新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十） 空间几何体的三视图、表面积及体积 17页

新课标（全国卷）高三二轮复习理科数学（十）空间几何体三视图、表面 积及体积 [全国卷 考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ 2019 三棱锥的外接球、球的体 积·T12 空间几何体的结构特 征、直观图、几何运算、 数学文化·T16 空间两直线的位置关系的判 定·T8 简单几何体的组合体、长方 体和棱锥的体积·T16 2018 空间几何体的三视图、直 观图及最短路径问题·T7 圆锥的性质及侧面积的 计算·T16 三视图与数学文化·T3 与外接球有关的空间几何体 体积的最值问题·T10 2017 空间几何体的三视图与直 观图、面积的计算·T7 空间几何体的三视图及 组合体体积的计算·T4 球的内接圆柱、圆柱的体积 的计算·T8 (1)“立体几何”在高考中一般会以“两小一大”或“一小一大”的命题形式出现，这“两小”或“一 小”主要考查三视图，几何体的表面积与体积，空间点、线、面位置关系(特别是平行与垂直)． (2)考查一个小题时，本小题一般会出现在第 4～8 题的位置上，难度一般；考查两个小题时，其中一个小 题难度一般，另一小题难度稍高，一般会出现在第 12 或 16 题的位置上，本小题虽然难度稍高，主要体 现在计算量上，但仍是对基础知识、基本公式的考查． 考点一 空间几何体的三视图、直观图与截面图 [例 1] (1)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木 构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯 眼的木构件的俯视图可以是( ) (2)(2019·江西八所重点中学联考)某四面体的三视图如图所示，则该四面体最长 的棱长与最短的棱长的比值是( ) A． 5 2 B． 2 C．3 5 5 D．3 2 (3)(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所 得截面面积的最大值为( ) A．3 3 4 B．2 3 3 C．3 2 4 D． 3 2 [解析] (1)由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A.故选 A. (2)在棱长为 2 的正方体中还原该四面体 PABC 如图所示，其中最短的棱为 AB 和 BC，最长的棱为 PC.因为正方体的棱长为 2，所以 AB＝BC＝2，PC＝3，所以该四 面体最长的棱长与最短的棱长的比值为3 2.故选 D. (3)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，平面 AB1D1 与棱 A1A，A1B1，A1D1 所成 的角都相等，又正方体的其余棱都分别与 A1A，A1B1 ，A1D1 平行，故正方体 ABCDA1B1C1D1 的每条棱所在直线与平面 AB1D1 所成的角都相等．如图所示，取棱 AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA 的中点 E，F，G，H，M，N，则正六边形 EFGHMN 所在平面与平面 AB1D1 平行且面积最大，此截面面积为 S 正六边形 EFGHMN＝6×1 2 × 2 2 × 2 2 ×sin 60°＝3 3 4 .故选 A. [答案] (1)A (2)D (3)A [解题方略] 1．识别三视图的步骤 (1)应把几何体的结构弄清楚或根据几何体的具体形状，明确几何体的摆放位置； (2)根据三视图的有关规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图； (3)被遮住的轮廓线应为虚线． 2．由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面； (2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置； (3)确定几何体的直观图形状． 3．由几何体的部分视图判断剩余的视图的思路 先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形状，然后再找其剩下部分视图的可能形状．当然 作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合． 4．常见三类空间几何体的截面图 轴截面、横截面与斜截面： 利用截面图可将空间问题转化为平面问题解决． [多练强化] 1.(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图所示．圆柱表面 上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B， 则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( ) A．2 17 B．2 5 C．3 D．2 解析：选 B 先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点 M，N 的位置如图①所示． 圆柱的侧面展开图及 M，N 的位置(N 为 OP 的四等分点)如图②所示，连接 MN，则图中 MN 即为 M 到 N 的最短路径．ON＝1 4 ×16＝4，OM＝2，∴MN＝ OM2＋ON2＝ 22＋42＝2 5.故选 B. 2．已知球 O 是正三棱锥 ABCD 的外接球，BC＝3，AB＝2 3，点 E 在线段 BD 上，且 BD＝3BE，过点 E 作球 O 的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是________． 解析：如图，设△BCD 的中心为点 O1，球 O 的半径为 R，则 A，O，O1 三点共线．连 接 O1D，O1E，OD，OE，则 O1D＝ 3，AO1＝ AD2－O1D2＝3.在 Rt△OO1D 中， R2＝3＋(3－R)2，即 R＝2，所以 OO1＝1.在△O1DE 中，DE＝2 3BD＝2，∠O1DE＝30°， 所以由余弦定理得 O1E＝ 3＋4－2× 3×2× cos 30°＝1.所以 OE＝ 2.过点 E 作圆 O 的截面，当截面与 OE 垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为 22－（ 2）2＝ 2，所以截面 圆的面积为 2π. 答案：2π 考点二 几何体的表面积与体积 题型一 求空间几何体的表面积 [例 2] (1)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种 名 为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形 ABCD 为矩形，棱 EF∥AB.若此几何体中，AB＝4，EF＝2，△ ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形，则该几何体的表面积为( ) A．8 3 B．8＋8 3 C．6 2＋2 3 D．8＋6 2＋2 3 (2)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“今有倚壁外角堆米，下周九 十尺，高十二尺．”其意思为：在屋外墙角处堆放米(其三视图如图所示)，米堆 底部的弧长为 90 尺，米堆的高为 12 尺．圆周率约为 3.若将此堆米用草席盖上， 则此草席的面积至少约为(计算结果保留整数，如 544≈23， 550≈23)( ) A．250 平方尺 B．990 平方尺 C．1 035 平方尺 D．518 平方尺 [解析] (1)如图所示，取 BC 的中点 P，连接 PF，则 PF⊥BC，过 F 作 FQ⊥AB，垂足 为 Q. 因为△ADE 和△BCF 都是边长为 2 的等边三角形，且 EF ∥AB， 所以四边形 ABFE 为等腰梯形，FP＝ 3，则 BQ＝1 2(AB－EF)＝1，FQ＝ BF2－BQ2＝ 3， 所以 S 梯形 EFBA＝S 梯形 EFCD＝1 2 ×(2＋4)× 3＝3 3，又 S△ADE＝S△BCF＝1 2 ×2× 3＝ 3，S 矩形 ABCD＝4×2＝8， 所以该几何体的表面积 S＝3 3×2＋ 3×2＋8＝8＋8 3.故选 B. (2)由三视图可知，米堆为圆锥的3 4 ，其中，圆锥的高为 12 尺，底面圆的周长的3 4 为 90 尺． 设圆锥的底面半径为 r，则3 4 ×2πr＝90，由π≈3 可得，r＝20. 所以圆锥的母线长为 202＋122＝ 544≈23(尺)．易知草席的面积为圆锥的侧面积的3 4 ，即3 4 ×π×20×23 ＝3 4 ×3×20×23＝45×23＝1 035(平方尺)．故选 C. [答案] (1)B (2)C [解题方略] 求几何体的表面积的方法 1．求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何 的主要出发点． 2．求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面 积，再通过求和或作差求得所给几何体的表面积． 题型二 求空间几何体的体积 [例 3] (1)(2019·天津高考)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的 圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为______． (2)(2019·江西省五校协作体试题)某几何体的三视图如图所示，正视图是一个上底为 2，下底为 4 的直角梯 形，俯视图是一个边长为 4 的等边三角形，则该几何体的体积为______． [解析] (1)法一：由题意知圆柱的高恰为四棱锥的高的一半，圆柱的底面直径恰为四棱锥的底面正方形对 角线的一半．因为四棱锥的底面正方形的边长为 2，所以底面正方形对角线长为 2，所以圆柱的底面半径 为1 2.又因为四棱锥的侧棱长均为 5，所以四棱锥的高为 （ 5）2－12＝2，所以圆柱的高为 1.所以圆柱的 体积 V＝π 1 2 2 ·1＝π 4 . 法二：如图，在四棱锥 VABCD 中，O 为正方形 ABCD 的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面 边长为 2，可得 OC＝1.设 M 为 VC 的中点，过点 M 作 MO1∥OC 交 OV 于点 O1，则 O1 即为圆柱上底面 的中心． ∴O1M＝1 2OC＝1 2 ，O1O＝1 2VO.∵VO＝ VC2－OC2＝2，∴O1O＝1. 可得 V 圆柱＝π·O1M2·O1O＝π× 1 2 2 ×1＝π 4 . (2)把三视图还原成几何体 ABCDEF，如图所示，在 AD 上取点 G，使得 AG＝2，连 接 GE，GF，则把几何体 ABCDEF 分割成三棱柱 ABCGEF 和三棱锥 DGEF，所以 VABCDEF＝VABCGEF＋VDGEF＝4 3×2＋1 3 ×4 3×2＝32 3 3 . [答案] (1)π 4 (2)32 3 3 [解题方略] 求空间几何体体积的常用方法 公式法 直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算 等积法 根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是 求出一些体积比等 割补法 把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的 几何体 [多练强化] 1．(2019·重庆市学业质量调研)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体 积为( ) A.32 3 B．64 3 C.128 3 D．160 3 解析：选 B 由三视图知，该几何体是一个正方体切去四个三棱锥后所得的，其直观 图如图中 ABCD 所示，由三视图知正方体的棱长为 4，正方体的体积为 4×4×4＝64， 切去三棱锥的长、宽、高均为 4，体积为1 3 ×1 2 ×4×4×4＝32 3 ，所以所求几何体的体 积为 64－4×32 3 ＝64 3 .故选 B. 2．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为 5，菱形的对角线的长分别是 9 和 15，则这个 棱柱的侧面积是( ) A．30 34 B．60 34 C．30 34＋135 D．135 解析：选 A 由菱形的对角线长分别是 9 和 15，得菱形的边长为 9 2 2 ＋ 15 2 2 ＝3 34 2 ，则这个棱柱的 侧面积为 4×3 34 2 ×5＝30 34.故选 A. 3．已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都是 1，∠ABC＝60°，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点 H 在线段 OB1 上，OH＝3HB1，点 M 是线段 BD 上的动点，则三棱锥 MC1O1H 的体积的最小值为________． 解析：V 三棱锥 MC1O1H＝V 三棱锥 C1MO1H＝1 3 ×S△M O1H×h(h 为 C1 到平面 BDD1B1 的距离)，由已知可得 C1O1⊥平面 BDD1B1，又直四棱柱的所有棱 长都为 1，且∠ABC＝60°，所以 A1B1C1D1 是菱形，C1O1＝1 2 ，所以 V 三棱 锥 MC1O1H＝1 3 ×1 2 ×1 2 ×O1H×h′，其中 h′为 M 到直线 O1H 的距离，O1H 是定值，所以 h′最小时，V 三棱锥 MC1O1H 最小．如图，延长 O1H 交 B1B 于点 F，交 OB 的延长线于点 N，连接 OO1，因为B1H HO ＝1 3 ，所以B1O1 NO ＝1 3 ，NO＝3 3 2 ，NB＝ 3，NO1＝ 1＋ 3 3 2 2 ＝ 31 2 ，O1H＝1 4 × 31 2 ＝ 31 8 ，M 到直线 O1H 的距离的最小 值即 B 到直线 O1H 的距离，NF＝ （ 3）2＋ 2 3 2 ＝ 3＋4 9 ＝ 31 3 ，所以 h′＝ 3×2 3 31 3 ＝2 93 31 ，所以(V 三棱 锥 MC1O1H)min＝ 1 12 × 31 8 ×2 93 31 ＝ 3 48. 答案： 3 48 考点三 与球有关的切、接问题 题型一 外接球 [例 4] (2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC 是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球 O 的体积为 ( ) A．8 6π B．4 6π C．2 6π D． 6π [解析] 因为点 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EF∥PB， 因为∠CEF＝90°，所以 EF⊥CE，所以 PB⊥CE.取 AC 的中点 D，连接 BD，PD， 易证 AC⊥平面 BDP， 所以 PB⊥AC，又 AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面 PAC，所以 PB⊥平面 PAC. 所以 PB⊥PA，PB⊥PC，因为 PA＝PB＝PC，△ABC 为正三角形， 所以 PA⊥PC，即 PA，PB，PC 两两垂直，将三棱锥 PABC 放在正方体中如图所示．因为 AB＝2，所以 该正方体的棱长为 2，所以该正方体的体对角线长为 6，所以三棱锥 PABC 的外接球的半径 R＝ 6 2 ，所 以球 O 的体积 V＝4 3 πR3＝4 3 π 6 2 3 ＝ 6π.故选 D.[答案] D [解题方略] 解决多面体的外接球问题，关键是确定球心的位置，方法是先选择多面体中的一面，确定此面外接圆的 圆心，再过圆心作垂直此面的垂线，则球心一定在此垂线上，最后根据其他顶点确定球心的准确位置．对 于特殊的多面体还可采用补成正方体或长方体的方法找到球心位置． 题型二 内切球 [例 5] 已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球 O(重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注 水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的7 8 时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相 切)，则小球的表面积等于( ) A.7π 6 B．4π 3 C.2π 3 D．π 2 [解析] 当注入水的体积是该三棱锥体积的7 8 时，设水面上方的小三棱锥的棱长为 x(各棱长都相等)，依题 意， x 4 3 ＝1 8 ，得 x＝2.易得小三棱锥的高为2 6 3 ，设小球半径为 r，则 1 3S 底面·2 6 3 ＝4·1 3 ·S 底面·r，得 r＝ 6 6 ， 故小球的表面积 S＝4πr2＝2π 3 .故选 C. [答案] C [解题方略] 求解多面体的内切球的问题，一般是将多面体分割为以球心为顶点，多面体的各面为底面的棱锥，利用 多面体的体积等于各棱锥的体积之和求内切球的半径． 题型三 与球有关的最值问题 [例 6] (2018·全国卷Ⅲ)设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其 面积为 9 3，则三棱锥 DABC 体积的最大值为( ) A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3 [解析] 由等边△ABC 的面积为 9 3，可得 3 4 AB2＝9 3，所以 AB＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径 为 r＝ 3 3 AB＝2 3.设球的半径为 R，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为 d，则 d＝ R2－r2＝ 16－12 ＝2.所以三棱锥 DABC 高的最大值为 2＋4＝6，所以三棱锥 DABC 体积的最大值为1 3 ×9 3×6＝18 3.故 选 B.[答案] B [解题方略] 多面体与球有关的最值问题，主要有三种：一是多面体确定的情况下球的最值问题，二是球的半径确定 的情况下与多面体有关的最值问题；三是多面体与球均确定的情况下，截面的最值问题． [多练强化] 1．已知圆锥的高为 3，底面半径为 3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体 积等于( ) A．8 3 π B．32 3 π C．16π D．32π 解析：选 B 设该圆锥的外接球的半径为 R，依题意得，R2＝(3－R)2＋( 3)2，解得 R＝2，所以所求球的 体积 V＝4 3 πR3＝4 3 π×23＝32 3 π.故选 B. 2．(2019·福建五校第二次联考)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC ＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的直径为______． 解析：如图，设 BC 的中点为 D，B1C1 的中点为 D1，连接 DD1，取其中点 O′，连接 AD，A1D1，则 DA＝DB＝DC，D1A1＝D1B1＝D1C1，且 DD1 垂直于直三棱柱的上、下 底面，所以点 O′到直三棱柱的各个顶点的距离相等，即点 O′为直三棱柱的外接球的 球心 O，连接 OB，则球 O 的直径为 2BO＝2 BD2＋DO2＝2 5 2 2 ＋ 1 2 ×12 2 ＝13. 答案：13 3．已知四棱锥 SABCD 的所有顶点在同一球面上，底面 ABCD 是正方形且球心 O 在此平面内，当四棱锥 的体积取得最大值时，其表面积等于 16＋16 3，则球 O 的体积为______． 解析：由题意得，当四棱锥的体积取得最大值时，该四棱锥为正四棱锥．因为该四棱 锥的表面积等于 16＋16 3，设球 O 的半径为 R，则 AC＝2R，SO＝R，如图，所以该 四棱锥的底面边长 AB＝ 2R，则有( 2R)2＋4×1 2 × 2R× （ 2R）2－ 2 2 R 2 ＝16 ＋16 3，解得 R＝2 2，所以球 O 的体积是4 3 πR3＝64 2 3 π.答案：64 2 3 π 直观想象——三视图中相关问题的求解 [典例] 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( ) A．2π＋4 B．4π＋2 C.2π 3 ＋4 D．4π 3 ＋8 [解析] 由三视图可知，该几何体的直观图为左侧半球、中间正方体、右侧圆锥的组合体．其中，半球的 半径 r1 与圆锥的底面半径 r2 相等，皆为 1，即 r1＝r2＝1，正方体的棱长 a＝2，圆锥的高 h＝2. 所以半球的体积 V1＝1 2 ×4π 3 r31＝1 2 ×4π 3 ×13＝2π 3 ，正方体的体积 V2＝a3＝23＝8， 圆锥的体积 V3＝1 3 ×πr22h＝1 3 ×π×12×2＝2π 3 . 所以该组合体的体积 V＝V1＋V2＋V3＝2π 3 ＋8＋2π 3 ＝4π 3 ＋8.故选 D.[答案] D [素养通路] 本题以组合体的三视图为背景，主要是根据几何体的三视图及三视图中的数据，求几何体的体积或侧(表) 面积．此类问题难点：一是根据三视图的形状特征确定几何体的结构特征；二是将三视图中的数据转化 为几何体的几何度量．考查了直观想象这一核心素养． 课后训练： A 组——“12＋4”满分练 一、选择题 1．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为( ) 2．(2019·福州市质量检测)棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 木块的直观图如图所示，平面α过点 D 且平 行于平面 ACD1，则该木块在平面α内的正投影面积是( ) A. 3 B．3 2 3 C. 2 D．1 3．已知矩形 ABCD，AB＝2BC，把这个矩形分别以 AB，BC 所在直线为轴旋转一周，所成几何体的侧面 积分别记为 S1，S2，则 S1 与 S2 的比值等于( ) A.1 2 B．1 C．2 D．4 4．设球 O 是正方体 ABCDA1B1C1D1 的内切球，若平面 ACD1 截球 O 所得的截面面积为 6π，则球 O 的半 径为( ) A.3 2 B．3 C. 3 2 D． 3 a＝ 6，a＝5．(2019·武汉市调研测试)如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M 为 CD 的中点， 则三棱锥 ABC1M 的体积 VABC1M＝( ) A.1 2 B．1 4 C.1 6 D． 1 12 6．(2019·武汉市调研测试)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则 该几何体的体积为( ) A.2 3 π B．4 3 π C．2π D．2 5π 7．在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB 的面积分别为 2 2 ，3 2 ，6 2 ， 则该三棱锥的体积为( ) A. 6 B． 6 6 C．6 D．2 6 8．已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A．π B．3π 4 C.π 2 D．π 4 9．若一个球与四面体的六条棱都相切，则称此球为四面体的棱切球．已知正四面体的棱长为 2，则它的 棱切球的体积为( ) A． 3π 54 B．π 6 C．π 3 D． 3π 2 10．已知点 A，B，C，D 均在球 O 上，AB＝BC＝ 3，AC＝3.若三棱锥 DABC 体积的最大值为3 3 4 ，则 球 O 的表面积为( ) A．36π B．16π C．12π D．16 3 π 11．已知一个半径为 7的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则正三棱柱的体积是( ) A．18 B．16 C．12 D．8 12.(2019·福州市质量检测)如图，以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心，以 2为半径作一个球面，则该 正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为( ) A.3π 4 B． 2π C.3π 2 D．9π 4 二、填空题 13．(2019·长春市质量监测(一))已知一所有棱长都是 2的三棱锥，则该三棱锥的体积为______． 14.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为 点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积为______． 15．古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头 或木头制成．一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为______． 16．已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，且 PA＝8.若平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9π，则球 O 的表面积为______． B 组——“5＋3”提速练 1.(2019·合肥市第二次质量检测)如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面 体 的 三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( ) A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对 2．在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 在线段 BD1 上，且 BP PD1 ＝1 2 ，M 为线段 B1C1 上的动点，则 三棱锥 MPBC 的体积为( ) A．1 B．3 2 C.9 2 D．与 M 点的位置有关 3．已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为 1，点 M 在线段 BC 上(点 M 异于 B，C 两点)，点 N 为线段 CC1 的中点，若平面 AMN 截正方体 ABCDA1B1C1D1 所得的截面为四边形，则线段 BM 的取值范围为( ) A. 0，1 3 B． 0，1 2 C. 1 2 ，1 D． 1 2 ，2 3 4．已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的侧棱长为 6，且底面是边长为 2 的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱 AA1，BB1，CC1 分别交于三点 M，N，Q，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为 ( ) A．2 2 B．3 C．2 3 D．4 5．(2019·郑州市第二次质量预测)在△ABC 中，已知 AB＝2 3，BC＝2 6，∠ABC＝45°，D 是边 AC 上的 一点，将△ABD 沿 BD 折叠，得到三棱锥 ABCD，若该三棱锥的顶点 A 在底面 BCD 上的射影 M 在线段 BC 上，设 BM＝x，则 x 的取值范围是( ) A．(0，2 3) B．( 3， 6) C．( 6，2 3) D．(2 3，2 6) 6.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点．若 AA1＝4，AB＝2，则四棱锥 BACC1D 的体积 为________． 7．已知在正四棱锥 SABCD 中，SA＝6 3，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________． 8．(2019·河南八市重点高中联盟测评改编)已知一个高为 1 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为 2 的等边三角形，则三棱锥的表面积为________，若三棱锥内有一个体积为 V 的球，则 V 的最大值为 ________． 1 解析：选 A 由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及 俯视图的直径可知侧视图应为 A.故选 A. 2 解析：选 A 棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 木块在平面α内的正投影 是三个全等 的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为 2的等边三角形，所以木块在 平 面 α 内 的 正投影面积是 2×1 2 × 2× 2× 3 2 ＝ 3.故选 A. 3 解析：选 B 设 BC＝a，AB＝2a，所以 S1＝2π·a·2a＝4πa2，S2＝2π·2a·a＝4πa2，S1∶S2＝1. 故选 B. 4 解析：选 B 如图，易知 B1D 过球心 O，且 B1D⊥平面 ACD1，不妨设垂足为 M，正方体棱长为 a，则 球半径 R＝a 2 ，易知 DM＝1 3DB1，∴OM＝1 6DB1＝ 3 6 a，∴截面圆半径 r＝ a 2 2 －OM2＝ 6 6 a，由截面圆面 积 S＝πr2＝6π，得 r＝ 6 6 6，∴球 O 的半径为 R＝a 2 ＝3.故选 B. 5 解析：选 C VABC1M＝VC1ABM＝1 3S△ABM·C1C＝1 3 ×1 2AB×AD×C1C＝1 6.故选 C. 6 解析：选 B 由三视图知，该几何体是由两个底面半径为 1，高为 2 的圆锥组成的，所以该几何体的体 积 V＝2×1 3 ×12×π×2＝4π 3 .故选 B. 7 解析：选 B 由△ABC，△ACD，△ADB 的面积分别为 2 2 ，3 2 ，6 2 ，且 AB，AC，AD 两两垂直， 可得 1 2AB·AC＝ 2 2 ， 1 2AD·AC＝ 3 2 ， 1 2AB·AD＝ 6 2 ， 三个式子相乘可得(AB·AC·AD)2＝6， ∴该三棱锥的体积 V＝1 3 ×1 2AB·AC·AD＝ 6 6 .故选 B. 8 解析：选 B 设圆柱的底面半径为 r，球的半径为 R，过圆柱的轴线作一截面，如图．由勾股定理得 r ＝ R2－ 1 2 2 ＝ 3 2 .∴该圆柱的体积 V＝Sh＝π× 3 2 2 ×1＝3π 4 .故选 B. 9 解析：选 B 将棱长为 2的正四面体放入棱长为 1 的正方体中，则正四面体的棱为正方体的面对角线， 所以正四面体的棱切球即为正方体的内切球，则球的半径 R＝1 2 ，体积 V＝4 3 πR3＝π 6 .故选 B. 10 解析：选 B 设△ABC 的外接圆的半径为 r，∵AB＝BC＝ 3，AC＝3，∴∠ABC＝120°，∴2r＝ 3 sin 120° ＝2 3，∴S△ABC＝3 3 4 ，△ABC 的外接圆的半径为 3.∵三棱锥 DABC 的体积的最大值为3 3 4 ，∴点 D 到 平面 ABC 的最大距离为 3.设球 O 的半径为 R，则 r2＝R2－(3－R)2，解得 R＝2，∴球 O 的表面积为 4πR2 ＝16π.故选 B. 11 解析：选 A 设正三棱柱的棱长为 2a，如图，取球心为 O，过点 O 作 OO′ 垂 直 三棱柱的上底面于点 O′，连接点 O′与上底面顶点 A 交对棱于点 B. 则 AB＝ 3a，AO′＝2 3 3 a，OO′＝a. 在 Rt△OO′A 中，由勾股定理，得 OA2＝OO′2＋O′A2. ∵OA＝ 7，∴7＝a2＋4 3a2＝7 3a2. 整理得 a2＝3，∴a＝ 3. ∴棱长为 2a＝2 3. ∴正三棱柱的体积 V＝1 2 ×2 3×2 3× sin 60°×2 3＝18. 故选 A. 12 解析：选 C 正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长 是以 A1 为圆心，1 为半径的圆周长的1 4 ，所以所有弧长之和为 3×2π 4 ＝3π 2 .故选 C. 13 解析：记所有棱长都是 2的三棱锥为 PABC，如图所示，取 BC 的中 点 D，连接 AD，PD，作 PO⊥AD 于点 O，则 PO⊥平面 ABC，且 OP＝ 6 3 × 2＝2 3 3 ， 故三棱锥 P ABC 的体积 V＝1 3S△ABC·OP＝1 3 × 3 4 ×( 2)2×2 3 3 ＝1 3. 答案：1 3 14 解析：依题意知，四棱锥 MEFGH 为正四棱锥，正方形 EFGH 的边长为 1 2 2 ＋ 1 2 2 ＝ 2 2 ，四棱锥 MEFGH 的高为1 2 ，所以四棱锥 MEFGH 的体积为1 3 × 2 2 2 ×1 2 ＝ 1 12. 答案： 1 12 15 解析：由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径为 3，半球的半 径为 3，所以组合体的体积为π×32×5＋1 2 ×4 3 π×33＝63π. 答案：63π 16 解析：设球 O 的半径为 R，由平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9π，得△ABC 的外接圆的半径为 3. 设该外接圆的圆心为 D，因为 AB⊥BC，所以点 D 为 AC 的中点，所以 DC＝3.因为 PA⊥平面 ABC，易证 PB⊥BC，所以 PC 为球 O 的直径．又 PA＝8，所以 OD＝1 2PA＝4，所以 R＝OC＝ 42＋32＝5， 所以球 O 的表面积为 S＝4πR2＝100π. 答案：100π 1 解析：选 C 由三视图知该几何体是一个四棱锥，它有一个侧面与底面 垂直，且顶 点在底面上的射影在底面的一条边的中点处，即如图所示的四棱锥 SABCD ， 平面 SCD⊥平面 ABCD.因为 AD⊥DC，BC⊥DC，且平面 SCD∩平面 ABCD ＝DC，所以 AD⊥平面 SCD，BC⊥平面 SCD，所以平面 SAD⊥平面 SCD，平面 SBC⊥ 平 面 SCD. 又由三视图知 SC⊥SD，同时由 AD⊥平面 SCD，知 AD⊥SC，又 SD∩AD＝D, 所以 SC⊥平面 SAD，所以 平面 SBC⊥平面 SAD.综上可知，该多面体各表面所在平面互相垂直的有 4 对．故选 C. 2 解析：选 B ∵ BP PD1 ＝1 2 ，∴点 P 到平面 BCC1B1 的距离是 D1 到平面 BCC1B1 距离的1 3 ，即为D1C1 3 ＝1.M 为线段 B1C1 上的点，∴S△MBC＝1 2 ×3×3＝9 2 ， ∴VMPBC＝VPMBC＝1 3 ×9 2 ×1＝3 2.故选 B. 3 解析：选 B 由题意，正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，如图所示， 当点 M 为 线段 BC 的中点时，截面为四边形 AMND1，当 0＜BM≤1 2 时，截面为四边 形，当 BM ＞1 2 时，截面为五边形．故选 B. 4 解析：选 C 如图，不妨设 N 在 B 处，设 AM＝h，CQ＝m，则 MB2 ＝h2＋4，BQ2 ＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，由 MB2＝BQ2＋MQ2，得 m2－hm＋2＝ 0.Δ ＝ h2 － 8≥0⇒h2≥8，该直角三角形斜边 MB＝ 4＋h2≥2 3，故该直角三角 形 斜 边 长 的 最小值为 2 3.故选 C. 5 解析：选 C 将△ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 ABCD，且点 A 在底面 BCD 上的射影 M 在线段 BC 上，所以在图 b 中，AM⊥平面 BCD，MN，AN 都与 BD 垂直，因此，折叠前 在图 a 中，AM⊥BD，垂足为 N，在图 a 中可得当 D 点与 C 点无限接近时，折痕 BD 接近 BC，此时 M 与 点 M1 无限接近．在图 b 中，由于 AB 是 Rt△ABM 的斜边，BM 是直角边，所以 BM＜AB，由此可得 BM1 ＜BM＜AB，因为在 Rt△AM1B 中，BM1＝ABcos 45°＝2 3× 2 2 ＝ 6，所以 6＜BM＜2 3，即 6＜x＜2 3. 故选 C. 6 解析：取 AC 的中点 O，连接 BO(图略)，则 BO⊥AC， 所以 BO⊥平面 ACC1D. 因为 AB＝2，所以 BO＝ 3. 因为 D 为棱 AA1 的中点，AA1＝4，所以 AD＝2，所以 S 梯形 ACC1D＝1 2 × (2 ＋ 4)×2 ＝6， 所以四棱锥 BACC1D 的体积为1 3 ×6× 3＝2 3.答案：2 3 7 解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h，因为在正四棱锥 SABCD 中，SA＝6 3，所以a2 2 ＋ h2＝108，即 a2＝216－2h2，所以正四棱锥的体积 VSABCD＝1 3a2h＝72h－2 3h3，令 y＝72h－2 3h3，则 y′＝72－ 2h2，令 y′>0，得 06，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为 6.答案：6 解析：该三棱锥侧面的斜高为 1 3 × 3 2 ＋12＝2 3 3 ，则 S 侧＝3×1 2 ×2×2 3 3 ＝2 3，S 底＝1 2 × 3×2＝ 3， 所以三棱锥的表面积 S 表＝2 3＋ 3＝3 3.由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设 三棱锥的内切球的半径为 r，则三棱锥的体积 V 锥＝1 3S 表·r＝1 3S 底·1，所以 3 3r＝ 3，所以 r＝1 3 ，所以 三棱锥的内切球的体积最大为 Vmax＝4 3 πr3＝4π 81 . 答案：3 3 4π 81