数学卷·2018届江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二上学期第一次月考数学试卷+（解析版） 17页

‎2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2+2x﹣6＞0”的否定　　．‎ ‎2．椭圆的离心率e=　　．‎ ‎3．抛物线y2=16x的焦点坐标是　　．‎ ‎4．双曲线的两条渐近线方程为　　．‎ ‎5．已知双曲线的实轴长为16，虚轴长为12，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎6．椭圆4x2+y2=16的长轴长等于　　．‎ ‎7．“x=1”是“x2=1”的　　条件．（从“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空）‎ ‎8．若F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1作直线与椭圆交于A、B，则△ABF2的周长为　　．‎ ‎9．在Rt△ABC中，C=90°，则sinAsinB的最大值是　　．‎ ‎10．已知双曲线的方程为，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则首项a1=　　．‎ ‎12．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相切，则p=　　．‎ ‎14．已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若∠ABC=90°，则AC的最小值为　　．‎ ‎　‎ 二、解答题（本题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（14分）已知命题p：任意x∈R，x2+1≥a，命题q：方程﹣=1表示双曲线．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎16．（14分）已知椭圆C的方程为．‎ ‎（1）求k的取值范围； ‎ ‎（2）若椭圆C的离心率，求k的值．‎ ‎17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，cosB=．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎18．（16分）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M（4，﹣）．‎ ‎（1）求双曲线方程；‎ ‎（2）若点N（3，m）在双曲线上，求证： 1•N2=0．‎ ‎19．（16分）已知抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=﹣1‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程．‎ ‎（Ⅱ）若直线经过抛物线C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，求直线AB的方程．‎ ‎20．（16分）若椭圆过点（﹣3，2）离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为（x﹣8）2+（y﹣6）2=4，过⊙M上任一点P作⊙的切线PA、PB切点为A、B．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；‎ ‎（3）求的最大值与最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省泰州市姜堰区艺术中学高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1．命题“∀x∈R，x2+2x﹣6＞0”的否定　∃x∈R，x2+2x﹣6≤0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，‎ 所以，命题“∀x∈R，x2+2x﹣6＞0”的否定是：∃x∈R，x2+2x﹣6≤0．‎ 故答案为：∃x∈R，x2+2x﹣6≤0．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．椭圆的离心率e=　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由椭圆的方程可得a2，b2，可得c=，再利用离心率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由椭圆的方程可得a2=9，b2=1，‎ ‎∴a=3，c==．‎ ‎∴=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．抛物线y2=16x的焦点坐标是　（4，0）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】直接由y2=2px（p＞0）型抛物线的方程求得p，进一步得到的值，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由y2=16x，得2p=16，‎ 则p=8，，‎ ‎∴抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，0）．‎ 故答案为：（4，0）．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的简单性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．双曲线的两条渐近线方程为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上 ‎ 而双曲线的渐近线方程为y=±x ‎∴双曲线的渐近线方程为 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 ‎　‎ ‎5．已知双曲线的实轴长为16，虚轴长为12，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的基本概念得到a=8，b=6，由此算出c，再用双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：不妨设双曲线方程为（a＞0，b＞0）‎ ‎∵双曲线的实轴长为16，虚轴长为12，‎ ‎∴2a=16，2b=12，可得a=8，b=6，c===10．‎ 由此可得双曲线的离心率为e==．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题给出双曲线实轴与虚轴，求它的离心率，着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．椭圆4x2+y2=16的长轴长等于　8　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】化椭圆方程为标准方程，求出长半轴长，则答案可求．‎ ‎【解答】解：由4x2+y2=16，得，‎ ‎∴椭圆为焦点在y轴上的椭圆，‎ 则a2=16，∴a=4．‎ ‎∴椭圆4x2+y2=16的长轴长等于2a=2×4=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的标准方程，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎7．“x=1”是“x2=1”的　充分而不必要　条件．（从“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”中选择适当的一种填空）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】“x=1”⇒“x2=1”，“x2=1”⇒“x=1，或x=﹣1”．‎ ‎【解答】解：∵“x=1”⇒“x2=1”，‎ ‎“x2=1”⇒“x=1，或x=﹣1”，‎ ‎∴“x=1”是“x2=1”的充分而不必要条件，‎ 故答案为：充分而不必要．‎ ‎【点评】本题考查充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断，解题时要熟练掌握基本定义，合理地进行判断．‎ ‎　‎ ‎8．若F1、F2是椭圆+=1的两个焦点，过F1作直线与椭圆交于A、B，则△ABF2的周长为　16　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，分析可得△ABF2的周长等于AF1+AF2+BF1+BF2=4a，由椭圆的标准方程可得a的值，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，在椭圆+=1中，a=4，则 ‎=AB+AF2+BF2=AF1+BF1+AF2+BF2=AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8，‎ 即△ABF2的周长为8；‎ 故答案为16．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的性质，注意将△ABF2的周长转化为A、B两点到椭圆两个焦点的距离之和．‎ ‎　‎ ‎9．在Rt△ABC中，C=90°，则sinAsinB的最大值是　　．‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用；任意角的三角函数的定义．‎ ‎【分析】利用基本不等式直接转化，sinAsinB≤，即可得答案．‎ ‎【解答】解：由基本不等式得sinAsinB≤，‎ ‎∵在Rt△ABC中，C=90°，‎ ‎∴A+B═90°，‎ ‎∴sinAsinB≤=，‎ 等号当sinA═sinB═成立．‎ 故应填．‎ ‎【点评】考查基本不等式与两个角和为90°，则两解的弦的平方和是1．‎ ‎　‎ ‎10．已知双曲线的方程为，则实数m的取值范围是　0＜m＜　．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】根据方程表示双曲线，可知m（2m﹣1）＜0，从而可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵方程表示双曲线，‎ ‎∴m（2m﹣1）＜0‎ ‎∴0＜m＜，‎ 故答案为：0＜m＜．‎ ‎【点评】本题考查的重点是双曲线的标准方程，解题的关键是确定双曲线标准方程中平方项的分母异号．‎ ‎　‎ ‎11．设等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，则首项a1=　或﹣　．‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【分析】由等比数列前n项和公式列出方程组，由此能求出首项．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=17，‎ ‎∴，‎ 解得，q=﹣2或，q=2，‎ ‎∴首项a1为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎12．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据正三角形的性质可知b=3c，进而根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．‎ ‎【解答】解：依题意可知b=3c ‎∴a==c ‎∴e==‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生对椭圆基础知识的把握和理解．‎ ‎　‎ ‎13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相切，则p=　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质；圆的一般方程．‎ ‎【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，再由圆心到抛物线的准线的距离等于圆的半径求得p．‎ ‎【解答】解：由x2+y2﹣4x+2y﹣4=0，得 ‎（x﹣2）2+（y+1）2=9，‎ ‎∴圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0是以（2，﹣1）为圆心，以3为半径的圆，‎ ‎∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线x=与圆x2+y2﹣4x+2y﹣4=0相切，‎ ‎∴2﹣（﹣）=3，即p=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了圆的一般方程化标准方程，考查了抛物线的简单性质，训练了点到直线的距离公式，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．已知点A（1，1），B，C是抛物线y2=x上三点，若∠ABC=90°，则AC的最小值为　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】设出B，C的坐标，求出AB，BC的斜率，由斜率乘积等于﹣1求得B，C两点纵坐标间的关系，由两点间的距离公式得到|AC|，转化为B的纵坐标的函数，借助于基本不等式求最值．‎ ‎【解答】解：设B（），C（），‎ 则，，‎ 由∠ABC=90°，得kAB•kBC=﹣1，‎ 即（y1+1）（y2+y1）=﹣1，‎ ‎∴，，‎ ‎=，‎ ‎，‎ ‎∴|AC|==‎ ‎==‎ 不妨设y1+1＞0，‎ ‎∵，‎ 当且仅当，即y1=0时上式等号成立，‎ 此时取最小值1，‎ ‎∴AC的最小值为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线垂直的条件，训练了利用基本不等式求最值，考查了计算能力，是中档题．‎ ‎　‎ 二、解答题（本题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15．（14分）（2012秋•南京期末）已知命题p：任意x∈R，x2+1≥a，命题q：方程﹣=1表示双曲线．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假；命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1）由题意先求出f（x）的最小值，然后结合命题p为真命题，可知a≤f（x）min，从而可求a的范围 ‎（2）因由为真命题，可知a+2＞‎ ‎0，可求a的范围，然后结合p且q可知p，q都为真，可求 ‎【解答】解（1）记f（x）=x2+1，x∈R，则f（x）的最小值为1，…（2分）‎ 因为命题p为真命题，所以a≤f（x）min=1，‎ 即a的取值范围为（﹣∞，1]． …‎ ‎（2）因为q为真命题，所以a+2＞0，解得a＞﹣2．…‎ 因为“p且q”为真命题，所以即a的取值范围为（﹣2，1]．‎ ‎…（8分）‎ 说明：第（1）问得出命题p为真命题的等价条件a≤1，给，没过程不扣分，‎ 第（2）问分两步给，得到a＞﹣2给（2分），得到x∈（﹣2，1]给（2分），少一步扣（2分）．‎ ‎【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，解题的关键是准确求出命题p，q为真时参数的范围 ‎　‎ ‎16．（14分）（2013春•宝安区期末）已知椭圆C的方程为．‎ ‎（1）求k的取值范围； ‎ ‎（2）若椭圆C的离心率，求k的值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）根据题意，方程表示椭圆，则 x2，y2项的系数均为正数且不相等列出不等关系，解可得答案．‎ ‎（2）先根据题意利用k表示出a，b，进而根据离心率列出关于k的方程，则k的值可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵方程表示椭圆，‎ 则，‎ 解得 k∈（1，5）∪（5，9）‎ ‎（2）①当9﹣k＞k﹣1时，依题意可知a=，b=‎ ‎∴c=‎ ‎∵=‎ ‎∴‎ ‎∴k=2；‎ ‎②当9﹣k＜k﹣1时，依题意可知b=，a=‎ ‎∴c=‎ ‎∵=‎ ‎∴‎ ‎∴k=8；‎ ‎∴k的值为2或8．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，注意其标准方程的形式与圆、双曲线的标准方程的异同，考查运算能力，属基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016秋•姜堰区校级月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c=3，cosB=．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）求sin2C的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知利用余弦定理即可解得得解b的值．‎ ‎（2）利用余弦定理可求cosC的值，结合同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用二倍角公式即可计算得解．‎ ‎【解答】解：（1）由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：，‎ ‎∴解得：．‎ ‎（2）∵=，‎ 又∵C是△ABC的内角，‎ ‎∴．‎ ‎∴sin2C=2sinCcosC=2××=．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2016秋•姜堰区校级月考）已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点M（4，﹣）．‎ ‎（1）求双曲线方程；‎ ‎（2）若点N（3，m）在双曲线上，求证： 1•N2=0．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）e=，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），过点M（4，﹣），可得16﹣10=λ，即可求双曲线方程；‎ ‎（2）求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵e=，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），‎ ‎∵过点M（4，﹣），∴16﹣10=λ，‎ ‎∴λ=6．‎ ‎∴双曲线方程为x2﹣y2=6．‎ ‎（2）证明：由（1）可知：在双曲线中，a=b=，∴c=2．‎ ‎∴F1（﹣2，0），F2（2，0）．‎ ‎∴=（﹣2﹣3，﹣m），‎ ‎=（2﹣3，﹣m）．‎ ‎∴•=+m2=﹣3+m2．‎ ‎∵N点在双曲线上，∴9﹣m2=6，∴m2=3．‎ ‎∴•=0．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2013秋•姜堰市期中）已知抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=﹣1‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程．‎ ‎（Ⅱ）若直线经过抛物线C的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由抛物线的定义即可得出；‎ ‎（II）设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用中点坐标公式即可得出直线的斜率．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C顶点在坐标原点，准线方程为x=﹣1，‎ ‎∴可设抛物线C的方程为：y2=2px（p＞0），‎ 由直线方程可得，解得p=2，‎ ‎∴抛物线C的方程为：y2=4x．‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知抛物线C的焦点坐标为（1，0），‎ 设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，消去y得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，‎ ‎∴，解得，‎ 所求直线AB的方程为：．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2010•徐州一模）若椭圆过点（﹣3，2）离心率为，⊙O的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M的方程为（x﹣8）2+（y﹣6）2=4，过⊙M上任一点P作⊙的切线PA、PB切点为A、B．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线PA与⊙M的另一交点为Q当弦PQ最大时，求直线PA的直线方程；‎ ‎（3）求的最大值与最小值．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程．‎ ‎【分析】（1）把点（3，2）代入椭圆方程，进而根据离心率和a，b，c的关系求得a和b，则椭圆方程可得．‎ ‎（2）当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y﹣6=k（x﹣8）‎ 又因为PA与圆O相切，进而可求得圆心（0，0）到直线PA的距离求得k，则直线方程可得．‎ ‎（3）设∠AOP=α，则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，根据二倍角公式求得cos∠AOB，进而根据•=cos∠AOB求得的最大值与最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：解得a=，b=‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）由题可知当直线PA过圆M的圆心（8，6），弦PQ最大．‎ 因为直线PA的斜率一定存在，所以可设直线PA的方程为：y﹣6=k（x﹣8）‎ 又因为PA与圆O相切，所圆心（0，0）到直线PA的距离为 即=，‎ 可得k=或k=‎ 所以直线PA的方程为：x﹣3y+10=0或13x﹣9y﹣50=0‎ ‎（3）设∠AOP=α，‎ 则∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，‎ 则cos∠AOB=2cos2α﹣1=﹣1，‎ ‎∴•=cos∠AOB=﹣10‎ ‎∴（•）max=﹣，（ •）min=﹣‎ ‎【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和向量的基本计算．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．‎ ‎　‎