数学卷·2018届贵州省遵义市航天高中高二下学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版） 23页

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年贵州省遵义市航天高中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）‎ ‎1．已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|（x﹣1）2≤4}，则P∩Q=（　　）‎ A．[﹣1，3] B．[1，3] C．[1，2] D．（﹣∞，3]‎ ‎2．已知，则（　　）‎ A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）‎ ‎3．下列说法正确的是（　　）‎ A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件 B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”‎ C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题 D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样 ‎4．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ 当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎5．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎8．如果函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线在点（1，3）处的切线方程为（　　）‎ A．y+3=﹣2（x﹣1） B．y﹣3=2（x﹣1） C．y+3=4（x﹣1） D．y﹣3=4（x+1）‎ ‎9．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为（　　）‎ A．90° B．75° C．60° D．45°‎ ‎11．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）‎ ‎12．设函数f（x）在（m，n）上的导函数为g（x），x∈（m，n），若g（x）的导函数小于零恒成立，则称函数f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当a≤2时，，在x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f（x）在（﹣1，2）上结论正确的是（　　）‎ A．有极大值，没有极小值 B．没有极大值，有极小值 C．既有极大值，也有极小值 D．既无极大值，也没有极小值 ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13．设向量，，且，则m=　　．‎ ‎14．为了得到函数y=cos2x的图象，可以将函数y=sin2x+cos2x的图象至少向左平移　　个单位．‎ ‎15．若函数f（x）=x（x﹣a）2在x=2处取得极小值，则a=　　．‎ ‎16．设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x2的解集为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共5小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）.‎ ‎17．已知数列{an}（n∈N*）的前n项的Sn=n2．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，记数列{bn}，的前n项和为Tn，求使成立的最小正整数n的值．‎ ‎18．设函数f（x）=lnx﹣x+1．‎ ‎（Ⅰ）分析f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x．‎ ‎19．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．‎ ‎20．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎21．已知函数f（x）=‎ ‎（1）若m∈（﹣2，2），求函数y=f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若m∈（0，]，则当x∈[0，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在直线y=x上方，请写出判断过程．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年贵州省遵义市航天高中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，仅有一项符合题目要求）‎ ‎1．已知集合P={x|1≤x≤3}，Q={x|（x﹣1）2≤4}，则P∩Q=（　　）‎ A．[﹣1，3] B．[1，3] C．[1，2] D．（﹣∞，3]‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】解不等式求出集合Q，根据交集的定义写出P∩Q．‎ ‎【解答】解：集合P={x|1≤x≤3}，‎ Q={x|（x﹣1）2≤4}={x|﹣2≤x﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3}，‎ ‎∴P∩Q={x|1≤x≤3}=[1，3]．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知，则（　　）‎ A．f（2）＞f（e）＞f（3） B．f（3）＞f（e）＞f（2） C．f（3）＞f（2）＞f（e） D．f（e）＞f（3）＞f（2）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值，计算f（e），f（3），f（2）的值，比较即可．‎ ‎【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），‎ ‎∵，‎ ‎∴x∈（0，e），f'（x）＞0；‎ x∈（e，+∞），f'（x）＜0，‎ 故x=e时，f（x）max=f（e），‎ 而，‎ f（e）＞f（3）＞f（2），‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．下列说法正确的是（　　）‎ A．“sinα=”是“cos2α=”的必要不充分条件 B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0或y≠0”‎ C．已知命题p：∃x∈R，使2x＞3x；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜，则p∧（￢q）是真命题 D．从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是分层抽样 ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由cos2α=求出sinα结合充分必要条件的判定方法判断A；直接写出命题的否命题判断B；由复合命题的真假判定判断C；由系统抽样与分层抽样的概念判断D．‎ ‎【解答】解：由cos2α=，得，解得sin，∴“sinα=”是“cos2α=”的充分不必要条件，故A错误；‎ 命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题是“若xy≠0，则x≠0且y≠0，故B正确；‎ 命题p：∃x∈R，使2x＞3x为真命题，如x=﹣1；命题q：∀x∈（0，+∞），都有＜为假命题，如x=1．‎ ‎∴p∧（￢q）是真命题，故C正确；‎ 从匀速传递的生产流水线上，质检员每隔5分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这是系统抽样，故D错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ 当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a的零点的个数为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】根据导函数图象，画出原函数的草图，利用1＜a＜2，即可得到函数y=f（x）﹣a的零点的个数．‎ ‎【解答】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：‎ 因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，‎ 所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】定积分在求面积中的应用；几何概型．‎ ‎【分析】根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形可得，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，‎ 而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，‎ 则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=sinx•ln（x2+1）的部分图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】首先判断出函数为奇函数，再根据零点的个数判断，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵f（﹣x）=sin（﹣x）•ln（x2+1）=﹣（sinx•ln（x2+1））=﹣f（x），‎ ‎∴函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，‎ ‎∵sinx存在多个零点，‎ ‎∴f（x）存在多个零点，‎ 故f（x）的图象应为含有多个零点的奇函数图象．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，‎ 棱锥的底面面积S=×1×1=，‎ 高为1，‎ 故棱锥的体积V==，‎ 故选：A ‎　‎ ‎8．如果函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线在点（1，3）处的切线方程为（　　）‎ A．y+3=﹣2（x﹣1） B．y﹣3=2（x﹣1） C．y+3=4（x﹣1） D．y﹣3=4（x+1）‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】设x＞0，则﹣x＜0，运用已知解析式和奇函数的定义，可得x＞0的解析式，求得导数，代入x=1，计算得到所求切线的斜率，由点斜式方程即可求出切线方程．‎ ‎【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，f（﹣x）=lnx﹣3x，‎ 由f（x）为奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），‎ 即f（x）=﹣lnx+3x，x＞0．‎ 导数为f′（x）=﹣+3，‎ 则曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为2，‎ ‎∵f（1）=3，‎ ‎∴曲线y=f（x）在（1，3）处的切线方程为y﹣3=2（x﹣1），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，‎ ‎∵圆心C到O（0，0）的距离为5，‎ ‎∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．‎ 再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，‎ 可得PO=AB=m，故有m≤6，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线CD与PB所成角的大小为（　　）‎ A．90° B．75° C．60° D．45°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E作EF∥PB，则∠AEF为所求，利用四边形AEFG是等腰梯形，求其余弦值．‎ ‎【解答】解：设AD=1，则BC=2，过A作AE∥CD，则AD=CE，过E作EF∥PB，则∠AEF为所求，如图 过F作FG∥CD，连接AG，则四边形AEFG是梯形，其中FG∥AE，EF=PB=，AG=，AE＞FG，‎ 过G作GH∥EF，则∠GHA=∠AEF，‎ 在△GHA中，GH=EF=，AH=AE﹣FG=﹣=，AG=，‎ AG2=GH2+AH2，‎ 所以∠AEF=90°，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）‎ A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系．‎ ‎【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，可得，解得b≥1．再利用离心率计算公式e==即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，‎ ‎∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．‎ 取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．‎ ‎∴e==≤=．‎ ‎∴椭圆E的离心率的取值范围是．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．设函数f（x）在（m，n）上的导函数为g（x），x∈（m，n），若g（x）的导函数小于零恒成立，则称函数f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当a≤2时，，在x∈（﹣1，2）上为“凸函数”，则函数f（x）在（﹣1，2）上结论正确的是（　　）‎ A．有极大值，没有极小值 B．没有极大值，有极小值 C．既有极大值，也有极小值 D．既无极大值，也没有极小值 ‎【考点】利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】求导，由题意可知：g′（x）=x﹣a＜0，g′（x）＜0，x∈（﹣1，2）时恒成立，求得a的值，根据导数与函数单调性与极值的关系，即可求得函数的极值．‎ ‎【解答】解：当a≤2时，，求导，f′（x）=x2﹣ax+1，‎ 由已知得g′（x）=x﹣a＜0，当x∈（﹣1，2）时恒成立，‎ 故a≥2，又已知a≤2，故a=2，‎ 此时由f′（x）=0，得：x1=2﹣，x2=2+∉（﹣1，2），‎ 当x∈（﹣1，2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（2﹣，2）时，f′（x）＜0，‎ ‎∴函数f（x）在（﹣1，2）有极大值，没有极小值，‎ 故选A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.‎ ‎13．设向量，，且，则m=　﹣2　．‎ ‎【考点】向量的模．‎ ‎【分析】由题意可得=0，代值计算即可．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴=0，‎ ‎∵向量，，‎ ‎∴m+2=0，‎ 解得，m=﹣2，‎ 故答案为：﹣2；‎ ‎　‎ ‎14．为了得到函数y=cos2x的图象，可以将函数y=sin2x+cos2x的图象至少向左平移　　个单位．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】利用两角和的差的余弦公式化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得出结论．‎ ‎【解答】解：将函数y=sin2x+cos2x=cos（2x﹣）的图象至少向左平移 个单位，‎ 可得得到函数y=cos[2（x+）﹣]=cos2x的图象，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．若函数f（x）=x（x﹣a）2在x=2处取得极小值，则a=　2　．‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件．‎ ‎【分析】通过对函数f（x）求导，根据函数在x=2处有极值，可知f'（2）=0，解得a的值，再验证可得结论．‎ ‎【解答】解：求导函数可得f'（x）=3x2﹣4ax+a2，‎ ‎∴f'（2）=12﹣8a+a2=0，解得a=2，或a=6，‎ 当a=2时，f'（x）=3x2﹣8x+4=（x﹣2）（3x﹣2），函数在x=2处取得极小值，符合题意；‎ 当a=6时，f'（x）=3x2﹣24x+36=3（x﹣2）（x﹣6），函数在x=2处取得极大值，不符合题意，‎ ‎∴a=2．‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎16．设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（lnx）＜x2的解集为　（0，）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（lnx）＜F（），运用单调性，可得lnx＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．‎ ‎【解答】解：可构造函数F（x）=，‎ F′（x）==，‎ 由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．‎ 不等式f（lnx）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．‎ 即有F（）==1，即为F（lnx）＜F（），‎ 由F（x）在R上递增，可得lnx＜，解得0＜x＜．‎ 故答案为：（0，）．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题共5小题，共70分；说明：17-21共5小题，每题12分，第22题10分）.‎ ‎17．已知数列{an}（n∈N*）的前n项的Sn=n2．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，记数列{bn}，的前n项和为Tn，求使成立的最小正整数n的值．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；数列与不等式的综合．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当n≥2时根据an=Sn﹣Sn﹣1求通项公式，a1=S1=1符合上式，从而求出通项公式．，‎ ‎（II）由（I）求得的an求出bn，利用裂项求和方法求出数列{bn}的前n项和为Tn，解不等式求得最小的正整数n．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=n2‎ 当n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）2‎ ‎∴相减得：an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1‎ 又a1=S1=1符合上式 ‎∴数列{an}，的通项公式an=2n﹣1‎ ‎（II）由（I）知 ‎∴Tn=b1+b2+b3++bn ‎=‎ ‎=‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴成立的最小正整数n的值为5‎ ‎　‎ ‎18．设函数f（x）=lnx﹣x+1．‎ ‎（Ⅰ）分析f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出，利用导函数的符号，判断函数的单调性．‎ ‎（Ⅱ）设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，利用导函数F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，判断函数的单调性，然后最后证明原不等式成立；‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=lnx﹣x+1，有，则f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）递减；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x∈（1，+∞）时，1＜＜x，即为lnx＜x﹣1＜xlnx．‎ 结合（Ⅰ）知，当x＞1时f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（1，+∞）递减，‎ 可得f（x）＜f（1）=0，即有lnx＜x﹣1；‎ 设F（x）=xlnx﹣x+1，x＞1，F′（x）=1+lnx﹣1=lnx，‎ 当x＞1时，F′（x）＞0，可得F（x）递增，即有F（x）＞F（1）=0，‎ 即有xlnx＞x﹣1，则原不等式成立；‎ ‎　‎ ‎19．如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．‎ ‎【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（Ⅰ）以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得到E、F、B、C点的坐标，易求得此•=0，所以EF⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），依题意，可求得一个=（1，﹣，1），设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，可求得sinθ的值．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，易得B（0，0，0），A（0，﹣1，），D（，﹣1，0），C（0，2，0），因而E（0，，），F（，，0），所以=（，0，﹣），=（0，2，0），因此•=0，所以EF⊥BC．‎ ‎（Ⅱ）解：在图中，设平面BFC的一个法向量=（0，0，1），平面BEF的法向量=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，），‎ 由得其中一个=（1，﹣，1），‎ 设二面角E﹣BF﹣C的大小为θ，由题意知θ为锐角，则 cosθ=|cos＜，＞|=||=，‎ 因此sinθ==，即所求二面角正弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知点A（0，﹣2），椭圆E： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．‎ ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） 设F（c，0），由条件知，得=又，‎ 所以a=2=，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．‎ ‎（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）‎ 将y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，‎ 当△=16（4k2﹣3）＞0，即时，‎ 从而=+ 又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，‎ 设，则t＞0，，‎ 当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，‎ 所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=‎ ‎（1）若m∈（﹣2，2），求函数y=f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若m∈（0，]，则当x∈[0，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在直线y=x上方，请写出判断过程．‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明；函数的值域．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）令g（x）=x，讨论m的范围，根据函数的单调性求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，结合函数恒成立分别判断即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为R，f′（x）=‎ ‎①当m+1=1，即m=0时，f′（x）≥0，此时f（x）在R递增，‎ ‎②当1＜m+1＜3即0＜m＜2‎ x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，‎ x∈（1，m+1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，‎ x∈（m+1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增；‎ ‎③0＜m+1＜1，即﹣1＜m＜0时，‎ x∈（﹣∞，m+1）和（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，‎ x∈（m+1，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减；‎ 综上所述，①m=0时，f（x）在R递增，‎ ‎②0＜m＜2时，f（x）在（﹣∞，1），（m+1，+∞）递增，在（1，m+1）递减，‎ ‎③﹣2＜m＜0时，f（x）在（﹣∞，m+1），（1，+∞）递增，在（m+1，1）递减；‎ ‎（Ⅱ）当m∈（0，]时，由（1）知f（x）在（0，1）递增，在（1，m+1）递减，‎ 令g（x）=x，‎ ‎①当x∈[0，1]时，f（x）min=f（0）=1，g（x）max=1，‎ 所以函数f（x）图象在g（x）图象上方；‎ ‎②当x∈[1，m+1]时，函数f（x）单调递减，‎ 所以其最小值为f（m+1）=，g（x）最大值为m+1，‎ 所以下面判断f（m+1）与m+1的大小，‎ 即判断ex与（1+x）x的大小，其中x=m+1∈（1，]，‎ 令m（x）=ex﹣（1+x）x，m′（x）=ex﹣2x﹣1，‎ 令h（x）=m′（x），则h′（x）=ex﹣2，‎ 因x=m+1∈（1，]，所以h′（x）=ex﹣2＞0，m′（x）单调递增；‎ 所以m′（1）=e﹣3＜0，m′（）=﹣4＞0，‎ 故存在x0∈（1，]使得m′（x0）=ex0﹣2x0﹣1=0，‎ 所以m（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，）单调递增 所以m（x）≥m（x0）=ex0﹣x02﹣x0=2x0+1﹣﹣x0=﹣+x0+1，‎ 所以x0∈（1，]时，m（x0）=﹣+x0+1＞0，‎ 即ex＞（1+x）x也即f（m+1）＞m+1，‎ 所以函数f（x）的图象总在直线y=x上方．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4坐标系与参数方程]‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．‎ ‎（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C1‎ 的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角和的正弦公式，化简可得C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐标．‎ 另外：设P（cosα，sinα），由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小值和P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），‎ 移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，‎ 即有椭圆C1： +y2=1；‎ 曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，‎ 即有ρ（sinθ+cosθ）=2，‎ 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，‎ 即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；‎ ‎（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，‎ ‎|PQ|取得最值．‎ 设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，‎ 联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，‎ 由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，‎ 解得t=±2，‎ 显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，‎ 即有|PQ|==，‎ 此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，‎ 即为P（，）．‎ 另解：设P（cosα，sinα），‎ 由P到直线的距离为d=‎ ‎=，‎ 当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，‎ 此时可取α=，即有P（，）．‎