高考文科数学专题复习练习1不等关系与一元二次不等式 28页

第七章不等式、推理与证明 ‎7.1不等关系与一元二次不等式 ‎91‎ 不等式的性质及应用 ‎1.(2015江西上饶重点中学一模,文16,不等式的性质与应用,填空题)若关于x的不等式|x-1|-|x+m|≥a有解时,实数a的最大值为5,则实数m的值为　　　　　. ‎ 解析:令f(x)=|x-1|-|x+m|,‎ 由|x-1|-|x+m|≤|(x-1)-(x+m)|=|m+1|,‎ 可得f(x)的最大值为|m+1|,‎ 关于x的不等式|x-1|-|x+m|≥a有解,‎ 即为a≤|m+1|,又实数a的最大值为5,‎ 则|m+1|=5,解得m=4或-6.‎ 答案:4或-6‎ ‎2.(2015广西南宁一模,文10,不等式的性质与应用,选择题)设a=e‎6‎‎36‎,b=e‎7‎‎49‎,c=e‎8‎‎64‎,则a,b,c的大小关系为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 解析:∵a=e‎6‎‎36‎‎=‎e‎8‎‎36‎e‎2‎,b=e‎7‎‎49‎‎=‎e‎8‎‎49e,c=e‎8‎‎64‎,36e2>49e>64,∴a‎‎1‎b,故A不正确.‎ 可得ab=2,b2=1,∴ab>b2,故B不正确.‎ 可得-ab=-2,-a2=-4,∴-ab>-a2,故C不正确.‎ 答案:D ‎6.(2015甘肃河西五地一模,文6,不等式的性质及应用,选择题)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则‎1‎m‎+‎‎1‎n的最小值为(　　)‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ 解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),‎ ‎∵点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,∴m+n=1.‎ 则‎1‎m‎+‎‎1‎n=(m+n)‎1‎m‎+‎‎1‎n=2+nm‎+‎mn≥2+2nm‎·‎mn=4,当且仅当m=n=‎1‎‎2‎时取等号.‎ 答案:B ‎92‎ 一元二次不等式的解法 ‎10.(2015江西吉安一模,文10,一元二次不等式的解法,选择题)定义在R上的函数f(x)=ln(1+x2)+|x|,满足f(2x-1)>f(x+1),则x满足的关系是(　　)‎ A.(2,+∞)∪(-∞,-1) B.(2,+∞)∪(-∞,1)‎ C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(2,+∞)∪(-∞,0)‎ 解析:∵f(x)=ln(1+x2)+|x|,‎ ‎∴f(-x)=ln(1+x2)+|-x|=ln(1+x2)+|x|=f(x),‎ ‎∴f(x)是偶函数.当x≥0时,f(x)=ln(1+x2)+x为增函数,‎ 则不等式f(2x-1)>f(x+1),等价为f(|2x-1|)>f(|x+1|),‎ 即|2x-1|>|x+1|,平方得(2x-1)2>(x+1)2,‎ 即x2-2x>0,解得x>2或x<0.‎ 答案:D ‎15.(2015江西新八校联考一模,文15,一元二次不等式的解法,填空题)f(x)=‎1,x≥2,‎‎-1,x<2,‎则不等式x2·f(x)+x-2≤0的解集是　　　　　. ‎ 解析:当x≥2时,原不等式可化为x2+x-2≤0,‎ 解得,-2≤x≤1,此时x不存在.‎ 当x<2时,原不等式可化为-x2+x-2≤0,‎ 即x2-x+2≥0,解不等式可得x∈R,此时x<2.‎ 综上可得,原不等式的解集为{x|x<2}.‎ 答案:{x|x<2}‎ ‎7.2二次一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎94‎ 二元一次不等式(组)表示的平面区域问题 ‎1.(2015江西上饶重点中学一模,文15,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)已知变量x,y满足约束条件x+y-2≥0,‎‎2x-y-1≤0,‎x+4y-14≤0,‎则z=y+2‎x+1‎的取值范围是　　　　　. ‎ 解析:由约束条件x+y-2≥0,‎‎2x-y-1≤0,‎x+4y-14≤0‎作出可行域如图,‎ 联立x+y-2=0,‎‎2x-y-1=0,‎解得A(1,1),‎ 联立x+y-2=0,‎x+4y-14=0,‎解得C(-2,4),‎ z=y+2‎x+1‎的几何意义是可行域内的动点与定点P(-1,-2)连线的斜率,‎ ‎∵kPA=‎-2-1‎‎-1-1‎‎=‎‎3‎‎2‎,kPC=‎4+2‎‎-2+1‎=-6.‎ ‎∴z=y+2‎x+1‎的取值范围是(-∞,-6]∪‎3‎‎2‎‎,+∞‎.‎ 答案:(-∞,-6]∪‎‎3‎‎2‎‎,+∞‎ ‎2.(2015江西赣州一模,文13,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)不等式组x-y≤0,‎x-2y+2≥0,‎x≥-1‎表示的平面区域的面积为　　　　　. ‎ 解析:由题意作出其平面区域如图,‎ 方程x-y=0,x-2y+2=0与x=-1两两联立解得,H(-1,-1),G‎-1,‎‎1‎‎2‎,I(2,2),‎ 故S△HIG=‎1‎‎2‎‎×‎‎1‎‎2‎‎+1‎×3=‎9‎‎4‎.‎ 答案:‎‎9‎‎4‎ ‎9.(2015江西吉安一模,文9,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)在平面直角坐标系中,若不等式组x+y-1≥0,‎x-1≤0,‎ax-y+1≥0‎(a为常数)所表示的平面区域的面积等于5,则a的值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-11 B.3 C.9 D.9或-11‎ 解析:由题可知,a>0.作出不等式组对应的平面区域如图△ABC及其内部所示,‎ 则A(1,0),B(0,1),C(1,1+a),‎ 所以AC=1+a,‎ 故△ABC的面积S=‎1‎‎2‎×(1+a)·1=5,解得a=9.‎ 答案:C ‎7.(2015贵州黔东南州一模,文7,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)设动点P(x,y)在区域Q:x≥0,‎y≥x,‎x+y≤4‎上,过点P任作直线l,设直线l与区域Q的公共部分为线段AB,则以AB为直径的圆的面积的最大值为(　　)‎ A.π B.2π C.3π D.4π 解析:作出不等式组表示的平面区域为△MNO及其内部,‎ 得到如图的△MNO及其内部,‎ 其中M(0,4),N(2,2),O为坐标原点.‎ ‎∵直线l与区域Ω的公共部分为线段AB,‎ ‎∴当直线l与y轴重合时,|AB|=|OM|=4达到最大值,此时圆的半径为2,‎ 此时以AB为直径的圆的面积为S=π·22=4π.‎ 答案:D ‎15.(2015江西南昌零模,文15,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)设D是不等式组‎2x-y+1≥0,‎y+1≥0,‎‎2x+y+1≤0‎表示的平面区域,则区域D中的点P(x,y)到直线x+y-1=0的距离的最小值是　　　　　. ‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线x+y-1=0,‎ 由图象可知A到直线x+y-1=0的距离最小,‎ 由‎2x-y+1=0,‎‎2x+y+1=0,‎解得x=-‎1‎‎2‎,‎y=0,‎即A‎-‎1‎‎2‎,0‎.‎ 则A到直线x+y-1=0的距离d=‎-‎1‎‎2‎-1‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎4‎,‎ 答案:‎‎3‎‎2‎‎4‎ ‎13.(2015广西防城港、桂林一模,文13,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)已知x,y满足条件x-y+5≥0,‎x+y≥0,‎x≤3,‎则z=y-1‎x+3‎的最大值是　　　　　. ‎ 解析:z的几何意义为区域内的点到定点D(-3,1)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图,‎ 由图象可知AD的斜率最大,‎ 由x-y+5=0,‎x+y=0,‎解得x=-‎5‎‎2‎,‎y=‎5‎‎2‎,‎ 即D‎-‎5‎‎2‎,‎‎5‎‎2‎,此时z=‎5‎‎2‎‎-1‎‎-‎5‎‎2‎+3‎=3.‎ 答案:3‎ ‎15.(2015甘肃兰州一中模拟,文15,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)平面上满足约束条件x≥2,‎x+y≤0,‎x-y-10≤0‎的点(x,y)形成的区域为D,区域D关于直线y=2x,对称的区域为E,则区域D和E中距离最近两点的距离为　　　　　. ‎ 解析:先根据约束条件画出可行域,如图,作出区域D关于直线y=2x对称的区域,它们呈蝴蝶形,‎ 由图可知,可行域内点A(2,-2)到A'的距离最小,最小值为A到直线y=2x的距离的两倍.‎ 所以区域D和E中距离最近两点的距离为2×‎|4+2|‎‎5‎‎=‎‎6‎‎5‎‎5‎×2=‎12‎‎5‎‎5‎.‎ 答案:‎‎12‎‎5‎‎5‎ ‎10.(2015山西太原山大附中高三月考,文10,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)已知约束条件x-2y+1≤0,‎ax-y≥0,‎x≤1‎表示的平面区域为D,若区域D内至少有一个点在函数y=ex的图象上,那么实数a的取值范围为(　　)‎ A.[e,4) B.[e,+∞)‎ C.[1,3) D.[2,+∞)‎ 解析:由题意作出其平面区域及函数y=ex的图象,‎ 当x=1时,y=ex=e;结合函数图象知,‎ 实数a的取值范围为[e,+∞).‎ 答案:B ‎13.(2015甘肃兰州一中三模,文13,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)若平面区域‎|x|+|y|≤2,‎y+2≤k(x+1)‎是一个三角形,则k的取值范围是　　　　　. ‎ 解析:直线y+2=k(x+1)表示过(-1,-2)的直线,‎ 根据约束条件画出可行域如图:‎ 平面区域‎|x|+|y|≤2‎y+2≤k(x+1)‎是一个三角形,就是图中阴影部分,‎ 所以k∈(-∞,-2)∪‎0,‎‎2‎‎3‎.‎ 答案:(-∞,-2)∪‎‎0,‎‎2‎‎3‎ ‎9.(2015甘肃兰州一模,文9,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)已知不等式组x+y≤1,‎x-y≥-1,‎y≥0‎所表示的平面区域为D,若直线y=kx-3与平面区域D有公共点,则k的取值范围是(　　)‎ A.[-3,3] B.‎‎-∞,‎‎1‎‎3‎‎∪‎‎1‎‎3‎‎,+∞‎ C.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.‎‎-‎1‎‎3‎,‎‎1‎‎3‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图所示,y=kx-3过定点D(0,-3),‎ 则kAD=‎-3‎‎0-1‎=3,kBD=‎-3‎‎0-(-1)‎=-3,‎ 要使直线y=kx-3与平面区域M有公共点,‎ 由图象可知k≥3或k≤-3.‎ 答案:C ‎7.(2015甘肃庆阳一诊,文7,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)设不等式组x-2y+2≥0,‎x≤4,‎y≥-2‎表示的平面区域为D,则区域D的面积为(　　)‎ A.10 B.15 C.20 D.25‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则区域D为△ABC,‎ 由x=4,‎y=-2,‎得C(4,-2),‎ 由x-2y+2=0,‎x=4,‎得x=4,‎y=3,‎即A(4,3),‎ 由x-2y+2=0,‎y=-2,‎得x=-6,‎y=-2,‎即B(-6,-2),‎ 则区域D的面积S=‎1‎‎2‎AC·BC=‎1‎‎2‎×5×10=25.‎ 答案:D ‎8.(2015甘肃河西五地一模,文8,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)已知集合‎(x,y)‎‎2x+y-4≤0,‎x+y≥0,‎x-y≥0‎表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为(　　)‎ A.‎3π‎16‎ B.π‎16‎ C.π‎32‎ D.‎‎3π‎32‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB,‎ 由‎2x+y-4=0,‎x+y=0,‎解得x=4,‎y=-4,‎即B(4,-4),‎ 由‎2x+y-4=0,‎x-y=0,‎解得x=‎4‎‎3‎,‎y=‎4‎‎3‎,‎ 即A‎4‎‎3‎‎,‎‎4‎‎3‎,‎ 直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),‎ 则△OAB的面积S=‎1‎‎2‎×2×‎4‎‎3‎‎+‎‎1‎‎2‎×2×4=‎16‎‎3‎,‎ 点P的坐标满足不等式x2+y2≤2,区域面积S=‎1‎‎4‎×π×(‎2‎)2=π‎2‎,‎ 则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为π‎2‎‎16‎‎3‎‎=‎‎3π‎32‎.‎ 答案:D ‎95‎ 与目标函数有关的最值问题 ‎1.(2015吉林省实验中学二模,文4,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足线性约束条件x+y≤3,‎‎1‎‎2‎x≤y≤2x,‎则z=2x+y的最大值为(　　)‎ A.0 B.4 C.5 D.7‎ 解析:由约束条件x+y≤3,‎‎1‎‎2‎x≤y≤2x作出可行域如图,‎ 化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,‎ 联立x+y=3,‎y=‎1‎‎2‎x,‎解得A(2,1),‎ 由图可知,当直线过A时目标函数有最大值为z=2×2+1=5.‎ 答案:C ‎2.(2015山西太原一模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知x,y满足x≥2,‎x+y≤4,‎‎-2x+y+c≥0,‎且目标函数z=3x+y的最小值是5,则z的最大值是(　　)‎ A.10 B.12 C.14 D.15‎ 解析:不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=3x+y,得y=-3x+z,‎ 平移直线y=-3x+z,则由图象可知当直线y=-3x+z经过点C时,直线y=-3x+z的截距最小,‎ 此时z最小,为3x+y=5.‎ 由‎3x+y=5,‎x=2,‎解得x=2,‎y=-1,‎即C(2,-1),‎ 此时点C在-2x+y+c=0上,即-4-1+c=0,‎ 解得c=5,即直线方程为-2x+y+5=0,‎ 当目标函数经过B时,z取得最大值,‎ 由x+y=4,‎‎-2x+y+5=0,‎解得x=3,‎y=1,‎ 即B(3,1),此时z=3×3+1=10.‎ 答案:A ‎3.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足约束条件x-y+1≥0,‎‎2x+y-2≤0,‎x+y+1≥0,‎则z=x-2y的最大值为(　　)‎ A.11 B.-1 C.12 D.-2‎ 解析:由z=x-2y得y=‎1‎‎2‎x-z‎2‎,‎ 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):‎ 平移直线y=‎1‎‎2‎x-z‎2‎,‎ 由图象可知当直线y=‎1‎‎2‎x-z‎2‎过点C时,直线y=‎1‎‎2‎x-z‎2‎的截距最小,此时z最大,‎ 由‎2x+y-2=0,‎x+y+1=0,‎解得x=3,‎y=-4,‎即C(3,-4),‎ 代入目标函数z=x-2y,得z=3+2×4=11.‎ 故目标函数z=x-2y的最大值是11.‎ 答案:A ‎4.(2015广西桂林、防城港联合调研,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足约束条件x,y≥0,‎x-y≥-1,‎x+y≤3,‎则z=x-2y的取值范围为(　　)‎ A.[-2,0] B.[-3,0] C.[-2,3] D.[-3,3]‎ 解析:由约束条件x,y≥0,‎x-y≥-1,‎x+y≤3‎作出可行域如图,‎ 联立x-y=-1,‎x+y=3,‎解得x=1,‎y=2,‎即B(1,2).‎ 化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式y=x‎2‎‎-‎z‎2‎.‎ 由图可知,当直线y=x‎2‎‎-‎z‎2‎过B(1,2)时,直线在y轴上的截距最大,z最小,最小值为1-2×2=-3;‎ 当直线y=x‎2‎‎-‎z‎2‎过A(3,0)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为3-2×0=3.‎ 故z=x-2y的取值范围为[-3,3].‎ 答案:D ‎5.(2015广西柳州一模,文14,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知x,y满足不等式组y≤x,‎x+y≥2,‎x≤2,‎则目标函数z=2x+y的最大值为　　　　　. ‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).‎ 由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,‎ 由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大.‎ 由x=2,‎y=x,‎解得x=2,‎y=2,‎即A(2,2),‎ 代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6.‎ 即目标函数z=2x+y的最大值为6.‎ 答案:6‎ ‎7.(2015黑龙江大庆二模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知某线性规划问题的约束条件是y≤x,‎‎3y≥x,‎x+y≤4,‎则下列目标函数中,在点(3,1)处取得最小值的是(　　)‎ A.z=2x-y B.z=-2x+y C.z=-‎1‎‎2‎x-y D.z=2x+y 解析:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ A.由z=2x-y得y=2x-z,平移直线可得当直线经过点A(3,1)时,截距最小,此时z最大,‎ B.由z=-2x+y得y=2x+z,平移直线可得当直线经过点A(3,1)时,截距最小,此时z最小,满足条件,‎ C.由z=-‎1‎‎2‎x-y得y=-‎1‎‎2‎x-z,平移直线可得当直线经过点B时,截距最大,此时z最小,‎ D.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线可得当直线经过点A(3,1)时,截距最大,此时z最大.‎ 答案:B ‎8.(2015甘肃张掖4月模拟,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件x-y+3≥0,‎x+y≥0,‎x≤3,‎则z=x+2y的最大值为(　　)‎ A.21 B.15 C.-3 D.-15‎ 解析:作出不等式对应的平面区域,‎ 由z=x+2y,得y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎,‎ 平移直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎,‎ 由图象可知当直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎经过点B时,‎ 直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎的截距最大,此时z最大.‎ 由x-y+3=0,‎x=3‎得x=3,‎y=6,‎即B(3,6),‎ 此时z的最大值为z=3+2×6=15.‎ 答案:B ‎14.(2015山西太原二模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足条件x≥0,‎‎4x+3y≤4‎y≥0,‎,则z=y+1‎x的最小值为　　　　　. ‎ 解析:由约束条件x≥0,‎‎4x+3y≤4,‎y≥0,‎作出可行域如图,‎ z=y+1‎x‎=‎y-(-1)‎x-0‎,由图可知,可行域中只有A(1,0)与(0,-1)连线的斜率最小为1.‎ 答案:1‎ ‎9.(2015江西九江一模,文9,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足|x-2|≤y≤a,(a∈(0,+∞)),且z=2x+y的最大值为10,则a的值为(　　)‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ 解析:由|x-2|≤y≤a,作出可行域如图,‎ 联立y=a,‎x-y-2=0,‎解得A(a+2,a),‎ 化z=2x+y为y=-2x+z.‎ 由图可知,当直线y=-2x+z过A时,z有最大值,‎ 此时2(a+2)+a=10,解得a=2.‎ 答案:B ‎6.(2015江西鹰潭一模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足约束条件‎3x-y-6≤0,‎x-y+2≥0,‎x,y≥0,‎若目标函数z=ax+by(a,b>0)的最大值是12,则a2+b2的最小值是(　　)‎ A.‎6‎‎13‎ B.‎36‎‎5‎ C.‎6‎‎5‎ D.‎‎36‎‎13‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图,‎ 由z=ax+by(a>0,b>0),得y=-abx+zb,‎ 平移直线y=-abx+zb,由图象可知当直线y=-abx+zb经过点A时,直线y=-abx+zb的截距最大,此时确定最大值12,‎ 由‎3x-y-6=0,‎x-y+2=0,‎解得x=4,‎y=6‎即A(4,6),‎ 代入目标函数得4a+6b=12,即2a+3b=6,对应曲线为直线,‎ 设m=a2+b2,则m的几何意义是直线2a+3b=6上的点到原点的距离的平方,‎ 原点到直线2a+3b=6的距离d=‎|6|‎‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎=‎‎6‎‎13‎,‎ 故a2+b2的最小值m=d2=‎36‎‎13‎.‎ 答案:D ‎10.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)在平面直角坐标系中,若P(x,y)满足x-4y+4≤0,‎‎2x+y-10≤0,‎‎5x-2y+2≥0,‎则z=x+2y的最大值是(　　)‎ A.2 B.8 C.14 D.16‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域,‎ 由z=x+2y,得y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎,‎ 平移直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎,‎ 由图象可知当直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎经过点A时,‎ 直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎的截距最大,此时z最大.‎ 由x-4y+4=0,‎‎2x+y-10=0,‎得x=4,‎y=2,‎即A(4,2),‎ 此时z的最大值为z=4+2×2=8.‎ 答案:B ‎6.(2015吉林三模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足y≤2,‎‎3x-y-3≤0,‎‎2x+y-2≥0,‎则目标函数z=3x+y的最大值为(　　)‎ A.2 B.3 C.7 D.8‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图,‎ 由z=3x+y,得y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,‎ 由图象可知当直线y=-3x+z,经过点C时,直线y=-3x+z的截距最大,此时z最大.‎ 由y=2,‎‎3x-y-3=0,‎解得x=‎5‎‎3‎,‎y=2,‎即C‎5‎‎3‎‎,2‎.‎ 此时z的最大值为z=3×‎5‎‎3‎+2=7.‎ 答案:C ‎8.(2015江西上饶二模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件y≥x,‎x+3y≤4,‎x≥-2,‎则z=|x-3y|的取值范围为(　　)‎ A.[2,8] B.[0,8] C.[4,8] D.[0,4]‎ 解析:由约束条件y≥x,‎x+3y≤4,‎x≥-2,‎作出可行域如图,‎ z=x-3y,化为直线方程的斜截式得y=‎1‎‎3‎x-z‎3‎,‎ 联立x=-2,‎x+3y=4,‎解得A(-2,2),‎ 联立x=-2,‎y=x,‎解得B(-2,-2),‎ 由图可知,当直线y=‎1‎‎3‎x-z‎3‎过B时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为-2-3×(-2)=4;‎ 当直线y=‎1‎‎3‎x-z‎3‎过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-2-3×2=-8.‎ 故z=|x-3y|的取值范围是[0,8].‎ 答案:B ‎9.(2015江西六校联考二模,文9,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件x-y≥0,‎‎2x+y≤2,‎y+2≥0,‎则目标函数z=|x+3y|的最大值为(　　)‎ A.4 B.6 C.8 D.10‎ 解析:由题意作出其平面区域,‎ 令a=x+3y,可化为y=-‎1‎‎3‎x+‎1‎‎3‎a,‎1‎‎3‎a相当于直线y=-‎1‎‎3‎x+‎1‎‎3‎a的纵截距,‎ 当过点A‎2‎‎3‎‎,‎‎2‎‎3‎时,a有最大值‎2‎‎3‎+3×‎2‎‎3‎=2‎2‎‎3‎,‎ 当过点B(-2,-2)时,a有最小值-2-2×3=-8;‎ 故目标函数z=|x+3y|的最大值为8.‎ 答案:C ‎8.(2015江西景德镇二模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足y≥0,‎y-x+1≤0,‎y-2x+4≥0,‎若z=y-ax(a≠0)取得的最优解(x,y)有无数个,则a的值为(　　)‎ A.2 B.1 C.1或2 D.-1‎ 解析:由约束条件y≥0,‎y-x+1≤0,‎y-2x+4≥0,‎作出可行域如图,‎ 由z=y-ax(a≠0),得y=ax+z,∵a≠0,‎ ‎∴要使z=y-ax(a≠0)取得的最优解(x,y)有无数个,‎ a不能为负值,当a>0时,直线y=ax+z与线段AC所在直线重合时,使z=y-ax取得最大值的最优解有无数个;‎ 直线y=ax+z与线段BC所在直线重合时,使z=y-ax取得最小值的最优解有无数个.‎ 综上,要使z=y-ax(a≠0)取得的最优解(x,y)有无数个,则a=1或2.‎ 答案:C ‎10.(2015江西鹰潭二模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)鹰潭市某学校计划招聘男教师x名,女教师y名,x和y须满足约束条件‎2x-y≥5,‎x-y≤2,‎x<6,‎则该校招聘的教师最多有(　　)名.‎ A.7 B.8 C.10 D.13‎ 解析:设该校招聘的教师最多有z名,则z=x+y,作出不等式组对应的平面区域如图,‎ 由z=x+y得y=-x+z,平移直线y=-x+z,‎ 由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.‎ 但此时z最大值取不到,由图象当直线经过整点E(5,5)时,z=x+y取得最大值,‎ 代入目标函数z=x+y得z=5+5=10.‎ 即该校招聘的教师最多有10名.‎ 答案:C ‎8.(2015广西南宁一模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足‎2x+y≥4,‎x-y≥-1,‎x-2y≤2,‎则z=x+y的最小值为(　　)‎ A.-2 B.-1‎ C.1 D.2‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).‎ 由z=x+y得y=-x+z,平移直线y=-x+z,‎ 由图象可知当直线y=-x+z经过点B时,‎ 直线y=-x+z的截距最小,此时z最小.‎ 由‎2x+y=4,‎x-2y=2,‎解得x=2,‎y=0,‎即B(2,0),‎ 代入目标函数z=x+y得z=2+0=2.‎ 即目标函数z=x+y的最小值为2.‎ 答案:D ‎8.(2015贵州贵阳二模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足不等式组y≤5,‎‎2x-y+3≤0,‎x+y-1≥0,‎则z=x+2y的最大值是(　　)‎ A.10 B.11 C.13 D.14‎ 解析:作出不等式对应的平面区域,‎ 由z=x+2y,得y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎,‎ 平移直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎,由图象可知当直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎经过点B时,直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎的截距最大,此时z最大.‎ 由y=5,‎‎2x-y+3=0,‎得x=1,‎y=5,‎即B(1,5),‎ 此时z的最大值为z=1+2×5=1+10=11.‎ 答案:B ‎6.(2015广西梧州一模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足y≥1,‎y≤2x-1,‎x+y≤5,‎则z=x-y的最小值为(　　)‎ A.1 B.-1 C.2 D.-2‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图,‎ 由z=x-y,得y=x-z,表示斜率为1纵截距为-z的一组平行直线,‎ 平移直线y=x-z,当直线y=x-z经过点A时,直线y=x-z的截距最大,此时z最小,‎ 由y=2x-1,‎x+y=5,‎解得x=2,‎y=3,‎ 即A(2,3),此时zmin=2-3=-1.‎ 答案:B ‎10.(2015江西新余二模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)若‎0≤x≤π‎2‎,‎sinx≤y≤cosx,‎则z=x+2y的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎π‎6‎ B.[0,‎3‎]‎ C.‎0,‎3‎-‎π‎6‎ D.‎‎0,‎3‎+‎π‎6‎ 解析:如图作出不等式组对应的平面区域,‎ 由z=x+2y,得y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎,平移直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎,由图象可知当直线经过点O时,‎ 直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎的截距最小,此时z最小,z=0,‎ 当直线y=-‎1‎‎2‎x+z‎2‎与y=cos x相切时,直线的截距最大,此时z最大,‎ 函数y=cos x的导数f'(x)=-sin x,‎ 目标函数的斜率k=-‎1‎‎2‎,‎ 由-sin x=-‎1‎‎2‎得sin x=‎1‎‎2‎,‎ 解得x=π‎6‎,此时y=cos π‎6‎‎=‎‎3‎‎2‎,‎ 即切点坐标为Aπ‎6‎‎,‎‎3‎‎2‎,‎ 此时z=π‎6‎+2×‎3‎‎2‎‎=‎3‎+‎π‎6‎,‎ 故z的取值范围是‎0,‎3‎+‎π‎6‎.‎ 答案:D ‎10.(2015贵州贵阳一模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,‎x+y-4≥0,‎‎2x-y-5≤0,‎若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解为(1,3),则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(1,+∞) B.[1,+∞)‎ C.(0,1) D.(-∞,-1)‎ 解析:由约束条件x-y+2≥0,‎x+y-4≥0,‎‎2x-y-5≤0,‎作出可行域如图,‎ 化目标函数z=y-ax为y=ax+z,‎ 联立x-y+2=0,‎x+y-4=0,‎解得A(1,3),‎ ‎∵使目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解为(1,3),‎ 由图可知a>1,∴实数a的取值范围为(1,+∞).‎ 答案:A ‎11.(2015江西重点中学协作体一模,文11,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知x,y满足约束条件x-y≥0,‎‎2x-y-1≤0,‎当目标函数z=‎3‎ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取得最大值4时,a2+b2的最小值为(　　)‎ A.8 B.4 C.‎8‎‎3‎‎3‎ D.2‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=‎3‎ax+by,得y=-‎3‎abx+zb,‎ ‎∵a>0,b>0,‎ ‎∴目标函数的斜率k=-‎3‎abx<0,‎ 平移直线y=-‎3‎abx+zb,‎ 由图象知当直线y=-‎3‎abx+zb经过点A时,直线的截距最大,此时z最大为4,‎ 由x-y=0,‎‎2x-y-1=0,‎解得x=1,‎y=1,‎即A(1,1),‎ 此时‎3‎a+b=4,a2+b2的几何意义为直线‎3‎a+b=4上的点到原点的距离的平方,‎ 原点到直线‎3‎a+b=4的距离 d=‎|4|‎‎(‎3‎‎)‎‎2‎+1‎‎=‎‎4‎‎2‎=2,‎ 则a2+b2的最小值为d2=4.‎ 答案:B ‎8.(2015江西上饶一模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)x,y满足约束条件x+y-2≤0,‎x-2y-2≤0,‎‎2x-y+2≥0,‎若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎或-1 B.2或‎1‎‎2‎ C.2或1 D.2或-1‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC).‎ 由z=y-ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.‎ 若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,‎ 若a>0,目标函数y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,‎ 则直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行,此时a=2,‎ 若a<0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,‎ 则直线y=ax+z与直线x+y-2=0平行,此时a=-1,‎ 综上a=-1或a=2.‎ 答案:D ‎10.(2015江西上饶重点中学二模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知变量x,y满足约束条件x-y≥2,‎x+y≤a,‎且z=x+ay的最大值为16,则实数a=(　　)‎ A.-5或6 B.5或-6‎ C.-6 D.6‎ 解析:由题意可知,a≠0,‎ 若a>0,由约束条件x-y≥2,‎x+y≤a作出可行域如图,‎ 联立x-y=2,‎x+y=a,‎解得Aa+2‎‎2‎‎,‎a-2‎‎2‎,‎ 化目标函数z=x+ay为y=-xa‎+‎za,‎ 由图可知,当直线过A时z有最大值等于a+2‎‎2‎‎+a‎2‎‎-2a‎2‎=‎a‎2‎‎-a+2‎‎2‎=16,解得a=6.‎ 若a<0,由约束条件x-y≥2,‎x+y≤a作出可行域如图,‎ 化目标函数z=x+ay为y=-xa‎+‎za,‎ 由图可知,使目标函数取得最大值的最优解不存在.‎ 综上,a=6.‎ 答案:D ‎8.(2015江西红色六校二模,文8,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)设变量x,y满足:y≥x,‎x+3y≤4,‎x≥-2,‎则z=|x-3y|的最大值为(　　)‎ A.3 B.8 C.‎13‎‎4‎ D.‎‎9‎‎2‎ 解析:由题意作出其平面区域如图阴影部分所示,‎ m=‎|x-3y|‎‎10‎表示区域内的点到直线x-3y=0的距离,而m取得最大值时z也取得最大值.‎ 当取点A(-2,2)时,m取得最大值;‎ 故z=|x-3y|的最大值为|-2-3×2|=8.‎ 答案:B ‎8.(2015江西宜春高安四校一模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,‎x+y-4≥0,‎‎2x-y-5≤0,‎若目标函数z=y-ax取得最小值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围为(　　)‎ A.(-∞,-1) B.(0,1)‎ C.[1,+∞) D.(1,+∞)‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC).‎ 由z=y-ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.‎ 平移直线y=ax+z,要使目标函数z=y-ax取得最小值时的唯一最优解是(1,3),‎ 即直线y=ax+z经过点A(1,3)时,截距最小,‎ 由图象可知当阴影部分必须在直线y=ax+z的右上方,此时只要满足直线y=ax+z的斜率a小于直线AB的斜率即可,直线AB方程为x+y-4=0,即y=-x+4,直线的斜率为-1,‎ 所以a<-1.故a的取值范围是(-∞,-1).‎ 答案:A ‎14.(2015山西四校联考三模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)设变量x,y满足约束条件y≤3x-2,‎x-2y+1≤0,‎‎2x+y≤8,‎则yx-1‎的最小值是　　　　　. ‎ 解析:由约束条件y≤3x-2,‎x-2y+1≤0,‎‎2x+y≤8,‎作出可行域如图,‎ 联立x-2y+1=0,‎‎2x+y=8,‎解得A(3,2),‎ yx-1‎的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为kPA=‎2-0‎‎3-1‎=1.‎ 答案:1‎ ‎7.(2015山西太原五中二模,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知a>0,x,y满足约束条件x≥1,‎x+y≤3,‎y≥a(x-3),‎若z=2x+y的最小值为1,则a=(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎3‎ C.1 D.2‎ 解析:作出不等式组对应的平面区域(阴影部分),‎ 由z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,‎ 由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时,直线y=-2x+z的截距最小,此时z最小.‎ 即2x+y=1,由x=1,‎‎2x+y=1,‎解得x=1,‎y=-1,‎ 即C(1,-1),∵点C也在直线y=a(x-3)上,‎ ‎∴-1=-2a,解得a=‎1‎‎2‎.‎ 答案:A ‎14.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)设实数x,y满足约束条件x+y-1≥0,‎x-1≤0,‎x-y+1≥0,‎若z=-2x+y,则z的最小值是　　　　　. ‎ 解析:由约束条件x+y-1≥0,‎x-1≤0,‎x-y+1≥0,‎作可行域如图,‎ 由图可知,可行域中点A的坐标是使目标函数z=-2x+y取得最小值的最优解.‎ 联立x+y-1=0,‎x-1=0,‎ 解得x=1,‎y=0.‎ 故点A的坐标为(1,0).‎ 则z=-2x+y的最小值是-2×1+0=-2.‎ 答案:-2‎ ‎14.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知变量x,y,满足x+y≤6,‎x-y≤2,‎x≥0,‎y≥1,‎则目标函数z=2x+y的最大值为　　　　　. ‎ 解析:作出不等式组x+y≤6,‎x-y≤2,‎x≥0,‎y≥1‎表示的平面区域,‎ 得到如图的四边形ABCD及其内部,‎ 其中A(0,1),B(3,1),C(4,2),D(0,6).‎ 将直线l:z=2x+y进行平移,观察l在y轴上的截距变化,可得当l经过点C时,目标函数z达到最大值.‎ 故z最大值=2×4+2=10.‎ 答案:10‎ ‎8.(2015江西三县部分高中一模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)若变量x,y满足约束条件x-y≥0,‎x+y≤4,‎y+k≥0,‎且z=3x+y的最小值为-8,则k=(　　)‎ A.3 B.-3 C.2 D.-2‎ 解析:目标函数z=3x+y的最小值为-8,‎ 所以y=-3x+z,要使目标函数z=3x+y的最小值为-8,则平面区域位于直线y=-3x+z的右上方.‎ 作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 则目标函数经过点A时,目标函数z=3x+y的最小值为-8,‎ 由‎3x+y=-8,‎x-y=0,‎解得x=-2,‎y=-2,‎ 即A(-2,-2),同时A也在直线y+k=0上,‎ 即-2+k=0,解得k=2.‎ 答案:C ‎5.(2015山西朔州怀仁一中一模,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)若变量x,y满足条件‎2x-y+2≥0,‎x-2y+1≤0,‎x+y-5<0‎则z=2x-y的取值范围为(　　)‎ A.[-2,4] B.(-2,4] C.[-2,4) D.(-2,4)‎ 解析:由z=2x-y得y=2x-z,‎ 作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图:‎ 平移直线y=2x-z,由图象可知当直线y=2x-z和2x-y+2=0重合时,截距最大,此时z最小为-2.‎ 当直线y=2x-z经过点C时,直线y=2x-z的截距最小,此时z最大.‎ 由x-y+1=0,‎x+y-5=0,‎解得x=3,‎y=2,‎即C(3,2),‎ 所以z的最大值为z=2×3-2=4,但此时取不到最大值,故-2≤z<4.‎ 答案:C ‎11.(2015吉林实验中学六模,文11,与目标函数有关的最值问题,选择题)变量x,y满足线性约束条件‎3x+y-2≤0,‎y-x≤2,‎y≥-x-1,‎则目标函数z=kx-y仅在点(0,2)取得最小值,则k的取值范围是(　　)‎ A.k<-3 B.k>1 C.-30且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则‎1‎m‎+‎‎1‎n的最小值为　　　　　. ‎ 解析:∵x=-2时,y=loga1-1=-1,‎ ‎∴函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(-2,-1),即A(-2,-1),‎ ‎∵点A在直线mx+ny+1=0上,‎ ‎∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,‎ ‎∵mn>0,∴m>0,n>0,‎1‎m‎+‎1‎n=‎‎1‎m‎+‎‎1‎n(2m+n)=3+nm‎+‎‎2mn≥3+2‎2‎,当且仅当nm‎=‎‎2mn时取等号.故‎1‎m‎+‎‎1‎n的最小值为3+2‎2‎.‎ 答案:3+2‎‎2‎ ‎15.(2015江西景德镇二模,文15,利用基本不等式求最值,填空题)若△ABC的内角满足sin A,sin C,sin B成等差数列,则cos C的最小值是　　　　　. ‎ 解析:因为sin A,sin C,sin B成等差数列,‎ 所以sin A+sin B=2sin C.‎ 由正弦定理,得a+b=2c.‎ cos C=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab‎=a‎2‎‎+b‎2‎-‎a+b‎2‎‎2‎‎2ab=‎3a‎2‎+3b‎2‎-2ab‎8ab=‎3‎‎8‎ab‎+‎ba-‎1‎‎4‎≥‎‎3‎‎8‎×2ab‎×‎ba‎-‎1‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎,‎ 当且仅当a=b时,等号成立.‎ 答案:‎‎1‎‎2‎ ‎9.(2015江西新余二模,文9,利用基本不等式求最值,选择题)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则‎2Sn+16‎an‎+3‎(n∈N*)的最小值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.4 B.3 C.2‎3‎-2 D.‎‎9‎‎2‎ 解析:∵a1=1,a1,a3,a13成等比数列,‎ ‎∴(1+2d)2=1+12d.‎ 得d=2或d=0(舍去),∴an=2n-1.‎ ‎∴Sn=n(1+2n-1)‎‎2‎=n2.‎ ‎∴‎2Sn+16‎an‎+3‎‎=‎‎2n‎2‎+16‎‎2n+2‎.‎ 令t=n+1,则‎2Sn+16‎an‎+3‎=t+‎9‎t-2≥6-2=4.‎ 当且仅当t=3,即n=2时,‎2Sn+16‎an‎+3‎的最小值为4.‎ 答案:A ‎11.(2015江西南昌零模,文11,利用基本不等式求最值,选择题)在R上定义运算