2017-2018学年广西钦州市钦州港经济技术开发区中学高二上学期期中考试数学（理）试题 6页

广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2017年秋季学期期中考试高二理科数学试卷 一．选择题（共12小题,12*5=60分）‎ ‎1．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2﹣x - 2＜0，x∈Z}，则A∪B=（　　）‎ A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0， 1，2，3}‎ ‎2.若满足约束条件，则的最大值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.与直线l：3x－5y＋4＝0关于原点对称的直线的方程为(　　)‎ A.3x＋5y＋4＝0 B.3x－5y－4＝‎0 C.5x－3y＋4＝0 D.5x＋3y＋4＝0‎ ‎4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2， cosA=，则b=（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎5.双曲线的两条渐近线为 A． B． C． D．‎ ‎6．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，点N(2,0)，设A为圆上任一点，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是(　　)‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎7．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则（　　）‎ A．Sn=3an﹣2 B．Sn=2an﹣‎1 ‎ C．Sn=4﹣3an D．Sn=3﹣2an ‎8.如图，在直三棱柱中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是 A． B． C． D． ‎ ‎9．点是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点.若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最小值为（　　）‎ A．﹣4 B．‎6 ‎ C．10 D．17‎ ‎11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A． B．‎3 C． D．2 ‎ ‎12.已知双曲线（）的右支上一点，过点分别做双曲线的两条渐近线的平行线、，分别交渐近线于、，则平行四边形的面积 A．为定值 B．有最大值，无最小值 C．有最小值，无最大值 D．无法确定 二．填空题（共4小题，4*5=20分）‎ ‎13．不等式＞1的解集为　 　．‎ 1． 将一个半圆形纸片没有重叠的卷成一个圆锥（如图），则圆锥的母线与底面所成的角为 ．‎ ‎15．已知直线l经过点P，且被圆截得的弦长为8，则直线l的方程是________________．‎ ‎16．若x，y满足，则x﹣2y的最大值为　 　．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 已知直线l1：2x+y+2=0；l2：mx+4y+n=0．‎ ‎(Ⅰ)若l1⊥l2，求m的值．‎ ‎(Ⅱ)若l1∥l2,且他们的距离为，求m，n 的值．‎ ‎18．（12分）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：‎ 连续剧播放时长（分钟）‎ 广告播放时长（分钟）‎ 收视人次（万）‎ 甲 ‎70‎ ‎5‎ ‎60‎ 乙 ‎60‎ ‎5‎ ‎25‎ 已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．‎ ‎（I）用x， y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（II）问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？‎ ‎19.（本题12分）‎ 如图，四面体中，，，．‎ ‎(I)求二面角的大小；‎ ‎(II)求四面体的体积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；‎ ‎（II）已知A （1 , -2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（12分）已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．‎ ‎（Ⅰ）求an及Sn；‎ ‎（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n项和Tn．‎ 1． ‎（本题12分）‎ 已知抛物线L：的焦点为，直线与轴的交点为，与L的交点为，若．‎ ‎(I)求L的方程；‎ x y O A B M N P Q F ‎(II)过作抛物线L的切线与轴相交于点，点关于原点的对称点为点，过点 的直线交抛物线L于两点，交椭圆于两点，使得成立，求该椭圆长轴长的范围．‎ 参考答案：‎ ‎1.C2.D3.B4.D5.D6.B7.D8.D9.C10.B11.D12.A ‎13、（﹣∞，0）14. ④ 15. x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0 16、﹣2‎ ‎17.解：.‎ ‎.……………………5分 ‎.,‎ ‎,‎ ‎18．（12）（Ⅰ）解：由已知，x，y满足的数学关系式为，即．‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图：‎ ‎（Ⅱ）解：设总收视人次为z万，则目标函数为z=60x+25y．‎ 考虑z=60x+25y，将它变形为，这是斜率为，随z变化的一族平行直线．‎ 为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大．‎ 又∵x，y满足约束条件，‎ ‎∴由图可知，当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．‎ 解方程组，得点M的坐标为（6，3）．‎ ‎∴电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．‎ ‎21(12)解：（Ⅰ）∵{an}是首项为1，公差为2的等差数列，‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．‎ ‎∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，‎ ‎∴（q﹣4）2=0，即q=4．‎ 又∵{bn}是首项为2的等比数列，‎ ‎∴．‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎19. （Ⅰ）； （Ⅱ）.‎ ‎20. 解：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，‎ 由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，‎ 因此，抛物线C的方程为y2=4x；其准线方程为.………………5分 ‎（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=－2x + t ，（OA的方程为：y=-2x）‎ 由，得y2 ＋2 y －2 t=0. ………………7分 因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8 t，解得t ≥－1/2 . ………………8分 另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得，解得t=±1. ………………10分 因为－1∉[-,＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.‎ ‎22. （Ⅰ）； （Ⅱ）.‎