－－m，x∈[－1,1]，g(x)在[－1,‎ ‎1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，所以m<－1.‎ ‎(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则a的最大值为________．‎ 答案　2‎ 解析　令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a>1，所以a的最大值为2.‎ 思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：‎ ‎(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；‎ ‎(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．‎ ‎(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．‎ 跟踪训练2 (1)函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(　　)‎ A．b≥0 B．b≤0 C．b>0 D．b<0‎ 答案　A 解析　∵函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数，∴图象的对称轴x＝－在区间[0，＋∞)的左边或－＝0，即－≤0，得b≥0.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a＋4的定义域为R，值域为[1，＋∞)，则a的值为________．‎ 答案　－1或3‎ 解析　由于函数f(x)的值域为[1，＋∞)，‎ 所以f(x)min＝1.又f(x)＝(x－a)2－a2＋2a＋4，‎ 当x∈R时，f(x)min＝f(a)＝－a2＋2a＋4＝1，‎ 即a2－2a－3＝0，解得a＝3或a＝－1.‎ ‎(3)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　 解析　由题意得a>－对1.‎ 数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论．‎ 例 设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．‎ 解　f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1.‎ 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，‎ 所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；‎ 当t<10，‎ 解得m＝1.‎ ‎4．若命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a<0或a≥3 B．a≤0或a≥3‎ C．a<0或a>3 D．00恒成立，‎ 则a＝0或可得0≤a<3，‎ 故当命题“ax2－2ax＋3>0恒成立”是假命题时，a<0或a≥3.‎ ‎5．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则(　　)‎ A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0‎ C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0‎ 答案　A 解析　由f(0)＝f(4)，‎ 得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－＝2，‎ ‎∴4a＋b＝0，‎ 又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，‎ ‎∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.‎ ‎6．已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a，x∈[0,1]有最大值2，则a等于(　　)‎ A．2 B．0‎ C．0或－1 D．2或－1‎ 答案　D 解析　函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，其图象的对称轴方程为x＝a.当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，所以a＝－1；当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，所以a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0，所以a＝(舍去)；当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a，所以a＝2.综上可知，a＝－1或a＝2.‎ ‎7．已知f(x)＝x2，g(x)＝，h(x)＝x－2，当0g(x)>f(x)‎ 解析　分别作出f(x)，g(x)，h(x)的图象如图所示，‎ 可知h(x)>g(x)>f(x)．‎ ‎8．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差的绝对值等于7，则此二次函数的解析式是________________．‎ 答案　f(x)＝－4x2－12x＋40‎ 解析　设f(x)＝a2＋49(a≠0)，‎ 方程a2＋49＝0的两个实根分别为x1，x2，‎ 则|x1－x2|＝2 ＝7，‎ 所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.‎ ‎9．已知函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，那么f(2)的取值范围是______________．‎ 答案　[7，＋∞)‎ 解析　函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间上为增函数，由于其图象(抛物线)‎ 开口向上，所以其对称轴x＝或与直线x＝重合或位于直线x＝的左侧，即应有≤，解得a≤2，所以f(2)＝4－(a－1)×2＋5≥7，即f(2)≥7.‎ ‎10．设函数f(x)＝－2x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－6，2]，则m＋n的取值范围是______________．‎ 答案　[0,4]‎ 解析　令f(x)＝－6，得x＝－1或x＝3；令f(x)＝2，得x＝1.又f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴当m＝－1，n＝1时，m＋n取得最小值0；当m＝1，n＝3时，m＋n取得最大值4.‎ ‎11．(2018·河南南阳一中月考)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．‎ 答案　 解析　因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足 解得－1，即a<－时，‎ f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，‎ ‎∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．‎ 综上可知，a＝－或－1.‎ ‎13.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：‎ ‎①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；‎ 对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；‎ 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；‎ 由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a