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- 2021-06-15 发布
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第二节等差数列及其前n项和
1.等差数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.
2.等差数列的有关公式
(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:Sn=na1+d=.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
4.与等差数列各项的和有关的性质
(1)若{an}是等差数列,则也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公差的.
(2)若{an}是等差数列,Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.
(3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质.
①若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=.
②若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.
(4)两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为=.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.( )
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√
2.在等差数列中,若a2=4,a4=2,则a6=( )
A.-1 B.0
C.1 D.6
解析:选B ∵为等差数列,
∴2a4=a2+a6,∴a6=2a4-a2=2×2-4=0.
3.(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为( )
A.-24 B.-3
C.3 D.8
解析:选A 设等差数列{an}的公差为d,
因为a2,a3,a6成等比数列,所以a2a6=a,
即(a1+d)(a1+5d)=(a1+2d)2.
又a1=1,所以d2+2d=0.
又d≠0,则d=-2,
所以{an}前6项的和S6=6×1+×(-2)=-24.
4.已知数列是等差数列,且a1=1,a4=4,则a10=( )
A.- B.-
C. D.
解析:选A 设等差数列的公差为d,由题意可知,=+3d=,解得d=-,所以=+9d=-,所以a10=-.
5.已知等差数列{an}的公差d≠0,且a3+a9=a10-a8,若an=0,则n=________.
解析:因为a3+a9=a10-a8,
所以a1+2d+a1+8d=a1+9d-(a1+7d),
解得a1=-4d,
所以an=-4d+(n-1)d=(n-5)d,
令(n-5)d=0(d≠0),可解得n=5.
答案:5
6.在等差数列{an}中,an>0,a7=a4+4,Sn为数列{an}的前n项和,则S19=________.
解析:设等差数列{an}的公差为d,由a7=a4+4,得a1+6d=(a1+3d)+4,即a1+9d=8,所以a10=8,因此S19==19×a10=19×8=152.
答案:152
[考什么·怎么考]
等差数列的基本运算是高考中的常考内容,多出现在选择题、填空题和解答题的第(1)问中,属于基础题.
1.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=( )
A.12 B.13
C.14 D.15
解析:选B 设等差数列{an}的公差为d,
由S5=,得=25,解得a4=7,
所以7=3+2d,解得d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=13.
2.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
解析:选C 设等差数列{an}的公差为d,
则由得
即解得d=4.
3.(2018·福州质检)设等差数列{an}的公差d≠0,且a2=-d,若ak是a6与ak+6
的等比中项,则k=( )
A.5 B.6
C.9 D.11
解析:选C 因为ak是a6与ak+6的等比中项,
所以a=a6ak+6.
又等差数列{an}的公差d≠0,且a2=-d,
所以[a2+(k-2)d]2=(a2+4d)[a2+(k+4)d],
所以(k-3)2=3(k+3),
解得k=9,或k=0(舍去),故选C.
4.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a12=-8,S9=-9,则S16=________.
解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
由已知,得解得
∴S16=16×3+×(-1)=-72.
答案:-72
[怎样快解·准解]
1.等差数列运算中方程思想的应用
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
[易错提醒] 在求解数列基本量运算中,要注意公式使用时的准确性与合理性,更要注意运算的准确性.在遇到一些较复杂的方程组时,要注意整体代换思想的运用,使运算更加便捷.
2.等差数列前n项和公式的应用方法
根据不同的已知条件选用两个求和公式,若已知首项和公差,则使用公式Sn=na1+d;若已知通项公式,则使用公式Sn=,同时注意与性质“a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…”的结合使用.
等差数列的判定与证明是高考中常见题型,其基本方法是等差数列的定义,即证明an+1-an是一个与n无关的常数,既有选择题、填空题也有解答题,但以解答题为主,难度不大.
[典题领悟]
(2018·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3;
(2)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式.
[思维路径]
(1)要求数列的项,可根据已知首项和递推关系式,令n=1,2可解得.
(2)证明是等差数列,其关键应推出-为常数,对所给条件进行必要的变形即可.
解:(1)由已知,得a2-2a1=4,
则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.
由2a3-3a2=12,
得2a3=12+3a2,所以a3=15.
(2)证明:由已知nan+1-(n+1)an=2n2+2n,
得=2,即-=2,
所以数列是首项=1,公差d=2的等差数列.
则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.
[解题师说]
等差数列的判定与证明方法
方 法
解 读
适合题型
定义法
对于任意自然数n(n≥2),an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公
式法
验证Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
[注意]
用定义证明等差数列时,容易漏掉对起始项的检验,从而产生错解.比如,对于满足an-an-1=1(n≥3)的数列{an}而言并不能判定其为等差数列,因为不能确定起始项a2-a1
是否等于1.
[冲关演练]
1.(2018·陕西质检)已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a,b∈R)且a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13 B.49
C.35 D.63
解析:选B 由Sn=an2+bn(a,b∈R)可知数列{an}是等差数列,所以S7===49.
2.已知数列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),设bn=(n∈N*).求证:数列{bn}是等差数列.
证明:∵an=2-(n≥2),
∴an+1=2-.
∴bn+1-bn=-=-==1,
∴{bn}是首项为b1==1,公差为1的等差数列.
等差数列的性质在高考中也是常考内容.灵活应用由定义推导出的重要性质,在解题过程中可以达到避繁就简的目的.常以选择题、填空题的形式出现.,公差不为零的等差数列,其前n项和的最值在高考中时常出现,题型既有选择题、填空题也有解答题,难度不大.
[典题领悟]
1.在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A.S15 B.S16
C.S15或S16 D.S17
解析:选A ∵a1=29,S10=S20,
∴10a1+d=20a1+d,解得d=-2,
∴Sn=29n+×(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.
∴当n=15时,Sn取得最大值.
2.(2018·石家庄一模)已知函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,且f(x)在(-1,+∞)上单调,若数列{an}是公差不为0的等差数列,且f(a50)=f(a51),则数列{an}的前100项的和为
❶ ❷ ( )
A.-200 B.-100
C.-50 D.0
[学审题]
①由函数的对称性及单调性知f(x)在(-∞,-1)上也单调;
②结合函数的性质知a50+a51=-2.
解析:选B 因为函数f(x)的图象关于直线x=-1对称,又函数f(x)在(-1,+∞)上单调,所以f(x)在(-∞,-1)上也单调,且数列{an}是公差不为0的等差数列.又f(a50)=f(a51),所以a50+a51=-2,所以S100==50(a50+a51)=-100.
[解题师说]
1.应用等差数列的性质解题的2个注意点
(1)如果{an}为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件;若求am项,可由am=(am-n+am+n)转化为求am-n,am+n或am+n+am-n的值.
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用,如an=am+(n-m)d,d=
,S2n-1=(2n-1)an,Sn==(n,m∈N*)等.
2.求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;
②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
3.理清等差数列的前n项和与函数的关系
等差数列的前n项和公式为Sn=na1+d可变形为Sn=n2+n,令A=,B=a1-,则Sn=An2+Bn.
当A≠0,即d≠0时,Sn是关于n的二次函数,(n,Sn)在二次函数y=Ax2+Bx的图象上,即为抛物线y=Ax2+Bx上一群孤立的点.利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题.
[冲关演练]
1.(2018·岳阳模拟)在等差数列{an}中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=( )
A.95 B.100
C.135 D.80
解析:选B 由等差数列的性质可知,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列,于是a7+a8=(a1+a2)+(4-1)[(a3+a4)-(a1+a2)]=40+3×20=100.
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A.6 B.7
C.12 D.13
解析:选C 因为a1>0,a6a7<0,所以a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0,a1+a13=2a7<0,所以S12>0,S13<0,所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),则数列{an}的项数为________.
解析:由题意知a1+a2+…+a6=36,①
an+an-1+an-2+…+an-5=180,②
①+②得(a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+an-5)=6(a1+an)=216,
∴a1+an=36,
又Sn==324,
∴18n=324,∴n=18.
答案:18
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1.(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a8+a10=28,则S9=( )
A.36 B.72
C.144 D.288
解析:选B 法一:∵a8+a10=2a1+16d=28,a1=2,
∴d=,∴S9=9×2+×=72.
法二:∵a8+a10=2a9=28,∴a9=14,
∴S9==72.
2.(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7的值是( )
A.20 B.36
C.24 D.72
解析:选C 由a2+S3=4及a3+S5=12,
得解得
∴a4+S7=8a1+24d=24.
3.(2018·西安质检)已知数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2.若ak·ak+1<0,则正整数k=( )
A.21 B.22
C.23 D.24
解析:选C 由3an+1=3an-2⇒an+1-an=-⇒{an}是等差数列,则an=-n.∵ak·ak+1<0,
∴<0,∴0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为________.
解析:∵∴
∴Sn的最大值为S5.
答案:S5
9.若等差数列{an}的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13=________.
解析:因为S17=×17=17a9=51,所以a9=3.
根据等差数列的性质知a5+a13=a7+a11,
所以a5-a7+a9-a11+a13=a9=3.
答案:3
10.在等差数列{an}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=________.
解析:因为S100=(a1+a100)=45,所以a1+a100=,
a1+a99=a1+a100-d=,
则a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×=10.
答案:10
B级——中档题目练通抓牢
1.(2018·湖南五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=( )
A.72 B.88
C.92 D.98
解析:选C 法一:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,故数列{an}是公差为3的等差数列,又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,∴a1=1,S8=8a1+d=92.
法二:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,故数列{an}是公差为3的等差数列,S8===92.
2.(2018·广东潮州二模)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增一十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:几日相逢( )
A.8日 B.9日
C.12日 D.16日
解析:选B 设n日相逢,则依题意得103n+×13+97n+×=1 125×2,
整理得n2+31n-360=0,
解得n=9(负值舍去),故选B.
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,其中n∈N*,则下列命题错误的是( )
A.若an>0,则Sn>0
B.若Sn>0,则an>0
C.若an>0,则{Sn}是单调递增数列
D.若{Sn}是单调递增数列,则an>0
解析:选D 由等差数列的性质可得:∀n∈N*,an>0,则Sn>0,反之也成立.an>0,d>0,则{Sn}是单调递增数列.因此A、B、C正确.
对于D,{Sn}是单调递增数列,则d>0,而an>0不一定成立.
4.在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前 n项和为Sn ,当且仅当n=8 时Sn 取得最大值,则d 的取值范围为________.
解析:由题意,当且仅当n=8时Sn有最大值,
可得即解得-10),
则
解得或(舍去),
∴an=1+2(n-1)=2n-1,Sn==n2,n∈N*.
(2)由(1)知,bn+1-bn===,
bn-b1=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)
=
==(n≥2),
∴bn=.
当n=1时,b1=1也符合上式,
∴bn=(n∈N*).
C级——重难题目自主选做
已知数列{an}满足,an+1+an=4n-3(n∈N*).
(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;
(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn.
解:(1)法一:∵数列{an}是等差数列,
∴an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.
由an+1+an=4n-3,
得a1+nd+a1+(n-1)d=4n-3,
∴2dn+(2a1-d)=4n-3,
即2d=4,2a1-d=-3,解得d=2,a1=-.
法二:在等差数列{an}中,由an+1+an=4n-3,
得an+2+an+1=4(n+1)-3=4n+1,
∴2d=an+2-an=4n+1-(4n-3)=4,∴d=2.
又∵a1+a2=2a1+d=2a1+2=1,∴a1=-.
(2)由题意知,①当n为奇数时,
Sn=a1+a2+a3+…+an
=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)
=2+4[2+4+…+(n-1)]-3×
=.
②当n为偶数时,Sn=a1+a2+a3+…+an
=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)
=1+9+…+(4n-7)
=.
综上,Sn=
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1.(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a8+a10=28,则S9=( )
A.36 B.72
C.144 D.288
解析:选B 法一:∵a8+a10=2a1+16d=28,a1=2,
∴d=,∴S9=9×2+×=72.
法二:∵a8+a10=2a9=28,∴a9=14,
∴S9==72.
2.(2018·湖南五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=( )
A.72 B.88
C.92 D.98
解析:选C 法一:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,故数列{an}是公差为3的等差数列,又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,∴a1=1,S8=8a1+d=92.
法二:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,故数列{an}是公差为3的等差数列,S8=
==92.
3.(2018·东北四市高考模拟)已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5,则|a1|+|a2|+…+|a6|=( )
A.9 B.15
C.18 D.30
解析:选C 由an+1-an=2可得数列{an}是等差数列,公差d=2,又a1=-5,所以an=2n-7,所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+|a6|=5+3+1+1+3+5=18.
4.(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中《均属章》有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知A,B,C,D,E五人分5钱,A,B两人所得与C,D,E三人所得相同,且A,B,C,D,E每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).在这个问题中,E所得为( )
A.钱 B.钱
C.钱 D.钱
解析:选A 由题意,设A所得为a-4d,B所得为a-3d,C所得为a-2d,D所得为a-d,E所得为a,则解得a=,故E所得为钱.
5.(2018·云南11校跨区调研)在数列{an}中,a1=3,an+1=,则a4=( )
A. B.1
C. D.
解析:选A 依题意得==+,-=,故数列是以=为首项、为公差的等差数列,则=+=,an=,a4=.
6.(2016·北京高考)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=________.
解析:∵a3+a5=2a4,∴a4=0.
∵a1=6,a4=a1+3d,∴d=-2.
∴S6=6a1+d=6×6-30=6.
答案:6
7.在等差数列{an}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=________.
解析:因为S100=(a1+a100)=45,所以a1+a100=,
a1+a99=a1+a100-d=,
则a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×=10.
答案:10
8.(2018·广东深圳中学月考)已知数列{an}为等差数列,a3=7,a1+a7=10,Sn为其前n项和,则使Sn取到最大值的n=________.
解析:设等差数列{an}的公差为d,由题意得故d=a4-a3=-2,an=a3+(n-3)d=7-2(n-3)=13-2n.令an>0,得n<6.5.所以在等差数列{an}中,其前6项均为正,其他各项均为负,于是使Sn取到最大值的n的值为6.
答案:6
9.(2018·广西三市第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log4an+1,求{bn}的前n项和Tn.
解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,
当n=1时,a1=2-1=1,满足an=2n-1,
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)得,bn=log4an+1=,
则bn+1-bn=-=,
∴数列{bn}是首项为1,公差d=的等差数列,
∴Tn=nb1+d=.
10.设数列{an}的各项都为正数,其前n项和为Sn,已知对任意n∈N*,Sn是a和an的等差中项.
(1)证明:数列{an}为等差数列;
(2)若bn=-n+5,求{an·bn}的最大项的值并求出取最大值时n的值.
解:(1)证明:由已知可得2Sn=a+an,且an>0,
当n=1时,2a1=a+a1,解得a1=1.
当n≥2时,有2Sn-1=a+an-1,
所以2an=2Sn-2Sn-1=a-a+an-an-1,
所以a-a=an+an-1,
即(an+an-1)(an-an-1)=an+an-1,
因为an+an-1>0,所以an-an-1=1(n≥2).
故数列{an}是首项为1,公差为1的等差数列.
(2)由(1)可知an=n,设cn=an·bn,
则cn=n(-n+5)=-n2+5n=-2+,
因为n∈N*,当n=2或n=3时,{an·bn}的最大项的值为6.
B级——拔高题目稳做准做
1.设{an}是等差数列,d是其公差,Sn是其前n项和,且S5S8,则下列结论错误的是( )
A.d<0
B.a7=0
C.S9>S5
D.当n=6或n=7时Sn取得最大值
解析:选C 由S50.同理由S7>S8,得a8<0.又S6=S7,∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7,∴a7=0,∴B正确;∵d=a7-a6<0,∴A正确;而C选项,S9>S5,即a6+a7+a8+a9>0,可得2(a7+a8)>0,由结论a7=0,a8<0,知C选项错误;∵S5S8,∴结合等差数列前n项和的函数特性可知D正确.选C.
2.若数列{an}满足-=1,且a1=5,则数列{an}的前200项中,能被5整除的项数为( )
A.90 B.80
C.60 D.40
解析:选B 数列{an}满足-=1,即-=1,又=1,∴数列是以1为首项,1为公差的等差数列,∴=n,∴an=2n2+3n,列表如下:
项
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
an的个位数
5
4
7
4
5
0
9
2
9
0
∴每10项中有4项能被5整除,∴数列{an}的前200项中,能被5整除的项数为80,故选B.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=________.
解析:因为等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,
所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,数列的公差d=1,am+am+1=Sm+1-Sm-1=5,
即2a1+2m-1=5,所以a1=3-m.
由Sm=(3-m)m+×1=0,
解得m=5.
答案:5
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a4+a9=24,则·的最大值为________.
解析:设等差数列{an}的公差为d,则a2+a4+a9=3a1+12d=24,即a1+4d=8,所以==a1+d=8-4d+d,则=8-4d+d=8-,=8-4d+d=8+,·==64-≤64,当且仅当d=0时取等号,所以·的最大值为64.
答案:64
5.已知数列{an}满足,an+1+an=4n-3(n∈N*).
(1)若数列{an}是等差数列,求a1的值;
(2)当a1=2时,求数列{an}的前n项和Sn.
解:(1)法一:∵数列{an}是等差数列,
∴an=a1+(n-1)d,an+1=a1+nd.
由an+1+an=4n-3,
得a1+nd+a1+(n-1)d=4n-3,
∴2dn+(2a1-d)=4n-3,
即2d=4,2a1-d=-3,
解得d=2,a1=-.
法二:在等差数列{an}中,由an+1+an=4n-3,
得an+2+an+1=4(n+1)-3=4n+1,
∴2d=an+2-an=4n+1-(4n-3)=4,∴d=2.
又∵a1+a2=2a1+d=2a1+2=1,
∴a1=-.
(2)由题意知,①当n为奇数时,
Sn=a1+a2+a3+…+an
=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an)
=2+4[2+4+…+(n-1)]-3×
=.
②当n为偶数时,Sn=a1+a2+a3+…+an
=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)
=1+9+…+(4n-7)
=.
综上,Sn=
6.已知数列{an}是等差数列,bn=a-a.
(1)证明:数列{bn}是等差数列;
(2)若a1+a3+a5+…+a25=130,a2+a4+a6+…+a26=143-13k(k为常数),求数列{bn}的通项公式.
解:(1)证明:设{an}的公差为d,
则bn+1-bn=(a-a)-(a-a)
=2a-(an+1-d)2-(an+1+d)2=-2d2,
∴数列{bn}是以-2d2为公差的等差数列.
(2)∵a1+a3+a5+…+a25=130,
a2+a4+a6+…+a26=143-13k,
∴13d=13-13k,∴d=1-k.
又13a1+×2d=130,
∴a1=-2+12k,
∴an=a1+(n-1)d=(-2+12k)+(n-1)(1-k)=(1-k)n+13k-3,
∴bn=a-a=(an+an+1)(an-an+1)=-2(1-k)2n+25k2-30k+5.