【数学】2018届一轮复习人教A版第55讲二面角的求法学案 7页

‎【知识要点】‎ 一、二面角的定义 平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角.‎ 二、二面角的范围 规定：二面角的两个半平面重合时，二面角为，当两个半平面合成一个平面时，二面角为，因此，二面角的大小范围为.‎ 三、二面角的求法 方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）‎ 方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）‎ 四、求二面角体现的是数学的转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识解答.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 几何法 使用情景 二面角的平面角本身就存在或方便作出 .‎ 解题步骤 找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）‎ ‎【例1】如图，四棱锥中，底面是边长为3的菱形，，面，且，在棱上，且，在棱上.‎ ‎（1）若面，求的值；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎（2）过点作直线交延长线于，过点作直线交于，‎ ‎∵面,∴面面，∴面，由三垂线定理可得,‎ ‎∴是二面角的平面角.‎ 由题意得，，且，∴,‎ ‎∴，∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点评】（1）本题第2问也可以利用向量的方法解答.(2)第2小问的解答实际上是利用了几何的方法，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再解三角形.这是几何法求二面角常用的一种方法，大家务必熟练掌握灵活运用.‎ ‎【反馈检测1】如图所示，四边形是菱形，是与的交点，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，，AB=2，求二面角的余弦值.‎ 方法二 向量法 使用情景 二面角的平面角不易作出 .‎ 解题步骤 建立空间直角坐标系求出两个平面的法向量代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）学 ‎ ‎【例2】已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点．‎ （1） 证明：面面；‎ （2） 求与所成的角；‎ （3） 求面与面所成二面角的余弦值．‎ ‎【点评】由于本题的二面角的平面角不易作出，而建立空间直角坐标系和写坐标都比较方便，所以可以选用向量的方法.‎ ‎【反馈检测2】如图，四边形是直角梯形 ‎，又，直线与直线所成的角为.‎ ‎（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第55讲：‎ 二面角的求法 ‎【反馈检测1答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ ‎， ‎ 过作，则，连接，则， ‎ 所以是二面角的平面角. ‎ 在菱形中，，‎ ‎， ‎ 因为. ‎ ‎， ‎ ‎,，‎ 所以，即二面角的余弦值. ‎ 法二：‎ 以为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立坐标系.‎ 设,易得，，，， ‎ ‎，，由得，得， ‎ ‎【反馈检测2答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【反馈检测2详细解析】(1)‎ 平面，平面，‎ ‎（2）在平面内，过点作的垂线，并建立空间直角坐标系，如图所示 设 ‎，且 ‎（3）点到平面的距离.‎