数学卷·2017届上海市浦东新区高三上学期12月教学质量检测（一模）（2016 8页

‎ ‎ 高三数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．‎ ‎1.已知，集合，则____________．‎ ‎2.三阶行列式中元素-5的代数余子式的值为____________．‎ ‎3. 的二项展开式中含项的系数是____________．‎ ‎4.已知一个球的表面积为，则它的体积为____________．‎ ‎5．一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球．这些球的质地和形状一样，从中任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是____________．‎ ‎6．已知直线被圆所截得的弦长为6，则____________．‎ ‎7．若复数在复平面上所对应的点在直线上，则实数____________．‎ ‎8．函数的最小正周期为____________．‎ ‎9．过双曲线的右焦点作一条垂直于轴的垂线交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，则的面积的最小值为____________．‎ ‎10．若关于的不等式在区间内恒成立，则实数的取值范围为____________．‎ ‎11．如图，在正方形中，分别是边上的两个动点，且，则的取值范围是____________．‎ ‎12．已知定义在上的单调递增函数，对于任意的，都有，且恒成立，则____________．‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项中，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13.将图像向左平移个单位，所得的函数为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎14.已知函数的反函数为，则函数与的图像（ ）．‎ A．关于轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎15.设是等差数列，下列命题中正确的是（ ）．‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎16.元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用额小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为元，购买3只康乃馨所需费用为元，则的大小关系是（ ）．‎ A． B． C． D．的大小关系不确定 三、解答题 （本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 在长方体中（如图）, ，点是棱的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体是否为鳖臑？并说明理由.‎ ‎18.（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）‎ 已知的内角的对边分别为.‎ ‎（1）若的面积，求值；‎ ‎（2）若，求角.‎ ‎19.（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2 小题满分8分）‎ 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的一条直线交椭圆于两点，若的周长为，且长轴长与短轴长之比为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，求直线的方程.‎ ‎20.（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ 设数列满足；‎ ‎（1）若，求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）在（1）的条件下，对于正整数，若这三项经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组；‎ ‎（3）若是的前项和，求不超过的最大整数.‎ ‎21.（本小题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）‎ 已知定义在上的函数的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上都不是常值函数.设，其中分点将区间任意划分成个小区间，记，称为关于区间的阶划分“落差总和”.‎ 当取得最大值且取得最小值时，称存在“最佳划分”.‎ ‎（1）已知，求的最大值；‎ ‎（2）已知，求证：在上存在“最佳划分”的充要条件是在上单调递增.‎ ‎（3）若是偶函数且存在“最佳划分”，求证：是偶数，且.‎ 参考答案 一、填空题 ‎1. 2. 34 3. 7 4. 5. 6. 7. 3 8. 9. 8 10. ‎ ‎11. 12. 54‎ 二、选择题 ‎13. A 14. D 15. C 16. A 三、解答题 ‎17.解：‎ ‎（1）作交于，因为，所以，故为正三角形，异面直线与所成角为60°……………………………6分 ‎（2）是棱上的中点，则均为等腰直角三角形，‎ 而显然均为直角三角形，故四面体四个面均为直角三角形，．．．．．．． 14分 ‎18．解：（1）∵，∴……………………………2分 由余弦定理得……………………………………4分 ‎∴……………………………………….7分 ‎（2）∵‎ ‎…………………10分 又∵……………………………12分 ‎∴，‎ ‎∵，∴……………………………………14分 ‎19.解：（1）由条件可知：，，‎ ‎∵，‎ 解得：，……………………………4分 所以椭圆的方程为…………………………6分 ‎（2）设直线的方程为：；‎ 因为，‎ 所以，所以，所以…………………………9分 ‎，‎ ‎……………………………11分 解得：………………………………………13分 所以直线的方程为…………………………………14分 ‎20.解：（1）由，∴，‎ 即，又，∴数列是以1 为首项，2为公比的等比数列；………………4分 ‎（2）由（1）知这三项经适当排序后能构成等差数列；‎ ‎①若，则，∴，‎ 左边为偶数，右边为奇数，∴等式不成立；…………………………………8分 ‎③若，同理也不成立；‎ 综合①②③得，；…………………………………10分 ‎（3）由，∴，…………………………………12分 ‎∴；………………………………13分 由 ‎；‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴不超过的最大整数为2016…………………………………16分 ‎21.解：（1）………………………4分 ‎（2）若在上单调递增，则，‎ 故在上存在“最佳划分”…………………………6分 若在上存在“最佳划分”，倘若在上不单调递增，‎ 则存在.‎ 由…………………………（*）‎ 等号当且仅当时取得，此时 ‎，与题设矛盾，舍去，故（*）式中等号不成立，即：增加分点后，“落差总和”会增加，故取最大值时的最小值大于1，与条件矛盾.‎ 所以在上单调递增……………………………………………10分 ‎（3）由（2）的证明过程可知，在任间区间上，若存在最佳划分，则当时，为常值函数（舍）；当时，单调递增；当时，单调递减…………………………………12分 若在上存在最佳划分，则此时在每个小区间上均为最佳划分.否则，添加分点后可使在上的“落差总和”增大，从而不是“落差总和”的最大值，与“在上存在最佳划分”矛盾，故在每个小区间上都是单调………………………………14分 若在上存在最佳划分，则在相邻的两个区间上具有不同的单调性，否则，，‎ 减少分点，“落差总和”的值不变，而的值减少1，故的最小值不是，与“在上存在最佳划分”矛盾………………………16分 存在“最佳划分”，故在每个小区间上都单调，而是偶函数，故在轴两侧的单调区间对称，共有偶数个单调区间，且当时，，从而有……………………………18分