四川省成都市郫都区2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 含解析 11页

四川省成都市郫都区2019-2020学年度上期期中考试高二数学（理）试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 直线x+y-1=0的倾斜角为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 抛物线y=4x2的焦点坐标是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 双曲线的一个焦点到它的渐近线的距离为（　　）‎ A. 1 B. C. D. 2‎ 4. 下列说法正确的是（　　）‎ A. 命题“3能被2整除”是真命题 B. 命题“,”的否定是“,” C. 命题“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题 D. 命题“若a、b都是偶数,则是偶数”的逆否命题是假命题 5. 已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点，命题q：α∥β，则p是q的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 直线l1：x+ay+6=0与l2：（a-2）x+3y+‎2a=0平行，则a的值等于（　　）‎ A. 或3 B. 1或‎3 ‎C. D. ‎ 7. 设m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，下列四个命题中正确的序号是（　　） ①若m⊥α，n∥α，则m⊥n      ②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β    ③若m∥α，n∥α，则m∥n     ④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），则k的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 9. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） ‎ A. 1 B. ‎3 ‎C. 6 D. 2‎ 10. 已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（）‎ A. 1条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 1. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF‎1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 3. 已知x、y满足不等式组，则z=3x+y的最大值为______．‎ 4. 体积为4π的球的内接正方体的棱长为______．‎ 5. 椭圆+=1与双曲线-=1有公共的焦点F1，F2，P是两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2= ______ ．‎ 6. 抛物线x2=2py（p＞0）上一 点A（，m）（m＞1）到抛物线准线的距离为，点A关于y轴的对称点为B，O为坐标原点，△OAB的内切圆与OA切于点E，点F为内切圆上任意一点，则的取值范围为______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 7. 已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线． （1）若q为真命题，求实数m的取值范围； （2）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围． ‎ 8. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC-1）=1． （Ⅰ）求B的大小； （Ⅱ）若，，求△ABC的面积． ‎ 9. 已知在等比数列{an}中，a1=2，且a1，a2，a3-2成等差数列． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列{bn}满足：，求数列{bn}的前n项和Sn． ‎ 1. 如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD． （Ⅰ）求证：CF∥平面ADE； （Ⅱ）若AE=，求多面体ABCDEF的体积V．‎ ‎ ‎ 2. 已知动点M（x，y）满足：． （1）求动点M的轨迹E的方程； （2）设过点N（-1，0）的直线l与曲线E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C（点C与点B不重合），证明：直线BC恒过定点，并求该定点的坐标． ‎ 3. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）． （1）求椭圆C的方程； （2）设与圆O：x2+y2=相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设直线x+y-1=0的倾斜角为α． 直线x+y-1=0化为． ∴tanα=-． ∵α∈[0°，180°）， ∴α=150°． 故选：D． 利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出． 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上， 故焦点坐标为（0，）， 故选：C． 把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标． 本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，是解题的关键． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】解：根据题意，由双曲线的方程为， 可得焦点坐标为（-2，0）（2，0），渐近线的方程为y=±x； 结合双曲线的对称性，其任一个焦点到它的渐近线的距离相等， 故只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，其距离为d==， 故选：C． 根据双曲线的方称可得其焦点坐标与渐近线的方程，由于双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可，由点到直线的距离公式，计算可得答案． 本题考查双曲线的性质，解题时注意结合双曲线的对称性，只需计算一个焦点到其中一条渐近线的距离即可． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】解：对于A，3不能被2整除，∴“3能被2整除”是假命题，A错误； 对于B，“∃x0∈R，x02-x0-1＜‎0”‎的否定是“∀x∈R，x2-x-1≥‎0”‎，∴B错误； 对于C，47不是7的倍数，49是7的倍数， ∴“47是7的倍数或49是7的倍数”是真命题，C正确； 对于D，“若a、b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题， 则它的逆否命题也是真命题，∴D错误． 故选：C． A，3不能被2整除，判断A是假命题； B，写出命题的否定，即可判断B是假命题； C，由47不是7的倍数，49是7的倍数，利用复合命题的真假性判断即可； D，根据原命题与它的逆否命题真假性相同，判断即可． 本题考查了命题真假的判断问题，是基础题． 5.【答案】B ‎ ‎【解析】解：当a，b都平行于α与β的交线时，a与b无公共点， 但α与β相交． 当α∥β时，a与b一定无公共点， ∴q⇒p，但p⇒/q 故选：B． 利用量平面平行的定义推出a与b没有公共点；a与b没有公共点时推不出α∥β，举一个反例即可．利用充要条件定义得选项． 本题考查两个平面平行的定义：两平面无公共点；充要条件的判断． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】解：因为两条直线平行，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等， 由，解得：a=-1， 故选：D． 直接利用两直线平行的充要条件，列出方程求解，解得a的值． 本题考查两直线平行的条件，要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况，要进行检验． 7.【答案】D ‎ ‎【解析】解：由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知： ∵m⊥α，n∥α，∴m⊥n，故①正确；     ∵α⊥γ，β⊥γ，∴α∥β或α与β相交，故②不正确；    ∵m∥α，n∥α，∴m与n相交、平行或异面，故③不正确；     ∵α∥β，β∥γ， ∴α∥γ， ∵m⊥α，∴m⊥γ，故④正确． 故选：D． 由m、n是两条不同的直线α，β，γ，是三个不同的平面，知：m⊥α，n∥α⇒m⊥n；α⊥γ，β⊥γ⇒α∥β或α与β相交；   m∥α，n∥α⇒m与n相交、平行或异面，故③不正确；α∥β，β∥γ⇒α∥γ，由m⊥α，知m⊥γ． 本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 8.【答案】A ‎ ‎【解析】解：如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°，∴k=±． 故选：A． 直线过定点，直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），可以发现∠QOx的大小，求得结果． 本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查由三视图求几何体的体积，在三个图形中，俯视图确定锥体的名称，即是几棱锥，正视图和侧视图确定锥体的高，注意高的大小，侧视图是最不好理解的一个图形，注意图形上的虚线部分，根据体积公式得到结果． 【解答】 解：由三视图知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形， 直角梯形的上底是1，下底是2，垂直于底边的腰是2， 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是2， ∴四棱锥的体积是=2. 故选D． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：根据题意，圆C1：x2+y2+2x-4y+1=0，即（x+1）2+（y-2）2=4，其圆心为（-1，2），半径r1=2， 圆C2：（x-3）2+（y+1）2=1，其圆心为（3，-1），半径r2=1， 则有|C‎1C2|==5＞r1+r2，两圆外离，有4条公切线； 故选：D． 根据题意，分析两圆的圆心与半径，进而分析两圆的位置关系，据此分析可得答案． 本题考查圆与圆的位置关系以及两圆的公切线，关键是分析两圆的位置关系，属于基础题． 11.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用. 由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y-4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小. 【解答】 解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r， ‎ 由已知得|OC|=|CE|=r， 过点O作直线2x+y-4=0的垂直线段OF， 交AB于D，交直线2x+y-4=0于F， 则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小. 此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y-4=0的距离为： d==， 此时r=， ∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（）2=. 故选A.‎ ‎ 12.【答案】A ‎ ‎【解析】解：椭圆的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0）， ∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G（，）， ∵，则∥，∴I的纵坐标为， 又∵|QF1|+|QF2|=‎2a，|F‎1F2|=‎2c， ∴=•|F‎1F2|•|y0|， 又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径， 内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形， ∴=（|QF1|+|F‎1F2|+|QF2|）||， 即×‎2c•|y0|=（‎2a+‎2c）||，∴‎2c=a，∴椭圆C的离心率为e=， ∴该椭圆的离心率， 故选：A． 由题意，设Q（x0，y0），由G为△F1QF2的重心，得G点坐标为（，），利用面积相等可得，×‎2c•|y0|=（‎2a+‎2c）||，从而求椭圆的离心率． 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心与内心的性质、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 13.【答案】9 ‎ ‎【解析】解：作出x、y满足不等式组表示的平面区域， 得到如图的三角形及其内部， 其中A（2，3），设z=F（x，y）=3x+y，将直线l：z=3x+y进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最大值， ∴z最大值=F（2，3）=9． 故答案为：9． 作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=3时，求出z=3x+y取得最大值． 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=3x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 14.【答案】2 ‎ ‎【解析】解：设球的半径为R，正方体的棱长a， 则=4， ∴R3=， ∴R=， 则由正方体的性质可知，正方体的体对角线=2R=2， ∴a=2， 故答案为：2． 先确定球的半径，利用球的内接正方体的对角线为球的直径，即可求得结论． 本题考查球的内接正方体，解题的关键是利用球的内接正方体的对角线为球的直径，属于基础题． 15.【答案】 ‎ ‎【解析】解：由题意设焦点F2（2，0）、F1（-2，0）， ∴3+b2=4，求得b2=1， 双曲线-=1，即双曲线-y2=1． 不妨设点P在第一象限， 再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2， 可得|PF1|=+，|PF2|=-，且|F1F2|=4． 再由余弦定理可得cos∠F1PF2= 即=， 故答案为：． 不妨设点P在第一象限，再根据椭圆、双曲线的定义和性质，可得|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=2，求得|PF1|和|PF2|的值，根据|F1F2|=4，利用余弦定理可得cos∠F1PF2的值． 本题主要考查椭圆、双曲线的定义和性质及其标准方程，余弦定理的应用，属于中档题． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为， 解得或p=6．当p=6时，，故p=6舍去，所以抛物线方程为x2=y，∴，所以△OAB是正三角形，边长为，其内切圆方程为x2+（y-2）2=1，如图4，∴．设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），则， ∴． 故答案为：． 利用点在抛物线上，求出m，点A到准线的距离为，求出p，即可解出抛物线方程，设点F（cosθ，2+sinθ）（θ为参数），化简数量积，求解范围即可． 本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力． 17.【答案】解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线， 则，得，得m＜-3，即q：m＜-3． （2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根 则，解得-2＜m＜-1，即p：-2＜m＜-1． 因p或q为真，所以p、q至少有一个为真． 又p且q为假，所以p，q至少有一个为假． 因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，，解得-2＜m＜-1； 当p为假，q为真时，，解得m＜-3． 综上，-2＜m＜-1或m＜-3． ‎ ‎【解析】（1）根据双曲线的标准方程进行求解即可． （2）根据复合命题真假关系得到p，q两命题应一真一假，进行求解即可． 本题主要考查复合命题的真假应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键． 18.【答案】解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC-1）=1得：2cosAcosC（-1）=1， ‎ ‎∴2（sinAsinC-cosAcosC）=1，即cos（A+C）=-， ∴cosB=-cos（A+C）=， 又0＜B＜π， ∴B=； （Ⅱ）由余弦定理得：cosB==， ∴=， 又a+c=，b=， ∴-2ac-3=ac，即ac=， ∴S△ABC=acsinB=××=． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）已知等式括号中利用同角三角函数间基本关系切化弦，去括号后利用两角和与差的余弦函数公式化简，再由诱导公式变形求出cosB的值，即可确定出B的大小； （Ⅱ）由cosB，b的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b以及b的值代入求出ac的值，再由cosB的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积． 此题考查了余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 19.【答案】解：（Ⅰ）等比数列{an}的公比设为q，a1=2， a1，a2，a3-2成等差数列，可得2a2=a1+a3-2， 即为4q=2+2q2-2，解得q=2， 则an=a1qn-1=2n，n∈N*； （Ⅱ）=+2log22n-1=+2n-1， 则数列{bn}的前n项和Sn=（++…+）+（1+3+…+2n-1） =+n（1+2n-1）=1-+n2． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）等比数列{an}的公比设为q，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，进而得到所求通项公式； （Ⅱ）求得=+2log22n-1=+2n-1，由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和． 本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列分组求和，以及化简整理的运算能力，属于中档题． 20.【答案】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC， ∵四边形BDEF是正方形，∴DE∥BF， ∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF， ∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE． （Ⅱ）解：连结AC，交BD于O， ∵四边形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD． ∴DE⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE， ∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD， 又BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDEF， ∵AE=，∠BCD=60°，∴AD=DE=BD=1， ∴AO=CO=， ∴多面体ABCDEF的体积： V=2VA-BDEF=2× =2× ‎ ‎=． ‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，从而平面ADE∥平面BCF，由此能证明CF∥平面ADE． （Ⅱ）连结AC，交BD于O，由线面垂直得AC⊥DE，由菱形性质得AC⊥BD，从而AC⊥平面BDEF，进而多面体ABCDEF的体积V=2VA-BDEF，由此能求出多面体ABCDEF的体积V． 本题考查线面平行证明，考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 21.【答案】解：（1）由已知，动点M到点P（-1，0），Q（1，0）的距离之和为2， 且|PQ|＜2，所以动点M的轨迹为椭圆，而a=，c=1，所以b=1， 所以，动点M的轨迹E的方程：+y2=1． （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则C（x1，-y1）， 由已知得直线l的斜率存在，设斜率为k， 则直线l的方程为：y=k（x+1）， 由，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0， 所以x1+x2=-，x1x2=， 直线BC的方程为：y-y2=（x-x2）， 所以y=x-， 令y=0，则x====-2， 所以直BC与x轴交于定点D（-2，0）． ‎ ‎【解析】（1）分别求出a，b，c的值，求出M的轨迹方程即可； （2）输出直线l的方程为：y=k（x+1），联立直线和椭圆的方程，根据根与系数的关系，求出定点D的坐标即可． 本题考查了求椭圆的轨迹方程问题，考查直线和椭圆的关系以及韦达定理的应用，是一道中档题． 22.【答案】解：（1）由题意可得，e==，a2-b2=c2， 点（1，）代入椭圆方程，可得+=1， 解得a=，b=1， 即有椭圆的方程为+y2=1； （2）①当k不存在时，x=±时，可得y=±， S△OAB=××=； ②当k存在时，设直线为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将直线y=kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0， x1+x2=-，x1x2=， 由直线l与圆O：x2+y2=相切，可得=， 即有4m2=3（1+k2）， |AB|=•=• =•=• =•≤•=2， 当且仅当9k2= 即k=±时等号成立， 可得S△OAB=|AB|•r≤×2×=， 即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y=±x±1． ‎ ‎【解析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程； （2）讨论①当k不存在时，②当k存在时，设直线为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，‎ y2），将直线y=kx+m代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线l的方程． 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查三角形的面积的最大值，注意运用分类讨论的思想方法，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件：d=r，和基本不等式的运用，属于中档题． ‎